Algebra liniowa z geometrią analityczną

przedmiot obowiązkowy

30 godz. - wykład

30 godz. - ćwiczenia

30 godz. - praca własna - bieżące przygotowanie do zajęć, studiowanie literatury

35 godz. - praca własna - przygotowanie do zaliczenia

5 godz. - zaliczenie ćwiczeń

RAZEM: 130 godz.

5 pkt. ECTS

Po ukończeniu łącznie kursów I1ALAz i I1ALAl student osiąga następujące efekty (kody odnoszą się do efektów dla studiów 1 stopnia na kierunku informatyka - studia licencjackie i inżynierskie):

W1 - posiada podstawową wiedzę w zakresie pojęć: definiuje podstawowe pojęcia algebry liniowej, takie jak m.in. przestrzeń liniowa nad ciałem, baza przestrzeni liniowej, przekształcenie liniowe, wartości i wektory własne macierzy i endomorfizmów, przestrzeń ortogonalna, przestrzeń euklidesowa (K_W01),

W2 - posiada wiedzę w zakresie własności i faktów dotyczących podstawowych pojęć: formułuje najważniejsze twierdzenia algebry liniowej, ilustruje je przykładami (K_W01).

Po ukończeniu łącznie kursów I1ALAz i I1ALAl student osiąga następujące efekty (kody odnoszą się do efektów dla studiów 1 stopnia na kierunku informatyka - studia licencjackie i inżynierskie):

U1 - stosuje podstawowe algorytmy sprowadzania macierzy do różnych wyróżnionych postać (K_U01),

U2 - rozwiązuje układy równań liniowych, wykonuje działania na macierzach, znajduje macierz odwrotną, oblicza wyznacznik i rząd macierzy [różnymi metodami] (K_U01),

U3 - wykonuje działania w ciele reszt i w ciele liczb zespolonych oraz rozwiązuje podstawowe problemy algebry liniowej nad tymi ciałami (K_U01),

U4 - znajduje macierz przekształcenia liniowego względem baz, oblicza wartości przekształcenia liniowego zadanego macierzą, dla danego przekształcenia znajduje algorytmicznie bazę jego jądra i obrazu (K_U01),

U5 - oblicza wielomian charakterystyczny, wartości własne oraz wektory własne macierzy kwadratowych i endomorfizmów (K_U01),

U6 - znajduje dopełnienia ortogonalne wektorów i podprzestrzeni w przestrzeni ortogonalnej, stwierdza dodatnią określoność funkcjonałów dwuliniowych i znajduje algorytmicznie bazy ortogonalne (K_U01),

U7 - stosuje pojęcia i metody algebry liniowej do podstawowych zagadnień geometrii płaszczyzny euklidesowej i przestrzeni trójwymiarowej (K_U01).

Po ukończeniu łącznie kursów I1ALAz i I1ALAl student osiąga następujące efekty (kody odnoszą się do efektów dla studiów 1 stopnia na kierunku informatyka - studia licencjackie i inżynierskie):

K1 - komunikatywność: skutecznie przekazuje innym swoje myśli w zrozumiały sposób; właściwie posługuje się terminologią fachową; potrafi nawiązać kontakt w obrębie swojej dziedziny (K_K02).

K2 - sumienność i dokładność: jest nastawiony na jak najlepsze wykonanie zadania; dba o szczegóły; jest systematyczny, rozumie potrzebę ciągłego doskonalenia się (K_K03).

- wykład informacyjny (konwencjonalny)

- ćwiczeniowa

Celem kursu jest zaznajomienie jego uczestników z podstawowymi pojęciami, technikami i problemami algebry liniowej, oraz zastosowaniami wypracowanego aparatu do opisu i rozwiązywania wybranych zagadnień geometrii analitycznej, a także przygotowanie do ich wykorzystania w innych obszarach matematyki i informatyki. Przedmiot rozszerza wiedzę szkolną przy użyciu abstrakcyjnego języka współczesnej matematyki.

(Opis łączny dla I1ALAz i I1ALAl)

1. Układy równań liniowych w "niskich wymiarach" nad R:

geometryczna interpretacja (wierszowa i kolumnowa) układu równań liniowych, postać wektorowa układu, metody rozwiązywania - przypomnienie, idea metody eliminacji Gaussa.

2. Macierze nad R:

układ równań liniowych - postać ogólna, macierz układu, definicja macierzy, macierze górnoschodkowe i trójkątne, operacje macierzowe, algorytm sprowadzania macierzy do postaci górnoschodkowej (odp. całkowicie zredukowanej) i jego zastosowanie do rozwiązywania układów równań (metodą eliminacji Gaussa), rząd macierzy; działania na macierzach, zapis macierzowy układu równań, macierze elementarne i interpretacja macierzowa algorytmu; macierz odwrotna i metoda Gaussa-Jordana jej obliczania (algorytm), macierze permutacji i algorytm sprowadzania macierzy do postaci A=LPU, przypadek macierzy symetrycznych.

3. Wyznaczniki:

definicja i podstawowe własności, przykłady obliczania wyznaczników, wyznacznik Vandermonde'a, twierdzenie Cauchy'ego o wyznaczniku iloczynu macierzy, wzory Cramera, rząd jako stopień maksymalnego niezerowego minora, rozwiązywanie układów równań liniowych przy pomocy wyznaczników.

4. Ciała - definicje i podstawowe przykłady, macierze nad ciałem:

grupy macierzowe (macierze: permutacji, odwracalne, odwracalne trójkątne, odwracalne diagonalne), grupy abstrakcyjne, pierścienie i ciała - definicje i przykłady; konstrukcja liczb zespolonych przy pomocy macierzy rzeczywistych, zasadnicze twierdzenie algebry, znajdowanie pierwiastków równań wielomianowych, interpretacja geometryczna i postać trygonometryczna; arytmetyka modulo n i ciała skończone Z_p (w szczególności algorytm obliczania elementu odwrotnego), zastosowania; rachunek macierzowy, obliczanie wyznaczników i rozwiązywanie układów równań liniowych nad dowolnymi ciałami, w szczególności nad Z_p i nad ciałem liczb zespolonych C.

5. Przestrzenie liniowe:

definicja przestrzeni liniowej nad ciałem, przykłady, podprzestrzenie liniowe, operacje na podprzestrzeniach, kombinacja liniowa wektorów, podprzestrzeń liniowa rozpięta przez zbiór wektorów, liniowa niezależność, baza i wymiar przestrzeni liniowej (lemat Steinitza), rząd macierzy jako wymiar, algorytmy znajdowania baz wybranych podprzestrzeni.

6. Wybrane zagadnienia z geometrii afinicznej:

przestrzeń afiniczna nad przestrzenią liniową, przestrzenie En, hiperpłaszczyzny w En i różne sposoby ich zadawania za pomocą równań dla n=2,3, interpretacja zbioru rozwiązań układu równań liniowych, zbiory wypukłe.

7. Przekształcenia liniowe:

definicja i przykłady, jądro, obraz i rząd przekształcenia liniowego, macierz przekształcenia liniowego względem ustalonych baz i jej zachowanie przy zmianie baz, przestrzenie homomorfizmów, algorytmy obliczania rzędu oraz znajdowania baz jądra i obrazu danego przekształcenia liniowego, związek pomiędzy rzędem, wymiarami jądra i obrazu przekształcenia liniowego, zastosowania rzędu do analizy układów równań liniowych, twierdzenie Kroneckera-Capellego.

8. Wektory i własności własne endomorfizmu przestrzeni liniowej:

definicje i przykłady, podprzestrzenie niezmiennicze, wielomian charakterystyczny, konsekwencje zasadniczego twierdzenia algebry, macierze i odwzorowania diagonalizowalne oraz ich zastosowania (rekursja liniowa i potęgowanie macierzy), twierdzenie Cayleya-Hamiltona i jego zastosowania, informacja o twierdzeniu Jordana.

9. Odwzorowania dwuliniowe:

funkcjonały i odwzorowania dwuliniowe, funkcjonały symetryczne, macierz formy dwuliniowej, bazy ortogonalne (ortonormalne) i ich istnienie (algorytm ich znajdowania w przypadku ogólnym nad R), twierdzenie o bezwładności, formy niezdegenerowane i dodatnio określone, iloczyny skalarne, nierówność Schwarza i kąt pomiędzy wektorami, wektory i bazy ortogonalne w przestrzeniach euklidesowych, algorytm ortogonalizacji Gramma-Schmidta, kryterium Sylvestera, twierdzenie strukturalne dla macierzy dodatnio określonych, iloczyn wektorowy i jego podstawowe własności.

10. Przykładowe zastosowanie iloczynu skalarnego i wektorowego w geometrii:

twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie o przekątnych w równoległoboku, obliczanie odległości punktu od prostej, wyznaczenie równania płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty, testy na współliniowość i współpłaszczyznowość punktów, odległość prostych w przestrzeni, pole równoległoboku i objętość równoległościanu.

Literatura podstawowa:

1. G. Banaszak, W. Gajda, Elementy algebry liniowej, cz. 1 i 2, WNT, Warszawa 2002.

2. A. Białynicki-Birula, Algebra liniowa z geometrią, PWN, Warszawa, 1979.

3. G. Strang, Linear algebra and its applications, Academic Press, New York 1980.

Literatura uzupełniająca:

4. A. Białynicki-Birula, Zarys algebry, PWN, Warszawa 1987.

5. M. Gelfand, Wykłady z algebry liniowej, PWN, Warszawa (wiele wydań).

6. A. I. Kostrykin, Wstęp do algebry, cz. 2, Algebra liniowa, PWN Warszawa 2004.

Zbiory zadań:

1. L. Jeśmanowicz i J. Łoś, Zbiór zadań z algebry, PWN, Warszawa, 1976.

2. T. Jurlewicz i Z. Skoczylas, Algebra liniowa 1 (2) - przykłady i zadania, GiS, Wrocław 2003 (2005).

3. I. Nabiałek, Zadania z algebry liniowej, WNT, Warszawa 2006.

4. S. Przybyło i A. Szlachtowski, Algebra i wielowymiarowa geometria analityczna w zadaniach, WNT, Warszawa 1998.

5. J. Rutkowski, Algebra liniowa w zadaniach, PWN, Warszawa 2008.

Zaliczenie ćwiczeń w obu semestrach odbywa się na podstawie pisemnych śródsemestralnych sprawdzianów i kolokwiów przeprowadzanych pod koniec semestru - weryfikacje efektów U1 - U7 oraz K1 i K2

Egzamin odbywa się po semestrze letnim i ma formę pisemną. Składa się z pytań teoretycznych i zadań praktycznych - weryfikacje efektów W1, W2 oraz K1 i K2.

Kryteria oceny:

- bardzo dobra – student bardzo dobrze przedstawia i opisuje pojęcia, ich własności oraz fakty ich dotyczące, ilustruje je przykładami lub kontrprzykładami, przeprowadza też złożone rozumowania skutecznie stosujące je w konkretnych praktycznych sytuacjach

- dobra – student prawidłowo przedstawia i opisuje pojęcia, ich własności oraz fakty ich dotyczące, ilustruje je przykładami lub kontrprzykładami, a także przeprowadza średnio złożone rozumowania stosujące je w konkretnych praktycznych sytuacjach

- dostateczna – student prawidłowo przedstawia najważniejsze podstawowe pojęcia i ilustruje je poznanymi przykładami, najważniejsze ich własności oraz fakty ich dotyczące, umie przeprowadzić elementarne rozumowania stosujące je w konkretnych praktycznych sytuacjach (w zakresie przedstawionym na wykładzie)

- niedostateczna – student nie potrafi w dostatecznym stopniu przedstawić podstawowych pojęć, nie zna ich własności i faktów ich dotyczących, nie potrafi ich zilustrować przykładami lub kontrprzykładami, nie potrafi w stopniu dostatecznym przeprowadzić nawet elementarnych rozumowań mających na celu zastosowanie ich w konkretnych praktycznych sytuacjach (nawet w zakresie przedstawionym na wykładzie) .