Wykład monograficzny

Podstawowe wiadomosci z wykladu algebra liniowa z geometria oraz z kursu analizy matematycznej na pierwszych dwóch latach studiów.

Elementarne wiadomości o grupach skończonych i z topologii

Wiedza potrzebna w przygotowaniu prac magisterskich

Znajomość podstawowych twierdzeń o kołczanach, grafach oznakowanych, ich grupach izotropii, izomorfizmach pierścieni i algebrach incydencji posetów

poszerzona wiedza z zakresu matematyki

wykład i konwersacje

- wykład konwersatoryjny

,,Struktury algebraiczne, kongruencje, izomorfizmy i spektralna klasyfikacja Coxetera bigrafów" związany z prowadzonym seminarium magisterskim.

Forma zajęć: wykład prowadzony zdalnie w semestrze zimowym 2020/2021

Forma zaliczeń: ustna. Szczegóły zostaną ustalone na pierwszych zajęciach

Plan wykładu

Część 1. Podstawowe struktury algebraiczne

1.1. Przypomnienie podstawowych informacji o macierzach, wyznacznikach, przetrzeniach liniowych przetrzeniach Euklidesa i przestrzeniach Hilberta,

1.2. Podstawowe informacje o grupach skończonych. Podgrupy normalne i grupy ilorazowe. Kongruencje w grupach. Twierdzenie o izomofizmie dla grup.

1.3. Pełna rzeczywista grupa liniowa GL(n,R), podgrupa ortogonalna O(n,R).

1.4. Pełna całkowita grupa liniowa Gl(n,Z), całkowita podgrupa ortogonalna O(n,R). Grupa permutacji oznakowanych.

1.5. Ciała, pierścienie z jedynką, K-algebry, ideały jednostronne, ideały dwustronne. Przykłady.

1.6. Izomorfizmy pierścieni i K-algebr. Pierwsze twierdzenie o izomofizmie. Przykłady zastosowań.

1.7. Kołczany i ich algebry dróg.

1.8. Algebry incydencji zbiorów częściowo uporządkowanych.

Część 2. Grafy oznakowane i bigrafy. Elementy spektralnej klasyfikacji Coxetera bigrafów

2.1. Podstawowe informacje o całkowitych funkcjonałach kwadratowych i dwuliniowych. Dodatnia określoność i półokreśloność. Postaci kanoniczne Lagrange'a. Algorytm Lagrange'a.

2.2. Macierz Grama, wielomian Coxetera i spektrum Coxetera grafu oznakowanego i bigrafu.

2.3. Klasyfikacja Grama bigrafów dodatnich. Diagramy Dynkina i Euklidesa.

2.4. Inflacje. Algorytm inflacyjny dla bigrafów dodatnich.

2.5. Zastosowania sytemów algebry komputerowej w spektralnej klasyfikacji Coxetera grafów oznakowanych i bigrafów.

Spis literatury przedmiotu

I. Assem, D. Simson and A. Skowroński, Elements of the Representation Theory of Associative Algebras, Volume 1. Techniques of Representation Theory, London Math. Soc. Student Texts 65, Cambridge Univ. Press, Cambridge-New York, 2006.

G. Banaszak, W. Gajda, Elementy algrbry liniowej, WNT, Warszawa, 2002.

B. Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław, 2002

J. Komorowski, Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, PWN Warszawa, 1978.

A. I. Kostrykin, Wstęp do algebry, PWN Warszawa, 1987.

A. Mostowski i M. Stark, Elementy algebry wyøszej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1975.

W. Narkiewicz, Teoria liczb, PWN, Warszawa, 1977.

D. Simson, Representations of Partially Ordered Sets and Vector Space Categories, Gordon and Breach Sci. Publ., London - Amsterdam - New York -Tokyo, 1992.

D. Simson, Przegląd algebry liniowej, grupy macierzy i grupy izometrii wielościanów foremnych, Wykłady monograficzne - skrypt, Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń, grudzień 2002 - czerwiec 2004.

D. Simson, Pierwiastki funkcjonałów kwadratowych, diagramy Dynkina i zbiory częściowo uporządkowane, Wykłady monograficzne - skrypt, Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń, wrzesień 2004 - czerwiec 2020.

D. Simson, Metody algebraiczne w teorii równań różniczkowych, Skrypt, Wydział Matematyki i Informatyki, Toruń, 2016.