Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu - Centralny punkt logowaniaNie jesteś zalogowany | zaloguj się
katalog przedmiotów - pomoc

Matematyka elementarna

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-M1MEL Kod Erasmus / ISCED: (brak danych) / (0541) Matematyka
Nazwa przedmiotu: Matematyka elementarna
Jednostka: Wydział Matematyki i Informatyki
Grupy: Mat. ogólna, I st., stacjonarne, 1 rok, przedmioty obowiązkowe
Mat+Ekon, I st, stacjonarne, 1 rok, przedmioty obowiązkowe
Mat+Inf, I st., stacjonarne, 1 rok, przedmioty obowiązkowe
Wszystkie przedmioty z WMiI
Punkty ECTS i inne: 6.00
zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: polski
Wymagania wstępne:


Rodzaj przedmiotu:

przedmiot obowiązkowy

Całkowity nakład pracy studenta:

30 godz. - uczestnictwo w wykładzie

60 godz. - uczestnictwo w ćwiczeniach

30 godz. - praca własna - bieżące przygotowanie do ćwiczeń

30 godz. - praca własna - przygotowanie do sprawdzianów i kolokwium


Razem 150 godzin (6 ECTS)

Efekty uczenia się - wiedza:

Po zaliczeniu zajęć z Matematyki elementarnej 1000-M1MEL student osiąga następujące efekty (kody odnoszą się do efektów studiów I stopnia na kierunku matematyka).

Student posiada wiedzę na temat wybranych pojęć ,,matematyki szkolnej" w zakresie szerszym, niż to przewiduje podstawa programowa nauczania matematyki w szkole ponadgimnazjalnej:

1. zna wskazane poniżej pojęcia i związanie z nimi wybrane twierdzenia ,,matematyki szkolnej" (K_W04),

2. zna przykłady ilustrujące te pojęcia i ich proste zastosowania (K_W05),

3. zna przykłady ścisłej argumentacji matematycznej w kontekście pojęć znanych ze szkoły (K_W02).

Student

- zna pojęcie zbioru liczb rzeczywistych oraz jego podzbiorów: zbiorów liczb naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych; zna podstawowe własności tych zbiorów liczbowych,

- zna przykłady dowodów niewymierności liczb,

- zna pojęcia silni i współczynnika Newtona w ich aspekcie algebraicznym oraz dwumian Newtona,

- zna pojęcie wartości bezwzględnej - w aspekcie algebraicznym i metrycznym,

- zna definicję pierwiastka arytmetycznego stopnia k liczby oraz pierwiastka nieparzystego stopnia liczby ujemnej; zna własności pierwiastków,

- zna definicje potęgi o wykładniku naturalnym, całkowitym, wymiernym oraz ich własności; ma prawidłowe intuicje dotyczące potęgi o wykładniku niewymiernym,

- zna pojęcie logarytmu oraz podstawowe własności logarytmów,

- zna definicję funkcji oraz terminy: dziedzina, przeciwdziedzina, argument, wartość funkcji, zbiór wszystkich wartości, wykres funkcji liczbowo-liczbowej; rozumie operacyjną rolę zapisu y=f(x),

- zna sformalizowane definicje zbioru wartości funkcji dla określonego zakresu argumentów, przeciwobrazu zbioru (w szczególności zbioru rozwiązań równania f(x)=b i nierówności f(x)<b,... ),

- zna definicje rodzajów monotoniczności funkcji, ograniczoności i nieograniczoności funkcji, ekstremów globalnych i lokalnych, parzystości i nieparzystości, różnowartościowości, odwracalności,

- zna wykresy i własności funkcji liniowych, kwadratowych, homograficznych, potęgowych, wykładniczych, logarytmicznych, trygonometrycznych i cyklometrycznych oraz ich złożeń z funkcją liniową i wartością bezwzględną,

- zna pojęcie złożenia funkcji, w szczególności zna złożenia związane z podstawowymi transformacjami geometrycznymi wykresów funkcji;

- zna wybrane metody rozwiązywania podstawowych równań i nierówności związanych z wymienionymi wcześniej funkcjami elementarnymi oraz ich złożeniami z wartością bezwzględną;

- zna przykłady par funkcji wzajemnie odwrotnych oraz ich wykresy;

- zna pojęcie wielomianu oraz jego podstawowe własności, w szczególności dwie definicje równości dwóch wielomianów, twierdzenie o reszcie, twierdzenie Bezouta oraz schemat Hornera, zna twierdzenie o rozkładzie wielomianu rzeczywistego na czynniki nierozkładalne.



Efekty uczenia się - umiejętności:

Po zaliczeniu zajęć z Matematyki elementarnej 1000-M1MEL student osiąga następujące efekty (kody odnoszą się do studiów I stopnia na kierunku matematyka).

Student swobodniej niż w szkole posługuje się omawianymi na zajęciach pojęciami matematycznymi poznanymi w szkole:

1. posiada pewne doświadczenie w samodzielnym prowadzeniu prostego rozumowania matematycznego w kontekście wybranych pojęć "matematyki szkolnej" oraz wyrażeniu go w zrozumiały sposób w mowie i na piśmie (K_U01),

2. w rozwiązaniach zadań "matematyki szkolnej" dostrzega elementy rachunku zdań i funkcji zdaniowych oraz rachunku kwantyfikatorów i świadomie stosuje je w bardzo prostym wnioskowaniu matematycznym (K_U02),

3. operuje pojęciem liczby rzeczywistej w różnych kontekstach (K_U08),

4. posługuje się pojęciem funkcji jednej zmiennej o wartościach rzeczywistych w różnych kontekstach (K_U11).

Wymienione wyżej efekty kształcenia ujawnia, gdy:

- wykonuje złożone rachunki arytmetyczne i algebraiczne wymagające stosowania zaplanowanej strategii,

- rozwiązuje typowe w nauczaniu szkolnym równania i nierówności,

- dowodzi proste tożsamości i nierówności, w szczególności wielomianowe i wymierne,

- posługuje się pojęciem wartości bezwzględnej w jej aspekcie algebraicznym, funkcyjnym i metrycznym,

- ze zrozumieniem używa pojęcia pierwiastka dowolnego stopnia oraz potęgi o wykładniku wymiernym, stosuje ich własności w przekształceniach wyrażeń arytmetycznych i algebraicznych,

- używa podstawowych własności logarytmu w obliczeniach, przy rozwiązywaniu prostych równań i nierówności,

- samodzielnie przeprowadza proste dowody niewymierności świadomie stosując metodę dowodzenia przez sprowadzenie do sprzeczności,

- prawidłowo używa terminów: dziedzina, przeciwdziedzina, argument, wartość funkcji, zbiór wszystkich wartości, wykres funkcji,

- komentuje w kontekście wskazanego wykresu funkcji: obraz konkretnego zbioru argumentów, przeciwobraz zbioru (w szczególności zbiór rozwiązań równania f(x)=b i nierówności f(x)< b, ...), rodzaje monotoniczności, ograniczoność, ekstrema globalne i lokalne, parzystość i nieparzystość, różnowartościowość, odwracalność;

- w nietrudnych przypadkach stosuje sformalizowane definicje do uzasadnienia tego, że funkcja zadana wzorem posiada którąś z wymienionych powyżej własności lub jej nie posiada;

- szkicuje wykresy funkcji liniowych, kwadratowych, homograficznych, potęgowych, wykładniczych, logarytmicznych, trygonometrycznych i cyklometrycznych oraz ich złożeń z funkcją liniową i wartością bezwzględną i komentuje ich własności;

- transformuje wykresy wymienionych wyżej funkcji dostrzegając odpowiednie złożenia funkcji w zapisie algebraicznym i, odwrotnie, znając sposób transformowania wykresu funkcji tworzy odpowiedni opis algebraiczny;

- rozwiązuje równania f(x)=b i nierówności f(x)< b,... w przypadku funkcji f wymienionych powyżej oraz niezbyt skomplikowanych złożeń funkcji (w szczególności z wartością bezwzględną);

- używa pojęcia funkcji złożonej, zna warunki istnienia złożenia dwóch funkcji, określa dziedzinę funkcji złożonej;

- wskazuje pary funkcji wzajemnie odwrotnych i opisuje ich własności;

- wykonuje operacje na wielomianach posługując się definicją algebraiczną i definicją funkcyjną równości wielomianów;

- w rozważaniach o wielomianach używa pojęcia podzielności wielomianów oraz operacji dzielenia wielomianów z resztą;

- w prostych przypadkach dokonuje rozkładu wielomianu na czynniki nierozkładalne, także z użyciem twierdzenia Bezouta;

- wskazuje analogie między własnościami zbioru liczb całkowitych i zbioru wielomianów o współczynnikach rzeczywistych;

- wykonuje działania na funkcjach wymiernych.


Efekty uczenia się - kompetencje społeczne:

Po zaliczeniu przemiotu Matematyka elementarna 1000-M1MEL student osiąga następujace efekty (kody odnoszą się do efektów dla studiów I stopnia na kierunku matematyka):

1. zna ograniczenia własnej wiedzy i rozumie potrzebę ciągłego jej uzupełniania i pogłębiania (K_K05);

2. lepiej rozumie specyfikę języka matematycznego i potrafi precyzyjniej formułować myśli (K_K04);


Metody dydaktyczne:

wykłady: informacyjne i problemowe

ćwiczenia: metoda poszukująca ćwiczeniowa i metoda praktyczna połączona z dyskusją


Skrócony opis:

Celem wykładu i ćwiczeń jest systematyzacja i rozszerzenie wiadomości na temat wybranych pojęć matematycznych omawianych w szkole. Zajęcia, mające charakter zajęć wyrównawczych, stanowią pomost między szkolnym i akademickim sposobem studiowania matematyki i ułatwiają zrozumienie innych przedmiotów matematycznych na pierwszym roku studiów.

Pełny opis:

Cele wykładu:

1. uporządkowanie wiadomości i poszerzenie wiedzy zdobytej w szkole na temat wybranych pojęć matematyki szkolnej,

2. pogłębienie rozumienia wybranych pojęć matematyki szkolnej,

3. w ramach pojęć "matematyki szkolnej" dostarczenie szeregu przykładów prawidłowego rozumowania matematycznego i jego zapisu, w szczególności korzystania ze sformalizowanych definicji, dowodzenia wybranych własności liczb i funkcji, rozwiązywania równań, nierówności i ich układów),

4. przygotowanie studentów do samodzielnego rozwiązywania pewnych typów zadań na ćwiczeniach.

Wykłady dotyczą następującej tematyki:

1. Zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory.

2. Podstawowe własności relacji nierówności.

3. Wartość bezwzględna liczby w aspekcie algebraicznym i metrycznym; równania i nierówności z wartością bezwzględną.

4. Pierwiastek dowolnego stopnia.

5. Potęga liczby rzeczywistej (kolejne etapy definiowania, własności).

6. Logarytm i jego własności.

7. Funkcja o dziedzinie i zbiorze wartości zawartych w zbiorze liczb rzeczywistych, jej wykres i własności (m.in. sposoby definiowania, dziedzina, przeciwdziedzina, argument, wartość dla ustalonego argumentu, równość dwóch funkcji, wykres i pewne konwencje związane z jego stosowaniem w praktyce, zbiór wszystkich wartości, obraz podzbioru dziedziny, funkcje ,,na zbiór'', przeciwobrazy, w szczególności zbiór rozwiązań równania f(x)=a, miejsca zerowe i zbiór rozwiązań nierówności f(x)<a, monotoniczność, ograniczoność, wartość największa, wartość najmniejsza, ekstrema lokalne, parzystość, nieparzystość, okresowość, różnowartościowość, złożenie funkcji, pary funkcji wzajemnie odwrotnych).

8. Wybrane funkcje elementarne i ich własności - funkcje potęgowe, funkcje wykładnicze i logarytmiczne, funkcje trygonometryczne (definicje przez koło trygonometryczne), funkcje cyklometryczne.

9. Analogie między własnościami liczb całkowitych i wielomianów zmiennej rzeczywistej.

Cele ćwiczeń:

1. podniesienie sprawności rachunkowej studenta w zakresie rachunku arytmetycznego i algebraicznego, operowania wyrażeniami z pierwiastkami, potęgami oraz logarytmami.

2. poprawienie umiejętności rozwiązywania równań i nierówności oraz ich układów.

3. przyzwyczajanie studentów do prawidłowego stosowania sformalizowanych definicji oraz twierdzeń, w szczególności do świadomego używania praw rachunku zdań i kwantyfikatorów w rozważaniach dotyczących pojęć znanych z nauczania szkolnego,

4. przyzwyczajenie studentów do samodzielnego przeprowadzania i prawidłowego zapisywania krótkich dowodów wybranych prostych własności liczb, wyrażeń algebraicznych i funkcji,

5. wzbogacenie wyniesionego z nauczania szkolnego zestawu przykładów podstawowych funkcji elementarnych i ich wykresów,

6. przyzwyczajenie do używania pojęcia funkcji złożonej w różnych kontekstach, w szczególności do analizowania własności funkcji złożonych, których wykresy można uzyskać przez wielokrotne podstawowe transformacje wykresów funkcji elementarnych.

Wymienione wyżej cele realizuje się we wszystkich grupach ćwiczeniowych w oparciu o gotowe zestawy zadań.

Literatura:

Literatura podstawowa:

1. M. Gewert, Z. Skoczylas, Wstęp do analizy i algebry, Teoria, przykłady, zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2014.

2. A. Błaszczyk, S. Turek, Matematyka. Od podstaw do elementów matematyki wyższej, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2015.

3. Obowiązujące podręczniki i zbiory zadań dla liceów i techników, zakres rozszerzony.

Literatura uzupełniająca:

1. Podręczniki i zbiory zadań z matematyki dla liceów - sprzed reformy.

Metody i kryteria oceniania:

1. Zajęcia obejmujące wykład i ćwiczenia kończą się zaliczeniem wykładu oraz zaliczeniem ćwiczeń na ocenę. Na ćwiczeniach obowiązuje znajomość treści przekazywanych na wykładach.

2. Warunkiem zaliczenia wykładu jest regularny udział w wykładach (obecność na wykładach jest obowiązkowa) oraz uzyskanie zaliczenia z ćwiczeń.

3. Zasady i kryteria zaliczenia ćwiczeń podawane są przez poszczególnych prowadzących ćwiczenia na pierwszych zajęciach. Ocenę wystawia się na podstawie sprawdzianów (z mniejszych partii materiału) i kolokwium (z całości materiału) oraz aktywności studenta w czasie zajęć.

4. Na początku semestru studenci mają możliwość napisania testu diagnozującego. Osoby, które uzyskały dobre wyniki testu, mogą zostać zwolnione z obowiązku uczestniczenia w zajęciach z Matematyki elementarnej (1000-M1MEL) i uzyskują zaliczenie wykładu oraz odpowiednią ocenę z ćwiczeń. Z obowiązku uczestniczenia w zajęciach mogą być zwolnione również te osoby, które odniosły znaczące sukcesy w trakcie nauki matematyki w szkole. Szczegóły podaje wykładowca w czasie pierwszego wykładu.

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2017/18" (zakończony)

Okres: 2017-10-01 - 2018-02-25
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 60 godzin, 30 miejsc więcej informacji
Wykład, 30 godzin, 100 miejsc więcej informacji
Koordynatorzy: Danuta Rozpłoch-Nowakowska
Prowadzący grup: Wojciech Bułatek, Aurelia Dymek, Sylwia Kosowicz, Danuta Rozpłoch-Nowakowska, Natalia Soja-Kukieła, Magdalena Wysokińska-Pliszka
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Zaliczenie na ocenę
Ćwiczenia - Zaliczenie na ocenę
Wykład - Zaliczenie

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2018/19" (zakończony)

Okres: 2018-10-01 - 2019-02-24
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 60 godzin, 30 miejsc więcej informacji
Wykład, 30 godzin, 100 miejsc więcej informacji
Koordynatorzy: Danuta Rozpłoch-Nowakowska
Prowadzący grup: Wojciech Bułatek, Aurelia Dymek, Danuta Rozpłoch-Nowakowska, Natalia Soja-Kukieła, Magdalena Wysokińska-Pliszka
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Zaliczenie na ocenę
Ćwiczenia - Zaliczenie na ocenę
Wykład - Zaliczenie

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2019/20" (zakończony)

Okres: 2019-10-01 - 2020-02-28
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 60 godzin, 30 miejsc więcej informacji
Wykład, 30 godzin, 100 miejsc więcej informacji
Koordynatorzy: Danuta Rozpłoch-Nowakowska
Prowadzący grup: Wojciech Bułatek, Mieczysław Mentzen, Danuta Rozpłoch-Nowakowska, Daniel Strzelecki, Magdalena Wysokińska-Pliszka
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Zaliczenie na ocenę
Ćwiczenia - Zaliczenie na ocenę
Wykład - Zaliczenie

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2020/21" (zakończony)

Okres: 2020-10-01 - 2021-02-21
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 60 godzin, 30 miejsc więcej informacji
Wykład, 30 godzin, 60 miejsc więcej informacji
Koordynatorzy: Danuta Rozpłoch-Nowakowska
Prowadzący grup: Wojciech Bułatek, Danuta Rozpłoch-Nowakowska, Piotr Stefaniak, Magdalena Wysokińska-Pliszka
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Zaliczenie na ocenę
Ćwiczenia - Zaliczenie na ocenę
Wykład - Zaliczenie

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2021/22" (jeszcze nie rozpoczęty)

Okres: 2021-10-01 - 2022-02-27
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 60 godzin, 30 miejsc więcej informacji
Wykład, 30 godzin, 60 miejsc więcej informacji
Koordynatorzy: (brak danych)
Prowadzący grup: (brak danych)
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Zaliczenie na ocenę
Ćwiczenia - Zaliczenie na ocenę
Wykład - Zaliczenie
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu.