Analiza matematyczna III 1000-MS1-AnMat3
Wykład (WYK) Semestr zimowy 2021/22

Literatura podana jest w Ogólnym opisie przedmiotu.

Wiedza:

W1: zna pojęcia pochodnej funkcji i odwzorowania wielu zmiennych oraz ich własności i zastosowanie w zagadnieniach optymalizacyjnych (K_W02)

W2: zna metody rachunku całkowego funkcji wielu zmiennych i ich wykorzystanie w zagadnieniach geometrycznych (K_W02)

W3: formułuje podstawowe twierdzenia analizy matematycznej III, ilustruje je przykładami i przedstawia ich uzasadnienia (K_W02)

Umiejętności:

U1: wyznacza pochodne i całki funkcji wielu zmiennych (K_U08)

U2: stosuje rachunek różniczkowy w zagadnieniach optymalizacyjnych (K_U08)

U3: wykorzystuje rachunek całkowy w zagadnieniach geometrycznych (K_U08)

Kompetencje społeczne:

K1: ściśle i precyzyjnie formułuje zdania oraz właściwie rozumie znaczenie formalnego zapisu matematycznego (K_K02, K_K03)

K2: rozwiązując problem poszukuje różnych metod, widząc analogie do innych zagadnień (K_K01, K_K04)

Przedmiot kończy się egzaminem pisemnym i ustnym. Ćwiczenia kończą się zaliczeniem na ocenę, która wystawiana jest na podstawie wyników kolokwiów oraz aktywności studenta. W uzgodnieniu z koordynatorem w skład oceny mogą wchodzić również wyniki krótkich sprawdzianów.

Efekty kształcenia sprawdzane podczas zaliczenia, to:

Egzamin pisemny: W1, W2, U1, U2, U3, K1, K2;

Egzamin ustny: W1, W2, K1;

Kolokwia pisemne na ćwiczeniach: U1, U2, U3, K1, K2;

Aktywność: K1, K2.

Tematy wykładu:

1) Granice i ciągłość funkcji wielu zmiennych

2) Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych i wektorowych wielu zmiennych

a) Pochodna kierunkowa, cząstkowa i ich własności;

b) Pojęcie pochodnej, macierz Jacobiego, gradient funkcji rzeczywistej i ich interpretacja geometryczna;

c) Pochodna: sumy, iloczynu i złożenia odwzorowań, reguła łańcucha;

d) Pochodne wyższych rzędów, macierz Hessa, twierdzenie Schwarza;

e) Ekstrema lokalne, warunek konieczny i dostateczny;

f) Twierdzenie o funkcji uwikłanej i o lokalnym odwracaniu odwzorowań;

g) Ekstrema związane, metoda mnożników Lagrange’a.

3) Całka funkcji wielu zmiennych

a) Informacja o konstrukcji całki Riemanna funkcji wielu zmiennych;

b) Zamiana całki wielokrotnej na całki iterowane, twierdzenie Fubiniego;

c) Zamiana zmiennych w całce, współrzędne biegunowe, sferyczne i walcowe;

d) Zastosowania całki podwójnej i potrójnej;

e) Całki krzywoliniowe i powierzchniowe.

Wykład prowadzony metodą tradycyjną. Wprowadzane pojęcia i fakty ilustrowane są przykładami.