(in Polish) Analiza funkcjonalna

Przedmiot jest wprowadzeniem do podstawowych zagadnień analizy funkcjonalnej. Koncentruje się na własnościach przestrzeni Banacha ze szczególnym uwzględnieniem przestrzeni Hilberta. W trakcie zajęć zostaną omówione podstawowe pojęcia analizy funkcjonalnej wraz z licznymi przykładami je ilustrującymi oraz klasyczne twierdzenia dotyczące operatorów na przestrzeniach Banacha, szeregów Fouriera czy teorii spektralnej. Celem jest przedstawienie drogi prowadzącej do twierdzeń spektralnych dla operatorów samosprzężonych istotnych z punktu widzenia fizyki kwantowej.

Zajęcia zaczynają się od wprowadzenia matematycznych pojęć i tła potrzebnego do wejścia w świat przestrzeni Banacha. Następnie zostaną omówione podstawowe własności przestrzeni Banacha, ze szczególnym uwzględnieniem przestrzeni Hilberta w kolejności przedstawionej poniżej.

Tematy:

1. Przestrzenie metryczne, elementy topologii metrycznej;

2. Przestrzenie unormowane, własności normy;

3. Przestrzenie Banacha, przykłady klasycznych przestrzeni ciągowych i funkcyjnych;

4. Przestrzenie Hilberta, własności iloczynu skalarnego, przykłady, podstawowe twierdzenia dotyczące geometrii przestrzeni Hilberta oraz szeregów Fouriera;

5. Operatory ograniczone i ich własności w przestrzeni Banacha, norma operatora, operatory sprzężone w przestrzeni Hilberta, przestrzenie dualne;

6. Elementy Teorii spektralnej dla operatorów ograniczonych i nieograniczonych ze szczególnym uwzględnieniem operatorów samosprzężonych i operatorów znanych z fizyki kwantowej.

Literatura podstawowa:

1. E. Kreyszig - ,,Introductory Functional Analysis with Applications", Wiley; 1st edition (February 23, 1989);

2. V. L. Hansen - „Functional Analysis, Enterning Hilbert Space” WSP 2006;

3. Jan Rusinek – “Zadania z Analizy Funkcjonalnej z rozwiązaniami” Warszawa 2006;

4. Stanisław Prus, Adam Stachura – „Analiza funkcjonalna w zadaniach” PWN 2009.

Literatura dodatkowa:

1. Witold Kołodziej „Wybrane rozdziały analizy matematycznej” (B.M. t.36, PWN 1970)

2. Włodzimierz Mlak - „Wstęp do przestrzeni Hilberta” B.M. t.35, PWN 1970;

3. Julian Musielak - „Wstęp do analizy funkcjonalnej” PWN 1989;

4. Andrzej Aleksiewicz - „Analiza Funkcjonalna” PWN 1969;

5. Walter Rudin – „Analiza Funkcjonalna” PWN 2009;

6. Jacek Chmieliński – “Analiza funkcjonalna, notatki do wykladu” Kraków 2004;

7. J. Ron Retherford – „Hilbert Space: Compact Operators and the Trace Theorem” Cambridge 1993;

Zaliczenie na ocenę na podstawie sześciu prac zaliczeniowych wykonywanych w domu, które dotyczą zadań pojawiających się na ćwiczeniach.

Zadania domowe weryfikują efekty W1-W9 oraz U1-U4.

Łączna suma punktów za zadania domowe daje ocenę końcową na podstawie kryteriów podanych poniżej.

50-60% - ocena: 3

60-70% - ocena: 3+

70-80% - ocena: 4

80-90% - ocena: 4+

90-100% - ocena 5

nie dotyczy