Analiza funkcjonalna

analiza I II, wtępne wiadomości z topologii i teorii miary, algebra liniowa

przedmiot obowiązkowy

Godziny wymagające kontaktu z nauczycielem:

30 godz. - wykład

30 godz. -ćwiczenia

4 godz. - egzamin

Praca własna:

25 godz. - bieżące przygotowanie do ćwiczeń

15 godz. - przygotowanie do zaliczenia ćwiczeń

35 godz.- studiowanie literatury

30 godz. przygotowanie do egzaminu

Razem: 169 godz. - 6 ECTS

Po ukończeniu kursu student:

- Operuje podstawowymi przestrzeniami analizy funkcjonalnej: Banacha, Hilberta, Frecheta, linowo-topologiczne, lokalnie wypukle; zna podstawowe przykłady takich przestrzeni;

- Operuje pojęciem przestrzeni sprzężonej (rozumie znaczenie obiektów dualnych, w szczególności operuje pojęciem refleksywności);

- Rozumie i umie stosować klasyczne twierdzenia analizy funkcjonalnej: tw. o odwzorowaniu otwartym, domkniętym wykresie, o odwzorowaniu otwartym, zasadę jednostajnej ograniczoności, twierdzenie Banacha-Alaoglu, twierdzenie Kreina-Milmana;

- Rozumie pojęcia słabych topologiii w przestrzeniach Banacha i umie je wykorzystać;

- Rozumie pojęcie układu ortonormalnego zupełnego w przestrzeni Hilberta i pojecie szeregu Fouriera;

- W klasycznej sytuacji szeregów Fouriera funkcji okresowych rozumie związki pomiędzy regularnością (gładkością) funkcji i prędkością malenia do zera transformaty Fouriera;

- Potrafi rozwijać w szereg Fouriera funkcje okresowe i całkowalne.

Student:

- rozumie podstawową strukturę przestrzeni Banacha i Hilberta

- swobodnie posluguje sie podstawowymi narzędziami analizy funkcjonalnej

- potrafi samodzielnie dowodzić prostych faktów z zakresu analizy funkcjonalnej i harmonicznej.

Student:

K1: potrafi przeprowadzić logiczne rozumowanie, wykryć luki w rozumowaniu, rozumie swoje braki w wiedzy, potrafi zadawać właściwe pytania prowadzące do wzrostu w wiedzy i rozumienia,

K2: jest systematyczny i dokładny,

K3: komunikuje się wydajnie za pomoc różnych narzędzi

wykład - podstawowe informacje, dowody

ćwiczenia - klasyczna metoda rozwiązywania zadań i stawiania problemów

Zaliczenie podstawowych kursów algebry liniowej i analizy. Opis przedmiotu Wykład jest wprowadzeniem do poznania ważnych narzędzi matematycznych, których dostarcza analiza funkcjonalna. Zasadnicza część wykładu dotyczy klasycznej teorii przestrzeni Banacha (m.in. ciągłości operatorów liniowych, słabych topologii i wypukłości). Pozostała część wykładu koncentruje się na teorii szeregów Fouriera funkcji okresowych.

• Przestrzenie liniowo-metryczne. Przestrzenie Fr´echeta i przestrzenie Banacha (ciągowe i funkcyjne przestrzenie Banacha – klasyczne nierówności całkowe). Odwzorowania liniowe i ciągłe.
• Zasada jednostajnej ograniczoności (twierdzenie Banacha–Steinhausa).
• Twierdzenie Hahna–Banacha i twierdzenia o oddzielaniu.
• Twierdzenie o odwzorowaniu otwartym i o domkniętym wykresie.
• Podstawowe wiadomości o słabych topologiach.
• Twierdzenie Banacha–Alaoglu.
• Punkty ekstremalne i twierdzenie Kreina–Milmana.
• Przestrzeń sprzężona do przestrzeni Banacha. Refleksywność.
• Przestrzenie Hilberta. Nierówność Schwarza. Ortogonalność, bazy hilbertowskie. Wstęp do teorii szeregów Fouriera. Zupełność układu trygonometrycznego. Jądra sumujące. Współczynniki Fouriera funkcji gładkich.

Literatura podstawowa:

1. A. Alexiewicz, Analiza funkcjonalna,
2. W. Mlak, Wstęp do teorii przestrzeni Hilberta,
3. J. Musielak, Wstęp do analizy funkcjonalnej.

Literatura uzupełniająca:

1. N. Dunford, D. Schwartz, Liniejnyje operatory,
2. L.W. Kantorowicz, Funkcjonalnyj analiz,
3. S. Rolewicz, Analiza funkcjonalna i teoria sterowania,
4. W. Rudin, Funkcjonalnyj analiz.

ćwiczenia: na podstawie kolokwiów zaliczeniowych

wykład: egzamin pisemny (testowy) - pierwszy dzień,+ egzamin pisemny - drugi dzień