Analiza matematyczna II 1000-M1AM2nz
Wykład (WYK) Semestr zimowy 2024/25

Por. Podstawowe informacje o przedmiocie (niezależne od cyklu)

Poniższe efekty weryfikowane są podczas egzaminu łącznego na koniec kursu 1000-M1AM2nl

Wiedza:

- student rozpoznaje i rozumie zbieżność punktową i jednostajną ciągów i szeregów funkcyjnych oraz zna podstawowe kryteria ich zbieżności

- zna podstawowe pojęcia topologii metrycznej potrzebne do analizy odwzorowań przestrzeni euklidesowych

- definiuje pojęcia rachunku różniczkowego odwzorowań wielu zmiennych (pochodnej mocnej, kierunkowej, cząstkowej, gradientu) i zna podstawowe twierdzenia dotyczące rachunku pochodnych

Umiejętności:

- student bada zbieżność punktową i jednostajną ciągów i szeregów funkcyjnych, w tym szczególnie potęgowych

- rozwija funkcje różniczkowalne w szereg Taylora

- stosuje pojęcia topologii metrycznej do opisu podzbiorów przestrzeni euklidesowych i odwzorowań tych przestrzeni

Podczas kursu student rozwija następujące kompetencje społeczne:

- potrafi myśleć analitycznie; umie precyzyjnie określić dane, problem do rozwiązania i metody do tego prowadzące oraz prowadzić rozumowanie według zasad logiki,

- zdobytą wiedzę i umiejętności umie przekazać w formie poprawnej logicznie wypowiedzi.

Weryfikacja efektów uczenia się następuje podczas egzaminu z przedmiotu 1000-M1AM2nl.

1. Powtórzenie wiadomości o ciągach i szeregach funkcyjnych.

2. Przestrzenie metryczne - definicja i podstawowe przykłady.

3. Podzbiory otwarte i domknięte przestrzeni metrycznych.

4. Ciągi zbieżne w przestrzeniach metrycznych, ciągowa charakteryzacja domkniętości.

5. Odwzorowania podzbiorów przestrzeni euklidesowych, odwzorowania ciągłe przestrzeni metrycznych.

6. Przestrzenie zupełne i ich własności, Zasada Banacha, twierdzenie Cantora.

7. Przestrzenie zwarte, podzbiory zwarte przestrzeni euklidesowych, własności odwzorowań ciągłych na przestrzeniach zwartych.

8. Przestrzenie spójne i ich podstawowe własności.

9. Granica i ciągłość funkcji wielu zmiennych.

10. Pochodna kierunkowa, cząstkowa i gradient funkcji wielu zmiennych.

11. Pochodna mocna odwzorowania, podstawowe własności funkcji różniczkowalnych.

12. Związek pochodnej mocnej z pochodnymi cząstkowymi, pochodna słaba, różniczka funkcji wielu zmiennych.

13. Twierdzenie o różniczkowaniu złożenia odwzorowań, reguła łańcucha, twierdzenie o przyrostach.

14. Płaszczyzna styczna i wektor normalny do powierzchni, interpretacja geometryczna gradientu funkcji.