Wstęp do matematyki

1. Elementy logiki matematycznej.

1.1. Klasyczna logika zdaniowa (klz) - zdania w sensie logicznym, prawdziwość i fałszywość, klasyczne spójniki zdaniowe.

1.2. Klasyczny rachunek zdań (krz) jako formalizacja klz - język krz, zmienne zdaniowe, formuły i ich drzewa; wartość logiczna formuły przy wartościowaniu, tautologie (prawa krz), metody dowodzenia tautologii (metoda 0-1 i metoda koniunktywnej postaci normalnej).

1.3. Aksjomatyczne ujęcie krz - reguły dowodzenia, zgodność i zupełność systemu Fregego.

1.4. Rachunek kwantyfikatorów (rachunek predykatów, logika pierwszego rzędu) - funkcje zdaniowe, kwantyfikatory, zmienne wolne i związane; podstawowe prawa rachunku kwantyfikatorów.

1.5. Uwagi o dowodzeniu twierdzeń matematycznych.

2. Podstawy teorii zbiorów (teorii mnogości).

2.1. Algebra zbiorów - podstawowe pojęcia teorii zbiorów, podzbiory i działania na zbiorach; boolowskie kombinacje zbiorów i prawa rachunku zbiorów; zbiory potęgowe, iloczyny kartezjańskie skończonej liczby zbiorów, działania uogólnione na zbiorach.

2.2. Wzmianka o aksjomatycznej teorii zbiorów.

3. Liczby naturalne.

3.1. Aksjomatyka Peano liczb naturalnych.

3.2. Zasada indukcji matematycznej - różne sformułowania zasady indukcji (w tym indukowanie względem miary złożoności lub "po zbiorach"), zasada minimum.

3.3. Przykłady zastosowań zasady indukcji matematycznej.

4. Relacje.

4.1. Ogólne własności relacji - podstawowe typy relacji dwuargumentowych (zwrotna, symetryczna, przechodnia, słabo antysymetryczna, spójna), grafy i macierze relacji o skończonych nośnikach.

4.2. Relacje równoważności - klasy abstrakcji, zbiory ilorazowe, zasada abstrakcji.

4.3. Konstrukcje zbiorów liczbowych - konstrukcje zbiorów Z, Q, R na podstawie zbioru N przy użyciu relacji równoważności.

4.4. Relacje częściowego porządku i zbiory częściowo uporządkowane (posety) - podstawowe pojęcia, diagramy Hassego skończonych posetów, elementy maksymalne, minimalne, największe i najmniejsze w posecie, kresy; zbiory liniowo uporządkowane i dobrze uporządkowane, Lemat Kuratowskiego-Zorna.

5. Funkcje.

5.1. Ogólne własności funkcji - dziedzina, przeciwdziedzina (kodziedzina), wykres, złożenie funkcji.

5.2. Podstawowe własności funkcji - funkcje różnowartościowe (injekcje), funkcje "na" (surjekcje), funkcje odwracalne (bijekcje), funkcja odwrotna do danej odwracalnej; obrazy i przeciwobrazy (zbiorów poprzez funkcje) i ich własności; iloczyn kartezjański dowolnej liczby zbiorów.

6. Elementy teorii równoliczności zbiorów (teorii mocy).

6.1. Równoliczność zbiorów - definicja mocy zbioru i liczby kardynalnej.

6.2. Zbiory przeliczalne i ich przykłady.

6.3. Zbiory nieprzeliczalne i ich przykłady.

6.4. Podstawowe twierdzenia teorii mocy - twierdzenie Cantora i Cantora-Bernsteina oraz zastosowania.

7. Informacje uzupełniające - liczby porządkowe i typy porządkowe, indukcja pozaskończona, pewnik wyboru, hipoteza continuum, twierdzenie Zermelo.

Ćwiczenia: ocena na podstawie pisemnych kolokwiów (w liczbie 2 lub 3) oraz aktywności - weryfikacja efektów: U1-U6, K1, K2. Dla osób, które nie zaliczyły ćwiczeń (na podstawie kolokwiów i aktywności) odbędzie się jedno kolokwium poprawkowe z całego materiału.

Wykład: ocena na podstawie egzaminu pisemnego, składającego się z części teoretycznej i praktycznej - weryfikacja efektów: W1-W4. Warunkiem koniecznym przystąpienia do egzaminu jest zaliczenie ćwiczeń (tzn. uzyskanie oceny co najmniej 3). Dla osób, które nie zaliczyły egzaminu w pierwszym terminie odbędzie się poprawa egzaminu w formie ustnej.