Reprezentacje grup Liego oraz operatory różniczkowe

Podstawowe wiadomości z topologi oraz algebry liniowej

30 godzin semestr letni

Po wysluchaniu wykładu student rozumie rolę grup Liego i algebr Liego w teorii rozmaitości i w teorii równań różniczkowych

wykład online

- wykład problemowy

- klasyczna metoda problemowa

- metody oparte na współpracy
- metody rozwijające refleksyjne myślenie
- metody wymiany i dyskusji

Wykład przeznaczony głównie dla doktorantów Szkoły Doktorskiej Nauk Ścisłych, a w szczególności dla matematyków, astronomów, fizyków oraz chemików stosujących teorię reprezentacji grup i algebr Liego w rozwiązywaniu równań różniczkowych, w krystalografii, w teorii optymalnego sterowania, itp

Przedstawiony tu obszerny program wykładu zostanie częściowo zmodyfikowany oraz dostosowany do zainteresowań i poziomu uczestników.

Dopuszczam rozszerzenie programu wykładu o nowe działy.

Pewne części wykładu będą przestawione w wersji skróconej (bez pełnych dowodów twierdzeń).

Części teoretyczne będą wzbogacane o informacje historyczne oraz o krótki opis kierunków rozwoju omawianej teorii.

1. Przestrzenie Euklidesa, przestrzenie unitarne, przestrzenie Hilberta

2. Podstawowe informacje o grupach topologicznych i ich reprezentacjach liniowych.

2.1. Grupy zwarte. Grupy SO(3,R) oraz SU(2, C) i ich proste reprezentacje liniowe. Nakrycie SO(3,R) ----> SU(2, C).

2.2. Miara Haara na grupach. Charaktery. Związki z analizą harmoniczną

3. Zespolone (rzeczywiste) rozmaitości analityczne. Rozmaitość styczna.

4. Lokalne grupy Liego. Grupy Liego w teorii równań różniczkowych. Przykłady liniowych grup Liego.

5. Sophus Lie (1842-1899) oraz jego idee leżące u podstaw różniczkowej teorii Galois. Rozwiązalność grup Liego.

6. Podstawowe informacje o zespolonych algebrach Liego. Rozwiązalne algebry Liego. Algebry półproste. Grupy Weila, grupy krystalograffi i diagramy Dynkina.

7. Grupa Liego i stowarzyszona z nią algebra Liego. Główne twierdzenia Liego.

8. Działania grup Liego na przestrzeniach funkcji. Operatory różniczkowe. Operator Laplace'a, operator fali.

9. O reprezentacjach liniowych grupy Lorenza. Reprezentacje Harish-Chandry.

10. Niezmienniki działania grup Liego na przestrzeniach funkcji. Związek z opisem rozwiązań stopwarzyszonych układów liniowych równań różniczkowych.

Spis literatury uzupełniającej

N. Bourbaki, Grupes et alg'ebres de Lie, Ch. IV--VI, Hermann & Co. Paris, 1960.

I. M. Gelfand and V. A. Ponomarev, Indecomposable representations of the Lorentz group, Uspechi Mat. Nauk 2(1968), 1-60

J. E. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Graduate Texts in Mathematics 9, Springer-Verlag, New York Heidelberg, Berlin, 1972.

J. Komorowski, Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, PWN Warszawa, 1978.

A. I. Kostrykin, Wstęp do algebry, PWN Warszawa, 1987.

P. J. Olver, Applications of Lie Groups to Differential Equations, Graduate Texts in Mathematics, No. 107, Springer-Verlag, New York-Berlin, 1986.

J.-P. Serre, Reprezentacje liniowe grup skończonych, PWN Warszawa, 1988.

D. Simson, Metody algebraiczne w teorii równań różniczkowych, Skrypt, Wydział Matematyki i Informatyki, Toruń, 2016

Ja. P. Żełobenko, Kompaktnyje Gruppy Lie i ich Predstavlenija, Moskwa, 1970.

WIEDZA (zna i rozumie):

WG_1 - w stopniu umożliwiającym rewizję istniejących paradygmatów - światowy dorobek, obejmujący podstawy teoretyczne oraz zagadnienia ogólne i wybrane zagadnienia szczegółowe - właściwe dla danej dyscypliny naukowej

WG_2 - główne tendencje rozwojowe dyscyplin naukowych, w których odbywa się kształcenie

WG_3 - metodologię badań naukowych

UMIEJĘTNOŚCI (potrafi):

dokonywać krytycznej analizy i oceny wyników badań naukowych, działalności eksperckiej i innych prac o charakterze twórczym oraz ich wkładu w rozwój wiedzy

KOMPETENCJE SPOŁECZNE (jest gotów do):

KK_1 - krytycznej oceny dorobku w ramach danej dyscypliny naukowej

Sprawdziany pisemne

nie ma