Metody numeryczne II

Znajomość wybranych działów z analizy matematycznej, programowania, algorytmów i struktur danych, metod numerycznych I.

przedmiot obligatoryjny

Godziny realizowane z udziałem nauczycieli ( godz.):

- udział w wykładach - 30

- udział w laboratoriach – 30

Czas poświęcony na pracę indywidualną studenta ( godz.):

- przygotowanie do wykładu-30

- przygotowanie do laboratoriów – 30

- czytanie literatury- 10

- przygotowanie do egzaminu- 20

Łącznie: 150 godz. ( 5 ECTS)

W01: Ma wiedzę w zakresie analizy matematycznej, matematyki dyskretnej niezbędnych do zastosowania w metodach numerycznych – K_W01

W02: posiada rozszerzoną wiedzę w zakresie zaawansowanej konstrukcji i analizy algorytmów, które realizują odpowiednie metody numeryczne - K_W02, K_W03

U01: Potrafi wykorzystać posiadaną wiedzę przy formułowaniu i rozwiązywaniu problemów informatycznych w zakresie metod numerycznych, - K_U04

U02: Potrafi zaprojektować algorytmy dla metod numerycznych oraz zwiększyć ich efektywność, K_U09

U03: Potrafi identyfikować problemy informatyczne i dobrać odpowiednie metody numeryczne w celu ich rozwiązywania - K_U10

K01: potrafi krytycznie ocenić posiadaną wiedzę w zakresie metod numerycznych i rozumie potrzebę dalszego kształcenia - K_K01

Metoda dydaktyczna podająca:

- wykład informacyjny (konwencjonalny)

Wykład, forma bezpośrednia: prezentacja i dyskusja

Metoda dydaktyczna poszukująca:

- laboratoryjna

Laboratoria, forma bezpośrednia: zadania w trakcie zajęć

- pokaz
- symulacyjna (gier symulacyjnych)

- wykład informacyjny (konwencjonalny)

Celem wykładu jest zapoznanie studentów z zaawansowanymi metodami numerycznymi stosowanymi w praktyce fizycznej, matematyce, praktyce inżynierskiej, chemicznej i informatycznej. Dodatkowo omawiane są systemy liczenia i sposób reprezentacji informacji w komputerze a także źródła błędów numerycznych.

1. Modelowanie komputerowe, programowanie i metody numeryczne w teorii i praktyce. Podstawowe problemy obliczeniowe.

2. Dokładność obliczeń numerycznych, źródła i miary błędów, analiza błędów. Przenoszenie się błędów. Uwarunkowanie zadania numerycznego. Wskaźnik uwarunkowania. Wsteczna analiza błędów.

3. Reprezentacja liczb. Stałoprzecinkowe liczby: kod znak – moduł (ZM),

kod uzupełnienia do jednego (U1), kod uzupełnienia do dwóch (U2).

Zapis zmiennopozycyjny. Standard IEEE-754. Rozszerzona precyzja.

4. Układy równań liniowych. Rodzaje metod rozwiązywania układów równań liniowych.

Metody bezpośrednie. Metoda Cramera. Algebra macierzy. Wskaźnik uwarunkowania macierzy. Ocena błędu rozwiązania układu równań liniowych.

Układy równań liniowych o macierzach trójkątnych. Eliminacja Gaussa. Wybór elementu głównego. Rozkład macierzy A na czynniki trójkątne. Permutacja. Eliminacja Gausa-Jordana. Rozkład LU. Metoda Doolittle’a. Wyznaczanie macierzy odwrotnej. Rozkład Cholesky’ego. LDL dekompozycja. LU faktoryzacja macierzy trój-diagonalnej.

Metody iteracyjne. Metoda Jakobiego. Metoda Gausa-Seidela. Zbieżność metod iteracyjnych. Metoda nadrelaksacji-Successive Overrelaxation (SOR).

5. Wartości i wektory własne macierzy. Definicje.

Wzory Cramera. Twierdzenie Cayleya-Hamiltona. Metoda potęgowa. Wartość własna dominująca. Metoda odwrotna potęgowa. Metoda na podstawie LU faktoryzacji. Metoda przesuniętych iteracji. Obliczenie środkowych wartości własnych. QR metoda obliczenia wszystkich wartości własnych. Ortogonalizacja Grama-Schmidta. Obliczenie wektorów własnych.

6. Aproksymacja

Aproksymacja punktowa. Aproksymacja wielofunkcyjna. Aproksymacja wielomianowa. Macierz Vandermonde'a. Metoda równań normalnych.

QR dekompozycja. Ortogonalizacja Grama-Schmidta. Ortogonalizacja Householdera. Ortogonalizacja Givensa. Metoda SVD - Singular Value Decomposition.

Aproksymacja ciągła. Aproksymacja wielomianowa. Wielomiany Legendre’a. Wielomiany Czebyszewa. Szereg Fouriera. Aproksymacja Fouriera.

Aproksymacja Fouriera punktowa. Efekt Gibbsa.

Rozkład falkowy.

7. Równania różniczkowe zwyczajne

Metody Eulera jedno-krokowe. Metoda Taylora. Metoda różnicowa. Metoda siatek. Jawna i niejawna metoda Eulera. Metody Rungego-Kutty. Wielopunktowe metody. Jawna i niejawna metoda Newtona interpolacji wielomianowej. Metoda Adamsa-Bashfortha 4 rzędu. Metoda Adamsa-Moultona. Ogólna jawna i niejawna metoda Adamsa.

Nieliniowe równania. Niejawna metoda Newtona.

Układy równań różniczkowych. Równania sztywne.

8. Problemy brzegowe

Dwupunktowe zagadnienie brzegowe. Metoda różnic skończonych.

Literatura podstawowa:

1. J. Stoer, R. Bulirsch, Wstęp do analizy numerycznej

2. A. Ralston, Wstęp do analizy numerycznej

3. S. R. Otto, P. Denier, An Introduction to Programing and Numerical Methods in MATLAB

Literatura uzupełniająca:

1. O. Sokolov, Prezentacje wykładu w postaci elektronicznej

2. W. H. Press et al., Numerical recipies

Metody oceniania:

egzamin - W1,W2, K01

zaliczenie na ocenę - U01-U03

Kryteria oceniania:

Wykład: egzamin ( pytania otwarte)

ndst -30 pkt (30%)

dst- 50 pkt (50%)

dst plus- 75 pkt (75%)

db- 90 pkt (90%)

db plus- 95 pkt (95%)

bdb- 100 pkt (100%)

Laboratoria: zaliczenie na ocenę na podstawie wykonywania zadań w trakcie zajęć

ndst -30 pkt (30%)

dst- 50 pkt (50%)

dst plus- 75 pkt (75%)

db- 90 pkt (90%)

db plus- 95 pkt (95%)

bdb- 100 pkt (100%)

Osoby które zaliczą laboratorium na ocenę 5 są zwolnione z egzaminu.

Warunkiem przystąpienia do egzaminu jest zaliczenie z laboratoriów.

bez praktyk zawodowych