Matematyka - poziom podstawowy

Wiadomości z matematyki ze szkoły średniej na poziomie podstawowym.

- 45 godz. - zajęcia realizowane z udziałem nauczycieli (wykład + ćwiczenia)

- 30 godz. - praca indywidualna

- 15 godz. - przygotowania do procesu oceniania (zaliczenia)

- 90 godz. - całkowity czas pracy studenta

Student:

W1: wie, co to jest funkcja; zna podstawowe pojęcia dotyczące funkcji (dziedzina, zbiór wartości) i ich własności (monotoniczność, ograniczoność, parzystość, okresowość); wie, co to jest funkcja złożona; - K_W02

W2: wie co to są wielomiany i jakie operacje można na nich wykonywać; zna postać iloczynową i wie, jak ją otrzymywać; zna podstawowe pojęcia i twierdzenia związane z wielomianami; wie co to jest wartość bezwzględna i funkcja wymierna; - K_W02

W3: zna funkcje trygonometryczne i ich własności oraz wykresy; - K_W02

W4: zna definicje oraz własności funkcji wykładniczej i logarytmicznej oraz relacje między nimi;a - K_W02

W5: zna definicję ciągu i jego zbieżności; zna podstawowe twierdzenia dotyczące ciągów; - K_W02

W6: zna pojęcia i podstawowe twierdzenia związane z granicami funkcji; wie, co to jest ciągłość funkcji i jak ją badać; - K_W02

W7: zna definicję pochodnej funkcji jednej zmiennej, twierdzenia pozwalające na sprawne jej obliczanie; zna pojęcie pochodnej cząstkowej dla funkcji wielu zmiennych; wie, że pochodne odgrywają kluczową rolę w naukach przyrodniczych; - K_W02

W8: wie, jak badać przebieg zmienności funkcji; - K_W02

Student:

U1: potrafi określić dziedzinę funkcji oraz wyznaczyć jej podstawowe własności (monotoniczność, ograniczoność, parzystość, okresowość); - K_U02

U2: znajduje miejsca zerowe wielomianów; rozwiązuje równania i nierówności wielomianowe, a także dla funkcji wymiernych i wartości bezwzględnej; - K_U02

U3: potrafi korzystać z własności funkcji trygonometrycznych; rozwiązuje proste równania i nierówności trygonometryczne; - K_U02

U4: rozwiązuje równości i nierówności z funkcjami wykładniczymi i logarytmicznymi; - K_U02

U5: potrafi znaleźć granice prostych ciągów, stosując do tego stosowne twierdzenia; - K_U02

U6: umie obliczać granice funkcji (również niewłaściwe); potrafi rozstrzygnąć, czy funkcja jest ciągła; - K_U02

U7: oblicza pochodne funkcji (różnych rzędów); stosuje te umiejętności do znajdowania szeregów Taylora oraz obliczania granic z reguły de l'Hospitala; - K_U02

U8: potrafi zbadać przebieg zmienności funkcji; - K_U02

Student:

K1: Kreatywność: Myśli twórczo w celu udoskonalenia istniejących bądź stworzenia nowych rozwiązań; - K_K02

K2: Sumienność i dokładność: Jest nastawiony na jak najlepsze wykonanie zadania; dba o szczegóły; jest systematyczny; - K_K03

K3: Wytrwałość i konsekwencja: Pracuje systematycznie i ma pozytywne podejście do trudności stojących na drodze do realizacji założonego celu; dotrzymuje terminów; rozumie konieczność systematycznej pracy nad wszelkimi projektami; - K_K06

K4: Samodzielność: W pełni samodzielnie realizuje uzgodnione cele, podejmując czasami trudne decyzje; - K_K07

Wykład - konwencjonalny

Ćwiczenia - metoda ćwiczeniowa

- wykład informacyjny (konwencjonalny)

- ćwiczeniowa

Część ćwiczeń poświęcona będzie powtórzeniu i usystematyzowaniu wybranych zagadnień z programu szkoły średniej, z uwzględnieniem bardzo różnego poziomu przygotowania studentów. Szczególna uwaga będzie zwrócona na poprawny zapis matematyczny. Niektóre zagadnienia zostaną rozszerzone w porównaniu z zakresem podstawowym programu z matematyki dla szkoły średniej. Pojawią się też nowe zagadnienia, ilustrujące problemy omawiane na wykładzie, takie jak podstawy rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej. Pochodne będą wykorzystane jako narzędzie do badania przebiegu zmienności funkcji.

Wykład:

Kwantyfikatory:

- wprowadzenie dwóch rodzajów zapisu

- proste przykłady i konsekwentne stosowanie w czasie wykładu

Ciągi liczb rzeczywistych:

- definicja ciągu i podstawowe własności (monotoniczność, ograniczoność)

- definicja zbieżności ciągu i pojęcie granicy

- pojęcie rozbieżności ciągu i definicja ciągu rozbieżnego do nieskończoności

- podstawowe twierdzenia dotyczące granic ciągów

- liczba e

Granice funkcji:

- definicja granicy funkcji w punkcie wg. Heinego

- granice jednostronne

- granice w nieskończoności

- granice niewłaściwe w punkcie

- rachunek granic skończonych

Ciągłość funkcji:

- definicja ciągłości w punkcie i przykłady

- ciągłość funkcji na zbiorze argumentów

- podstawowe własności funkcji ciągłych

- ciągłość funkcji elementarnych, funkcji wymiernej, funkcji złożonych

Pochodna funkcji:

- iloraz różnicowy

- definicja pochodnej funkcji w punkcie

- geometryczna interpretacja pochodnej i równanie stycznej do wykresu

- funkcja "pochodna funkcji"

- pochodna funkcji elementarnych

- pochodne sumy, iloczynu oraz ilorazu funkcji

- pochodna funkcji złożonej

- pochodne wyższych rzędów

- przykłady zastosowania pochodnych w fizyce i chemii

Zastosowanie pochodnych funkcji:

- szereg Taylora, ze wstępem wprowadzającym pojęcie szeregu, jego zbieżności i prostych przykładów

- reguła de l'Hospitala

- diagnostyka właściwości funkcji z użyciem pochodnych, takich jak: monotoniczność, ekstrema funkcji, punkty przegięcia, wypukłość

- badanie przebiegu zmienności funkcji

----------------------

Ćwiczenia:

Zbiory:

- działania na zbiorach (suma, przekrój, różnica)

- iloczyn kartezjański

- graficzna interpretacja iloczynu kartezjańskiego w dwuwymiarowym układzie kartezjańskim

Podstawowe informacje o funkcjach:

- dziedzina i zbiór wartości

- tworzenie wykresu funkcji

- własności takie jak monotoniczność, ograniczoność, parzystość, nieparzystość, okresowość, różnowartościowość

- złożenie funkcji, funkcja odwrotna

- ilustracja na prostych przykładach

- dyskusja powyższych własności dla wszystkich funkcji wprowadzanych w dalszych częściach zajęć

Funkcja kwadratowa:

- podstawowe pojęcia i własności, postać iloczynowa i kanoniczna

- równania i nierówności kwadratowe

Wartość bezwzględna:

- definicja

- równania i nierówności

Wielomiany:

- definicja i wykresy

- operacje na wielomianach, ze szczególną uwagą zwróconą na dzielenie

- twierdzenie Bezout

- miejsca zerowe i równanie algebraiczne

- znajdowanie szczególnych rozwiązań dla wielomianów ze współczynnikami wymiernymi

- postać iloczynowa wielomianu

- równania i nierówności z wielomianami

Funkcje wymierne:

- definicja i własności

- równania i nierówności z funkcjami wymiernymi

Funkcje trygonometryczne:

- definicje, podstawowe własności i wykresy

- wzory redukcyjne

- podstawowe tożsamości trygonometryczne

- związek wzorów redukcyjnych z tożsamościami dla sumy kątów

- relacje pomiędzy tożsamościami trygonometrycznymi

- podstawowe równania i nierówności trygonometryczne

Funkcje wykładnicze i logarytmiczne:

- definicje, podstawowe własności i wykresy

- równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne

- szczególne zwrócenie uwagi na znaczenie monotoniczności obu funkcji przy rozwiązywaniu nierówności

- funkcje potęgowe

Ciągi liczb rzeczywistych:

- obliczanie granic ciągów liczb rzeczywistych, z zastosowaniem podstawowych twierdzeń (o granicy iloczynu lub ilorazu ciągów, o trzech ciągach)

- rozpoznawanie ciągów zbiegających do liczby e lub jej potęg

Granice funkcji:

- obliczanie granic funkcji w punkcie, w tym granic lewo- i prawostronnych

- korzystanie z rachunku granic skończonych

- obliczanie granic niewłaściwych w punkcie i znajdowanie asymptot pionowych

- obliczanie granic funkcji w nieskończoności i znajdowanie asymptot poziomych i ukośnych

- rozwiązywanie zadań z funkcjami zbiegającymi do liczby e oraz z funkcją sin(x)/x

Ciągłość funkcji:

- badanie ciągłości funkcji w punkcie oraz na przedziale

- ciągłość funkcji elementarnych

- korzystanie z twierdzeń o ciągłości funkcji zbudowanych z funkcji ciągłych, w tym złożenia takich funkcji

Pochodna funkcji:

- poznanie pochodnych funkcji elementarnych

- obliczanie pochodnych sumy, iloczynu, ilorazu i złożenia funkcji elementarnych

- pochodne wyższych rzędów

Zastosowanie pochodnych funkcji:

- znajdowanie szeregu Taylora dla prostych funkcji

- zastosowanie reguły de l'Hospitala do znajdowania granic funkcji dla różnych przypadków wyrażeń nieoznaczonych

- badanie własności funkcji z wykorzystaniem pochodnych (monotoniczność, ekstrema, punkty przegięcia, wypukłość)

- badanie przebiegu zmienności funkcji i konstrukcja wykresu

Literatura podstawowa:

- Roman Leitner, Zarys matematyki wyższej dla studentów części I i II, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa (wiele wydań);

- Roman Leitner, Janusz Zacharski, Zarys matematyki wyższej dla studentów część III, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa (wiele wydań);

- Roman Leitner, Wojciech Matuszewski, Zdzisław Rojek, Zadania z matematyki wyższej części I i II, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa (wiele wydań);

- Donald A. McQuarrie, Matematyka dla przyrodników i inżynierów, tom 1, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2005;

- W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, części I i II, PWN, Warszawa (wiele wydań);

Literatura uzupełniająca:

- Erich Steiner, Matematyka dla chemików, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2001;

- Grzegorz Decewicz, Wojciech Żakowski, Matematyka Część 1, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa;

- W. Kołodziej, W. Żakowski, Matematyka Część 2, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa;

- T. Trajdos, Matematyka Część 3, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa;

- W. Leksiński, B. Macukow, W. Żakowski, Matematyka w zadaniach dla kandydatów na wyższe uczelnie, cz. 1 i 2, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa;

- B. Gdowski, E. Pluciński, Zbiór zadań z matematyki dla kandydatów na wyższe uczelnie, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa (wiele wydań);

- Robert Lambourne, Michael Tinker, Basic Mathematics for the Physical Sciences, Wiley 2001;

- Paul Monk, Masths for Chemistry, Oxford University Press 2006;

Wykład: zaliczenie

Ćwiczenia: kolokwia pisemne

Kryteria oceniania:

0-50% - ndst (2)

50-60% - dst (3)

61-65% - dst plus (3+)

66-75% - db (4)

76-80% - db plus (4+)

81-100% - bdb (5)