Wstęp do matematyki

Brak wymagań wstępnych.

przedmiot obligatoryjny

30 godz. - wykład

60 godz. - ćwiczenia

90 godz. - bieżące przygotowanie do zajęć i studiowanie literatury

20 godz. - przygotowanie do egzaminu

RAZEM: 200 godz.

8 pkt. ECTS

Po ukończeniu kursu 1000-M1WDM student(ka) osiąga następujące efekty (kody odnoszą się do efektów dla studiów 1 stopnia na kierunku matematyka):

W1: ma podstawową wiedzę w zakresie logiki matematycznej (klasycznego rachunku zdań i rachunku kwantyfikatorów) - K_W03

W2: ma podstawową wiedzę w zakresie teorii zbiorów - K_W03

W3: ma podstawową wiedzę w zakresie liczb naturalnych i zna zasadę indukcji matematycznej - K_W03

W4: ma podstawową wiedzę w zakresie relacji i funkcji - K_W03

Po ukończeniu kursu 1000-M1WDM student(ka) osiąga następujące efekty (kody odnoszą się do efektów dla studiów 1 stopnia na kierunku matematyka):

U1: rozwiązuje proste zadania z zakresu elementarnej logiki matematycznej (klasyczny rachunek zdań i podstawy rachunku kwantyfikatorów) - K_U01, K_U02

U2: stosuje zasadę indukcji matematycznej w zadaniach o różnych stopniach trudności - K_U01, K_U03

U3: rozwiązuje rozmaite zadania z zakresu teorii zbiorów, relacji i funkcji - K_U01, K_U04

U4: umie określić moc podstawowych zbiorów liczbowych, zbadać równoliczność dwóch zbiorów i podać przykłady zbiorów przeliczalnych i nieprzeliczalnych - K_U01, K_U05

U5: potrafi samodzielnie i w zespole pozyskiwać informacje z literatury, baz wiedzy, Internetu - K_U24, K_U26

U6: potrafi zrozumiale pisać i mówić o podstawowych zagadnieniach matematycznych - K_U23, K_U25

Po ukończeniu kursu 1000-M1WDM student(ka) osiąga następujące efekty (kody odnoszą się do efektów dla studiów 1 stopnia na kierunku matematyka):

K1: zrozumiale i skutecznie przekazuje swoją wiedzę innym i potrafi się z nimi porozumieć; właściwie posługuje się terminologią fachową - K_K01, K_K02

K2: rozumie potrzebę dalszego pogłębiania swojej wiedzy - K_K03

Klasyczny wykład i ćwiczenia.

- wykład informacyjny (konwencjonalny)

- ćwiczeniowa

Celem przedmiotu jest zapoznanie studentów z podstawowym aparatem pojęciowym współczesnej matematyki (w tym jej najbardziej ogólnymi twierdzeniami). W szczególności, przedmiot porządkuje wiedzę szkolną i uczy posługiwania się abstrakcyjnym językiem matematycznym.

1. Elementy logiki matematycznej.

1.1. Klasyczna logika zdaniowa (klz) - zdania w sensie logicznym, prawdziwość i fałszywość, klasyczne spójniki zdaniowe.

1.2. Klasyczny rachunek zdań (krz) jako formalizacja klz - język krz, zmienne zdaniowe, formuły i ich drzewa; wartość logiczna formuły przy wartościowaniu, tautologie (prawa krz), metody dowodzenia tautologii (metoda 0-1 i metoda koniunktywnej postaci normalnej).

1.3. Aksjomatyczne ujęcie krz - reguły dowodzenia, zgodność i zupełność systemu Fregego.

1.4. Rachunek kwantyfikatorów (rachunek predykatów, logika pierwszego rzędu) - funkcje zdaniowe, kwantyfikatory, zmienne wolne i związane; podstawowe prawa rachunku kwantyfikatorów.

1.5. Uwagi o dowodzeniu twierdzeń matematycznych.

2. Podstawy teorii zbiorów (teorii mnogości).

2.1. Algebra zbiorów - podstawowe pojęcia teorii zbiorów, podzbiory i działania na zbiorach; boolowskie kombinacje zbiorów i prawa rachunku zbiorów; zbiory potęgowe, iloczyny kartezjańskie skończonej liczby zbiorów, działania uogólnione na zbiorach.

2.2. Wzmianka o aksjomatycznej teorii zbiorów.

3. Liczby naturalne.

3.1. Aksjomatyka Peano liczb naturalnych.

3.2. Zasada indukcji matematycznej - różne sformułowania zasady indukcji (w tym indukowanie względem miary złożoności lub "po zbiorach"), zasada minimum.

3.3. Przykłady zastosowań zasady indukcji matematycznej.

4. Relacje.

4.1. Ogólne własności relacji - podstawowe typy relacji dwuargumentowych (zwrotna, symetryczna, przechodnia, słabo antysymetryczna, spójna), grafy i macierze relacji o skończonych nośnikach.

4.2. Relacje równoważności - klasy abstrakcji, zbiory ilorazowe, zasada abstrakcji.

4.3. Konstrukcje zbiorów liczbowych - konstrukcje zbiorów Z, Q, R na podstawie zbioru N przy użyciu relacji równoważności.

4.4. Relacje częściowego porządku i zbiory częściowo uporządkowane (posety) - podstawowe pojęcia, diagramy Hassego skończonych posetów, elementy maksymalne, minimalne, największe i najmniejsze w posecie, kresy; zbiory liniowo uporządkowane i dobrze uporządkowane, Lemat Kuratowskiego-Zorna.

5. Funkcje.

5.1. Ogólne własności funkcji - dziedzina, przeciwdziedzina (kodziedzina), wykres, złożenie funkcji.

5.2. Podstawowe własności funkcji - funkcje różnowartościowe (injekcje), funkcje "na" (surjekcje), funkcje odwracalne (bijekcje), funkcja odwrotna do danej odwracalnej; obrazy i przeciwobrazy (zbiorów poprzez funkcje) i ich własności; iloczyn kartezjański dowolnej liczby zbiorów.

6. Elementy teorii równoliczności zbiorów (teorii mocy).

6.1. Równoliczność zbiorów - definicja mocy zbioru i liczby kardynalnej.

6.2. Zbiory przeliczalne i ich przykłady.

6.3. Zbiory nieprzeliczalne i ich przykłady.

6.4. Podstawowe twierdzenia teorii mocy - twierdzenie Cantora i Cantora-Bernsteina oraz zastosowania.

7. Informacje uzupełniające - liczby porządkowe i typy porządkowe, indukcja pozaskończona, pewnik wyboru, hipoteza continuum, twierdzenie Zermelo.

Literatura podstawowa:

(1) H. Rasiowa, Wstęp do matematyki współczesnej, PWN, Warszawa (wiele wydań).

(2) W. Guzicki, P. Zakrzewski, Wykłady ze wstępu do matematyki, PWN, Warszawa 2005.

(3) W. Marek, J. Onyszkiewicz, Elementy logiki i teorii mnogości w zadaniach, PWN, Warszawa (wiele wydań).

(4) W. Guzicki, P. Zakrzewski, Wstęp do matematyki: zbiór zadań, PWN, Warszawa 2005.

(5) U. Dudziak, A. Król, Wstęp do logiki i teorii mnogości. Zbiór zadań z rozwiązaniami, Wydawnictwo Uniwersytetu Rzeszowskiego.

Literatura uzupełniająca:

(1) J. Kraszewski, Wstęp do matematyki, WNT, Warszawa 2007.

(2) D. Miklaszewski, Wstęp do matematyki, Wydawnictwo Naukowe UMK, Toruń 2015.

(3) I. A. Ławrow, Ł. L. Maksimowa, Zadania z teorii mnogości, logiki matematycznej i teorii algorytmów, PWN, Warszawa 2004.

(4) R. Murawski, K. Świrydowicz, Wstęp do teorii mnogości, Wydawnictwo UAM, Poznań 2006.

(5) K. Ross, Ch. Wright, Matematyka dyskretna, PWN, Warszawa 2005.

Ćwiczenia: ocena na podstawie pisemnych kolokwiów (w liczbie 2 lub 3) oraz aktywności - weryfikacja efektów: U1-U6, K1, K2. Dla osób, które nie zaliczyły ćwiczeń (na podstawie kolokwiów i aktywności) odbędzie się jedno kolokwium poprawkowe z całego materiału (zaliczenie od 75% pkt.).

Na ćwiczeniach maks. 4 nieobecności nieusprawiedliwione i 12 z dowolnego powodu (więcej skutkuje niezaliczeniem przedmiotu); spóźnienie 20 min. skutkuje nieobecnością.

Wykład: ocena na podstawie egzaminu pisemnego, składającego się z części teoretycznej i praktycznej - weryfikacja efektów: W1-W4. Warunkiem koniecznym przystąpienia do egzaminu jest zaliczenie ćwiczeń (tzn. uzyskanie oceny co najmniej 3). Dla osób, które nie zaliczyły egzaminu w pierwszym terminie odbędzie się poprawa egzaminu w formie pisemnej lub ustnej.