Analiza matematyczna I 1000-M1AM1nl
Wykład (WYK) Semestr letni 2025/26

Wiedza:

- zna podstawy rachunku różniczkowego i całkowego funkcji jednej zmiennej,

- zna podstawowe kryteria zbieżności szeregów liczbowych oraz własności tych szeregów.

Umiejętności:

- stosuje poznane pojęcia i twierdzenia rachunku różniczkowego i całkowego funkcji jednej zmiennej oraz teorii szeregów liczbowych w rozwiązywaniu podstawowych problemów ilościowych i jakościowych,

- potrafi przygotować poprawną merytorycznie i językowo wypowiedź ustną dotyczącą zagadnień objętych przedmiotem,

- prowadzi poprawne rozumowania matematyczne w oparciu o poznane fakty.

Podczas kursu student rozwija następujące kompetencje społeczne:

- potrafi myśleć analitycznie; umie precyzyjnie określić dane, problem do rozwiązania i metody do tego prowadzące oraz prowadzić rozumowanie według zasad logiki,

- zdobytą wiedzę i umiejętności umie przekazać zarówno w formie pisemnej jak i ustnej.

UWAGA! W ZALEŻNOŚCI OD SYTUACJI EPIDEMICZNEJ EGZAMIN MOŻE BYĆ OGRANICZONY DO JEDNEJ CZĘŚCI LUB PRZEPROWADZONY HYBRYDOWO (część pisemna stacjonarnie, część ustna zdalnie)

Egzamin pisemny sprawdzający znajomość przedstawionych pojęć i faktów, ilustrowania ich właściwymi przykładami lub kontrprzykładami oraz umiejętność ich zastosowania w rozumowaniach dowodowych i rozwiązywaniu problemów analizy matematycznej.

Egzamin ustny sprawdzający wiedzę z zakresu objętego przedmiotem 1000-M1AM1nl oraz umiejętność formułowania słownych wypowiedzi dotyczących pojęć, twierdzeń a także przedstawiania prawidłowych rozumowań matematycznych.

Ustalany jest minimalny limit punktów uprawniający do podejścia do części ustnej egzaminu (ok. 25%).

Wynik egzaminu pisemnego ma wpływ na ocenę końcową z egzaminu.

Kryteria oceny:

- bardzo dobra – student bardzo dobrze przedstawia i omawia pojęcia z danego zakresu, ilustruje je przykładami lub kontrprzykładami i przeprowadza złożone rozumowania matematyczne

- dobra – student prawidłowo przestawia i omawia pojęcia z danego zakresu, przy ewentualnych wskazówkach egzaminatora, prawidłowo poprawia ewentualne błędy w swojej wypowiedzi, pojęcia i twierdzenia ilustruje przykładami lub kontrprzykładami, przeprowadza mało złożone rozumowania matematyczne

- dostateczna – student prawidłowo przedstawia pojęcia z danego zakresu, przy ewentualnych wskazówkach egzaminatora, i ilustruje je poznanymi przykładami lub kontrprzykładami, umie przeprowadzić elementarne, nie złożone rozumowania matematyczne przedstawione na wykładzie

- niedostateczna – student nie potrafi w dostatecznym stopniu przedstawić pojęć z danego zakresu, nie potrafi poprawić błędów w swojej wypowiedzi pomimo wskazania ich przez egzaminatora, nie potrafi w dostateczny sposób zilustrować pojęć i twierdzeń przykładami lub kontrprzykładami lub nie potrafi przeprowadzić elementarnych rozumowań matematycznych; nieuzyskanie na egzaminie pisemnym minimalnego limitu punktów uprawniającego do podejścia do egzaminu ustnego, o którym mowa wyżej, jest równoznaczne z uzyskaniem z egzaminu oceny niedostatecznej.

1. Różniczkowalność funkcji, własności funkcji różniczkowalnych, wyprowadzenia wzorów na pochodne funkcji elementarnych.

2. Różniczka funkcji i jej zastosowania.

3. Twierdzenia Cauchy'ego, Langrange'a i Rolle'a. Warunki konieczny i dostateczny istnienia ekstremum funkcji. Związki pochodnej z monotonicznością funkcji.

4. Reguła de L'Hospitala.

5. Twierdzenie Taylora.

6. Wypukłość i wklęsłość funkcji.

7. Asymptoty funkcji, badanie przebiegu zmienności funkcji.

8. Całka nieoznaczona - definicja i podstawowe własności.

9. Całkowanie wyrażeń wymiernych.

10. Całkowanie niektórych wyrażeń niewymiernych i wyrażeń trygonometrycznych.

11. Całka Riemanna - konstrukcja i interpretacja geometryczna.

12. Własności całki Riemanna.

13. Twierdzenie o wartości średniej dla całki i podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego i całkowego.

14. Zastosowania całki oznaczonej do liczenia długości łuków, pól i objętości.

15. Całki niewłaściwe.

16. Szeregi liczbowe; kryteria zbieżności Dirichleta, Abela i Leibniza.

17. Kryteria zbieżności dla szeregów o wyrazach nieujemnych.

18. Kryteria d'Alemberta i Cauchy'ego; szeregi przemienne, iloczyn Cauchy'ego szeregów.

19. Zbieżność punktowa i jednostajna ciągów i szeregów funkcyjnych.

20. Całkowanie i różniczkowanie ciągów i szeregów funkcyjnych.

21. Rozwijanie funkcji w szereg Taylora.

Wykład prowadzony metodą tradycyjną. Omawiane tematy ilustrowane przykładami i zadaniami do samodzielnego rozwiązania.