Analiza matematyczna I 1000-M1AM1nz
Ćwiczenia (CW) Semestr zimowy 2021/22

Po zaliczeniu ćwiczeń w tym semestrze student

- stosuje poprawnie język matematyczny (kwantyfikatory, spójniki zdaniowe i inne symbole matematyczne) do opisu podstawowych pojęć i własności zawartych w treściach przedmiotu,

- wykazuje umiejętność zastosowania zasady indukcji matematycznej w uzasadnieniach pojawiających się faktów o liczbach naturalnych i ciągach, w tym analizuje monotoniczność i ograniczoność ciągów,

- przedstawia wykresy podstawowych funkcji elementarnych oraz rozwiązuje równania i nierówności z funkcjami elementarnymi,

- ocenia zbieżność ciągów na podstawie definicji i własności ciągów; wylicza granice ciągów za pomocą poznanych algorytmów dla poszczególnych typów ciągów,

- wskazuje kresy zbiorów i przedstawia uzasadnienia przedstawionych hipotez,

- wyznacza granice funkcji stosując definicje i poznane własności granic,

- rozpoznaje ciągłość lub nieciągłość funkcji i przedstawia uzasadnienia przedstawionych hipotez,

- rozróżnia funkcje ciągłe i jednostajnie ciągłe oraz stosuje ich własności.

Tematy odpowiadają tematom wykładu.

W szczególności:

1. Zapis kwantyfikatorowy zdań o liczbach, funkcjach, zbiorach i innych prostych pojęciach potrzebnych w analizie matematycznej. Tłumaczenie z języka matematycznego na polski i odwrotnie, zaprzeczanie i odczytywanie po zmianie. Niewymierność liczb. Wnioski z aksjomatów zbioru liczb rzeczywistych.

2. Znajdowanie kresów zbiorów z definicji.

3. Rozwiązywanie zadań z wartością bezwzględną z naciskiem na jej interpretację jako funkcji odległości i na nierówności występujące później przy granicach ciągów i funkcji. Dowodzenie za pomocą Zasady Indukcji Matematycznej twierdzeń potrzebnych w analizie (m.in. a ^n− b^ n , itp.). [Można też, jeszcze bez definicji granicy ciągu,

rozwiązywać zadania typu: Dla danej liczby ε > 0 znaleźć liczbę naturalną n_0 taką, że dla wszystkich liczb naturalnych n ≥ n_0 zachodzi nierówność | (2n−1)/(2n+7) − 1| < ε].

4. Szkicowanie wykresów funkcji elementarnych przy użyciu „przesunięć, ściskania i rozciągania”, sprawdzanie monotoniczności, rozwiązywanie równań i nierówności z funkcjami elementarnymi, w tym z trygonometrycznymi, wykładniczą i logarytmiczną. [Warto formułować zadania w stylu: znaleźć przeciwobraz zbioru (−∞, 2] dla funkcji f(x) = log_2(3x − 1), lub: dla jakich wartości parametru a wykres funkcji f(x) = (2^a)^x − 2^a /2^x nie przecina osi y = 0.

5. Sprawdzanie, czy ciąg jest monotoniczny, ograniczony, czy od pewnego miejsca (prawie wszystkie wyrazy ciągu) spełnia określoną własność, np. nierówność. Sprawdzanie z definicji, że ciąg jest zbieżny.

6. Liczenie granic za pomocą najprostszych własności, np. wiemy, jaka jest granica 1/n^k , to stąd mamy granice wyrażeń wymiernych, zastosowanie twierdzenia o trzech ciągach. Punkty skupienia ciągu. Granica górna i dolna ciągu. Znajdowanie kresów zbiorów przez ciągi.

7. Liczenie granic z użyciem liczby e i twierdzenia Bolzano-Weierstrassa.

8. Liczenie granic funkcji dzięki definicji Heinego i z własności granic.

9. Badanie ciągłości funkcji i wykorzystanie własności funkcji ciągłych.