Jakościowa teoria równań różniczkowych zwyczajnych

Studenci uczęszczający na ten wykład powinni ukończyć wcześniej kursy Analizy Matematycznej oraz Równań Różniczkowych Zwyczajnych.

przedmiot obligatoryjny

30 godz. - wykład;

30 godz. - ćwiczenia;

4 godz. - egzamin;

50 godz. - praca własna - bieżące przygotowanie do zajęć, studiowanie literatury;

36 godz. praca własna - przygotowanie do egzaminu.

Razem: 150 godz.

6 pkt. ECTS

Po ukończeniu kursu 1000-M2JTR student osiąga następujące efekty (kody odnoszą się do efektów dla studiów II stopnia na kierunku matematyka):

W1: zna i rozumie pojęcie i własności potoku indukowanego przez równanie różniczkowe zwyczajne (K_W03);

W2: zna klasyfikację portretów fazowych równań różniczkowych w otoczeniu położenia równowagi (K_W02,K_W03);

W3: zna warunki wystarczające istnienia i bifurkacji rozwiązań okresowych równań różniczkowych zwyczajnych (K_W02,K_W03);

W4: zna twierdzenia zapewniajace stabilnosć równań różniczowych zwyczajnych (K_W02,K_W03).

Po ukończeniu kursu 1000-M2JTR student osiąga następujące efekty (kody odnoszą się do efektów dla studiów II stopnia na kierunku matematyka):

U1: analizuje i klasyfikuje portrety fazowe równań różniczkowych zwyczajnych (K_U04,K_U06);

U2: stosuje metody linearyzacji do opisu struktury jakościowej portretu fazowego równania różniczkowego w otoczeniu położenia równowagi (K_U01, K_U04,K_U06);

U3: orzeka w sposób poprawny istnienie (nieistnienie) i bifurkację rozwiązań okresowych równań różniczkowych (K_U04, K_U06);

U4: bada stabilność rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych (K_U04, K_U06));

U5: potrafi przedstawić szkic dowodu leantu o prostowaniu, twierdzenia Dulaca-Bendixsona (K_U01, K_U02, K_U03, K_U07)

Po ukończeniu kursu 1000-M2JTR student osiąga następujące efekty (kody odnoszą się do efektów dla studiów II stopnia na kierunku matematyka):

K1: rozumie we właściwy sposób sformułowania pytań i problemów, poprawnie posługuje się terminologią fachową (K_K02);

K2: widzi potrzeby dalszego zdobywania wiedzy i doskonalenia się (K_K03);

K3: przekazuje zdobytą wiedzę w zrozumiały sposób (K_K02).

- pokaz

- wykład informacyjny (konwencjonalny)
- wykład problemowy

- ćwiczeniowa
- klasyczna metoda problemowa

Wiele zagadnień biologii, chemii, mechaniki czy ekonomi modeluje się przy pomocy równań różniczkowych zwyczajnych. Badanie tych równań metodami jakościowej teorii równań różniczkowych zwyczajnych pozwala lepiej zrozumieć modelowane zjawiska.

Wykład ten składa się z trzech części. W pierwszej jego części, mającej charakter informacyjny, przypomnimy podstawowe wiadomości z ilościowej teorii równań różniczkowych zwyczajnych. W części drugiej, która będzie główną częścią tego wykładu, omówimy elementarne metody jakościowej teorii równań różniczkowych zwyczajnych. Natomiast w trzeciej części wykładu, o charakterze ilustracyjnym, zastosujemy pewne elementy jakościowej teorii równań różniczkowych do badania modeli matematycznych.

Studenci uczęszczający na ten wykład powinni ukończyć wcześniej kursy Analizy Matematycznej oraz Równań Różniczkowych Zwyczajnych.

1. Elementy ilościowej teorii równań różniczkowych zwyczajnych

1.1 Istnienie i jednoznaczność rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych

1.2 Zależność rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych od warunków i parametru

1.3 Liniowe nieautonomiczne równania różniczkowe

1.4 Liniowe autonomiczne równania różniczkowe

2. Jakościowa teoria równań różniczkowych zwyczajnych

2.1 Potok indukowany przez autonomiczne równanie różniczkowe

2.2 Lemat o prostowaniu

2.3 Klasyfikacja portretów fazowych liniowych autonomicznych równań różniczkowych

2.4 Twierdzenie Hartmana-Grobmana

2.5 Twierdzenie o bifurkacji Hopfa

2.6 Twierdzenie Poincare-Bendixsona. Cykle graniczne

2.7 Elementy teorii stabilności Lapunova

3. Modelowanie i analiza zagadnień ekonomicznych

3.1 Cykle biznesowe

3.2 Zjawisko bifurkacji Hopfa w otwartym modelu ekonomicznycm

V. I. Arnold, Równania różniczkowe zwyczajne, Warszawa, PWN, 1975,

V.I. Arnold, Teoria równań różniczkowych, Warszawa, PWN, 1983,

D. K. Arrowsmith i C. M. Place, Ordinary differential equations. A qualitative approach with applications, Chapman and Hall, London, 1982,

C. Chicone, Ordinay differential equations with appliations, Springer, 2006,

C. H. Edwards i D. E. Penney, Differentiale equations & linear algebra, Prentice Hall, 2005,

R. H. Enns i G.C. McGuire, Nonlinear physics with Maple for scientists and engineers, Birkhauser Boston, 1997,

R. H. Enns i G.C. McGuire, A Labolatory manual for nonlinear physics with Maple for scientists and engineers, Birkhauser Boston, 1997,

M. W. Hirsch, S. Smale i R. L. Devaney, Differential equations, dynamical systems. An introduction to chaos, Elsevier Amsterdam, 2004,

D. W. Jordan & P. Smith, Nonlinear ordinary differential equations. An introduction for scientists and engineers, Oxford University Press, 2007,

D. W. Jordan i P. Smith, Nonlinear ordinary differential equations. Problems and solutions, Oxford University Press, 2007,

A. Palczewski, Równania różniczkowe zwyczajne, Warszawa, WNT, 2004,

A. Pelczar, Wstęp do teorii równań różniczkowych, BM 67, Warszawa, PWN, 1989

A. Pelczar, Elementy jakościowej teorii równań różniczkowych, Warszawa, PWN, 1989

L. Perko, Differential equations and dynamical systems, Texts in Applied Mathematics 7, Springer Verlag, 1991,

T. Puu, Attractors, bifurcations & chaos. Nonlinear phenomena in economics, Springer Berlin-Heidelberg, 2000,

G. Teschl, Ordinary differential equations and dynamical systems, Springer Verlag, 2009,

S. Wiggins, Introduction to applied nonlinear dynamical systems and chaos, Springer Verlag, 1996.

Egzamin ustny: W1, W2, W3, W4, U1, U2, U3, U4, U5, U6, K1, K2, K3.

Kolokwium: W1, W2, W3, W4, U1, U2, U3, U4, K1, K3.

Przedmiot obejmuje 30 godzin wykładu, 30 godzin ćwiczeń i 10 godzin laboratorium (Pracownia symulacji komputerowych, 1000-M2PSKz).

- Zaliczenie ćwiczeń studenci uzyskują na podstawie otrzymania pozytywnych ocen z dwóch sprawdzianów obejmujących zadania rachunkowe.

- Zaliczenie laboratorium studenci uzyskują na podstawie otrzymania pozytywnej oceny ze sprawdzianu obejmującego zadania rachunkowe.

- Egzamin składa się z części ustnej. Odbywa się po semestrze letnim.