Analiza matematyczna III 1000-M1AM3n
Wykład (WYK) Semestr zimowy 2023/24

Jest to ostatni semestr przedmiotu Analiza matematyczna.

Poniżej przedstawione są efekty uczenia się dla całego przedmiotu (wykład + ćwiczenia).

Po zakończeniu tej części przedmiotu student

Wiedza:

W1: definiuje podstawowe pojęcia teorii miary i całki oraz zna konstrukcję miary i całki Lebesgue’a - K_W04, K_U23

W2: zna podstawowe metody całkowania funkcji wielu zmiennych oraz zastosowania geometryczne całki - K_W01, K_W04

W3: zna kryteria istnienia i jednoznaczności problemu Cauchy’ego dla równań różniczkowych zwyczajnych i metody rozwiązywania podstawowych klas tych równań - K_W02, K_W04

Umiejętności:

U1: oblicza całki funkcji wielu zmiennych stosując znane metody, w tym zamianę całki wielokrotnej na całki iterowane oraz zamiany zmiennych (np. współrzędne biegunowe, sferyczne, walcowe) - K_U11, K_U12

U2: potrafi rozwiązywać podstawowe typy równań różniczkowych zwyczajnych, w tym układy równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach; w analizie równania posługuje się twierdzeniami o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań - K_U19

Podczas kursu student rozwija następujące kompetencje społeczne:

K1: potrafi myśleć analitycznie; umie precyzyjnie określić dane, problem do rozwiązania i metody do tego prowadzące oraz prowadzić rozumowanie według zasad logiki - K_K02, K_K04

K2: zdobytą wiedzę i umiejętności umie przekazać w formie poprawnej logicznie wypowiedzi - K_K02.

Egzamin składa się z części pisemnej i ustnej. Pod uwagę bierze się:

1. Znajomość przedstawionych na wykładzie pojęć i twierdzeń

2. Umiejętność ilustrowania pojęć przykładami oraz ilustrowania twierdzeń i znajdowania odpowiednich kontrprzykładów wskazujących na istotność założeń

3. Umiejętności związane z poprawnym prowadzeniem rozumowań i precyzyjnym wyrażaniem treści matematycznych w formie ustnej.

Kryteria oceny:

- bardzo dobra – student bardzo dobrze przedstawia i omawia pojęcia z danego zakresu, ilustruje je przykładami lub kontrprzykładami i przeprowadza złożone rozumowania matematyczne

- dobra – student prawidłowo przestawia i omawia pojęcia z danego zakresu, przy ewentualnych wskazówkach egzaminatora, prawidłowo poprawia ewentualne błędy w swojej wypowiedzi, pojęcia i twierdzenia ilustruje przykładami lub kontrprzykładami, przeprowadza mało złożone rozumowania matematyczne

- dostateczna – student prawidłowo przedstawia pojęcia z danego zakresu, przy ewentualnych wskazówkach egzaminatora, i ilustruje je poznanymi przykładami lub kontrprzykładami, umie przeprowadzić elementarne, nie złożone rozumowania matematyczne przedstawione na wykładzie

- niedostateczna – student nie potrafi w dostatecznym stopniu przedstawić pojęć z danego zakresu, nie potrafi poprawić błędów w swojej wypowiedzi pomimo wskazania ich przez egzaminatora, nie potrafi w dostateczny sposób zilustrować pojęć i twierdzeń przykładami lub kontrprzykładami lub nie potrafi przeprowadzić elementarnych rozumowań matematycznych;

1. Całka funkcji wielu zmiennych

* Przestrzenie i funkcje mierzalne

* Miara Lebesgue'a, zbiory miary zero

* Całka Lebesgue'a i jej związek z całką Riemanna

* Twierdzenie Fubiniego

* Zamiana zmiennych w całce; współrzędne biegunowe, sferyczne i walcowe

* Zastosowania całki podwójnej i potrójnej

2. Całki krzywoliniowe i powierzchniowe

* Całka krzywoliniowa i jej interpretacja fizyczna

* Twierdzenie Greena

* Niezależność całki od drogi całkowania

* Całka powierzchniowa i twierdzenie Gaussa

3. Elementy równań różniczkowych zwyczajnych

* Twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań

* Podstawowe typy równań różniczkowych skalarnych, metoda rozdzielonych zmiennych

* Układy równań różniczkowych liniowych

* Stabilność punktów równowagi

Wykład prowadzony metodą tradycyjną. Wykorzystana jest platforma zdalnego nauczania Moodle w celu umieszczania pomocy dydaktycznych w postaci zestawów zadań, zagadnień na egzamin, itp.