Matematyka z elementami statystyki

Wiadomości z przedmiotu Matematyka w zakresie liceum ogólnokształcącego poziom podstawowy.

przedmiot obligatoryjny

1. 30h – wykład, 45h – ćwiczenia, tj. 75h kontaktowych,

2. 85h – praca indywidualna,

3. 20h – czas wymagany do przygotowania się i do uczestnictwa w

procesie oceniania,

- całkowity czas nakładu pracy studenta to 180h.

Student:

W1: definiuje podstawowe pojęcia algebry liniowej i prezentuje

dotyczące ich twierdzenia (wektor, macierz, działania na

macierzach, wyznacznik, macierz odwrotna, układ równań

liniowych i jego rozwiązanie, wektor i wartość własna macierzy),

W2: definiuje i analizuje podstawowe pojęcia analizy matematycznej i

prezentuje dotyczące ich twierdzenia (funkcja rzeczywista, ciąg

rzeczywisty, monotoniczność, ograniczoność, granica ciągu,

granica funkcji, ciągłość, szereg, jego zbieżność i suma, pochodna,

ekstremum lokalne, wypukłość i wklęsłość funkcji, punkty

przegięcia funkcji, asymptoty funkcji, funkcja pierwotna, całka

oznaczona, całka niewłaściwa, granica i ciągłość funkcji wielu

zmiennych, pochodne cząstkowe funkcji wielu zmiennych, ekstrema

funkcji wielu zmiennych.

W3: definiuje podstawowe pojęcia statystyczne

Student:

U1: oblicza wyznaczniki macierzy kwadratowych,

U2: rozwiązuje układy równań liniowych,

U3: znajduje macierz odwrotną do macierzy nieosobliwej,

U4: znajduje wektory i wartości własne macierzy kwadratowej,

U5: oblicza iloczyn skalarny i wektorowy wektorów w R^n, odległość

punktów w R^n,

U6: weryfikuje monotoniczność, ograniczoność oraz zbieżność

ciągów rzeczywistych i znajduje ich granice,

U7: weryfikuje zbieżność szeregów, znajduje

sumy szeregów geometrycznych,

U8: znajduje granice funkcji (również niewłaściwe), weryfikuje jej

ciągłość,

U9: oblicza pochodne funkcji, znajduje równania stycznych do

wykresu, oblicza granice funkcji stosując reguły de

l'Hospitala, przeprowadza pełne badanie funkcji,

U10: znajduje pierwotną funkcji należącej do klas omówionych na

wykładzie,

U11: oblicza całki oznaczone i niewłaściwe,

U12: znajduje pochodne cząstkowe funkcji wielu zmiennych, oblicza

przybliżone wartości funkcji dwu i trzech zmiennych, znajduje

ekstrema funkcji dwu i trzech zmiennych.

U13: opracowuje statystycznie wyniki pomiarów

Student:

K1: kreatywność: myśli twórczo w celu udoskonalenia istniejących

bądź stworzenia nowych rozwiązań,

K2: sumienność i dokładność: jest nastawiony na jak najlepsze

wykonanie zadania; dba o szczegół; jest systematyczny,

K3: komunikatywność: skutecznie przekazuje innym osiągnięcia nauki

w zrozumiały sposób; dostosowuje poziom i formę

prezentacji do potrzeb i możliwości odbiorcy,

K4: samodzielność: w pełni samodzielnie realizuje uzgodnione cele,

podejmując samodzielne i czasami trudne decyzje; potrafi

samodzielnie wyszukiwać informacje w literaturze.

- wykład informacyjny (konwencjonalny)

- ćwiczeniowa
- klasyczna metoda problemowa

Kurs składa się z dwu zasadniczych części: algebraicznej i analitycznej. Część algebraiczna składa się z wiadomości z algebry liniowej niezbędnych do sformułowania i zrozumienia twierdzeń dotyczących rozwiązań układów równań liniowych i problemu wektorów własnych macierzy (pojęcie wektora, macierzy, liniowej niezależności wektorów, wyznacznika macierzy, rzędu macierzy, tw. Cramera, tw. Kroneckera-Capellego). Do części tej zaliczyć też można elementy geometrii analitycznej: norma wektora, odległość punktów,

iloczyn skalarny i wektorowy, równanie płaszczyzny.

Część analityczna to klasyczny rachunek różniczkowy i całkowy funkcji jednej zmiennej rozszerzony o pojęcia niezbędne do sformułowania twierdzenia o ekstremach funkcji dwu i trzech zmiennych.

Uzupełnieniem opisanych wyżej zasadniczych części kursu jest krótka część statystyczna poświęcona podstawowym metodom statystycznej analizy danych.

1. Zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory; indukcja matematyczna

-liczby rzeczywiste jako punkty osi liczbowej,

-kres zbioru , informacja o teorii aksjomatycznej,

-liczby naturalne, zasada indukcji,

-nierówność Bernoulli'ego, wzór dwumienny Newtona,

-liczby całkowite, wymierne niewymierne,

-przegląd funkcji elementarnych

2. R^n jako przestrzeń liniowa. Macierze i wyznaczniki

-definicja wektora i macierzy

-działania na wektorach

-liniowa niezależność

-definicja i podstawowe własności wyznacznika

3. Układy równań liniowych

-definicja układu Cramera i tw. Cramera

-definicja i podstawowe własności rzędu macierzy

-ogólne układy równań liniowych, tw. Kroneckera-Capellego

-metoda Gaussa rozwiązywania układów równań liniowych

4. Wektory i wartości własne macierzy; iloczyn

skalarny, norma, odległość

-wartości własne macierzy

- iloczyn skalarny i wektorowy w R^3 i ich własności

-norma wektora, nierówność Schwarza

-odległość w R^n

-równanie płaszczyzny w R^3

5. Ciągi liczb rzeczywistych

-definicja podstawowe własności

-definicja granicy i jej własności

-podstawowe twierdzenia dotyczące granic ciągów

-podstawowe klasy ciągów zbieżnych

-ciągi rozbieżne do nieskończoności

-liczba e

6. Szeregi liczbowe

-definicja szeregu i jego zbieżności, szereg geometryczny

-warunek konieczny zbieżności szeregu, szereg harmoniczny

-szeregi o wyrazach dodatnich, Kryterium Porównawcze,

Kryterium d'Alamberta, Kryterium Cauchy'ego, Kryterium o

Zagęszczaniu

-szeregi o wyrazach dowolnych, zbieżność bezwzględna, Kryterium

Leibniza, Kryterium Abela, Kryterium Dirichleta

7. Granica i ciągłość funkcji

-definicja granicy funkcji i jej podstawowe własności

-granice jednostronne

-twierdzenie o trzech funkcjach

-granice niewłaściwe

-ciągłość funkcji w punkcie, w zbiorze,

-własności funkcji ciągłych

-ciągłość funkcji elementarnych

-granice w 0 funkcji (sin x)/x oraz (a^x-1)/x

8. Pochodna funkcji

-definicja i podstawowe własności

-równanie stycznej do wykresu

-pochodne niektórych funkcji elementarnych

-pochodna funkcji złożonej i odwrotnej, pochodne pierwiastków,

funkcji cyklometrycznych i logarytmicznych

-twierdzenia o wartości średniej

9. Zastosowania pochodnych

-twierdzenia o monotoniczności i ekstremach funkcji rzeczywistych

-reguły de l'Hospitala

-wklęsłość i wypukłość funkcji

-asymptoty

-pełne badanie funkcji

10. Całka nieoznaczona i metody całkowania

-definicja i podstawowe własności

-całki elementarne

-całkowanie przez części

-całkowanie przez podstawienie

-całkowanie ułamków prostych

-rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste

-całkowanie funkcji niewymiernych

-podstawienia Eulera

-całkowanie funkcji trygonometrycznych

11. Całka oznaczona i jej zastosowania

-definicja i podstawowe własności

-całkowanie przez podstawienie i przez części dla całki oznaczonej

-tw. Newtona-Leibniza

-obliczanie pól powierzchni obszarów płaskich z zastosowaniem

całki oznaczonej

12. Szeregi stowarzyszone z funkcją

-szeregi Taylora

-szeregi Fouriera

13. Funkcje wielu zmiennych, granica i ciągłość

-przykłady prostych funkcji dwu zmiennych i ich wykresy

-ciągi w R^n i ich zbieżność

-definicja granicy funkcji dwu i trzech zmiennych

-przykłady granic podwójnych, granice niewłaściwe

-ciągłość, ciągłość funkcji elementarnych

14. Pochodne funkcji wielu zmiennych

-definicje pochodnych cząstkowych pierwszego i drugiego rzędu

-równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji dwu zmiennych

-wzór Taylora z drugą pochodną dla funkcji dwu i trzech

zmiennych

-przybliżone wartości funkcji

15. Ekstrema lokalne

-definicja ekstremum lokalnego funkcji wielu zmiennych

-tw. o ekstremach lokalnych funkcji dwu i trzech zmiennych

ĆWICZENIA

1. Macierze i wyznaczniki

-działania na macierzach

-obliczanie wyznaczników

-znajdowanie macierzy odwrotnej, proste równania macierzowe

-rząd macierzy, weryfikowanie liniowej niezależności wektorów

2. Równania liniowe

-rozwiązywanie układów Cramera metodą Cramera

-rozwiązywanie ogólnych układów równań liniowych metodą

Gaussa

3. Znajdowanie wektorów i wartości własnych macierzy kwadratowych

4. Elementy geometrii analitycznej

-obliczanie iloczynu skalarnego i wektorowego, długości

wektora, odległości punktów

-zastosowanie iloczynu wektorowego do obliczania pól

i objętości

-równanie płaszczyzny, odległość punktu od płaszczyzny

-znajdowanie równań płaszczyzn spełniających zadane warunki

-prosta w przestrzeni

5. Ciągi rzeczywiste

-badanie monotoniczności i ograniczoności ciągu

-znajdowanie granic ciągów

6. Szeregi

-znajdowanie sum prostych szeregów w szczególności szeregów

geometrycznych

-badanie zbieżności szeregów o wyrazach nieujemnych

-badanie zbieżności szeregów o wyrazach dowolnych

-badanie zbieżności bezwzględnej i warunkowej

7. Granice funkcji, ciągłość

-znajdowanie granic zwykłych i jednostronnych funkcji

-weryfikowanie ciągłości funkcji

- znajdowanie granic funkcji w nieskończoności

8. Pochodna

-obliczanie pochodnej funkcji

-znajdowanie wartości najmniejszej i największej na przedziale

-znajdowanie przedziałów monotoniczności ekstremów funkcji

-znajdowanie granic z zastosowaniem reguł de l’Hospitala

-pełne badanie funkcji

9. Całka nieoznaczona

-całki elementarne

-całkowanie przez części

-całkowanie przez podstawienie

-całkowanie funkcji wymiernych

-całkowanie funkcji niewymiernych

-podstawienia Eulera

-uniwersalne podstawienie trygonometryczne

10. Całka oznaczona

-całkowanie przez części

-całkowanie przez podstawienie

-zastosowanie całki oznaczonej do obliczania pól obszarów

płaskich, długości krzywych, objętości

-obliczanie całek niewłaściwych

11. Rozwijanie funkcji w szeregi

-znajdowanie szeregu Taylora w zadanym punkcie

-znajdowanie szeregu Fouriera danej funkcji okresowej

12. Funkcje wielu zmiennych

-obliczanie pochodnych cząstkowych pierwszego i drugiego

rzędu

-obliczanie przybliżonej wartości funkcji przy pomocy

różniczki pierwszego rzędu

-znajdowanie ekstremów funkcji dwu i trzech zmiennych

13. Elementy statystyki

-błąd systematyczny i przypadkowy

-miary położenia i rozproszenia wyników

-błąd a niepewność

-współczynnik korelacji i determinacji

-błąd standardowy

-odchylenia standardowe dla współczynników regresji

-odchylenie standardowe wartości prognozowanej

Literatura podstawowa

1. Teresa Jurlewicz, Zbigniew Skoczylas, Algebra liniowa 1.

Definicje, twierdzenia, wzory. Oficyna wydawnicza GiS(wiele wydań)

2. Marian Gewert, Zbigniew Skoczylas, Analiza matematyczna 1. Definicje, twierdzenia, wzory. Oficyna wydawnicza GiS (wiele wydań)

3. Marian Gewert, Zbigniew Skoczylas, Analiza matematyczna 2. Definicje, twierdzenia, wzory. Oficyna wydawnicza GiS (wiele wydań)

4. J. Koronacki, J.Mielniczuk, Statysytyka dla sudentów kierunków technicznych i przyrodniczych, WNT Warszawa, 2001,

5. J.B. Czermiński, A. Iwasiewicz, Z. Paszek, A. Sikorski, Metody statystyczne dla chemików, PWN, 1992

6. P. Szczepański, Materiały pomocnicze do przedmiotu Zastosowanie Informatyki w Chemii, Toruń, 2012

7. Kazimierz Kuratowski, Rachunek różniczkowy i całkowy. PWN (wiele wydań)

8. Franciszek Leja, Rachunek różniczkowy i całkowy. PWN (wiele wydań)

Literatura uzupełniająca (zbiory zadań)

1. W. Krysicki i L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, t. I i II, PWN, Warszawa (wiele wydań).

2. J. Banaś i S. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, WNT, Warszawa (wiele wydań).

3. W. Kaczor, Zadania z analizy matematycznej, cz. 1 i 2, PWN, Warszawa 2005.

4. Teresa Jurlewicz, Zbigniew Skoczylas, Algebra liniowa 1.

Przyklady i zadania. Oficyna wydawnicza GiS(wiele wydań)

5. M. Gewert i Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1 oraz Analiza matematyczna 2. Przykłady i zadania. Oficyna wydawnicza GiS (wiele wydań)