Reprezentacje grup Liego oraz operatory różniczkowe
Informacje ogólne
Kod przedmiotu: | 7404-M3kursI20 |
Kod Erasmus / ISCED: |
(brak danych)
/
(0541) Matematyka
|
Nazwa przedmiotu: | Reprezentacje grup Liego oraz operatory różniczkowe |
Jednostka: | Wydział Matematyki i Informatyki |
Grupy: | |
Punkty ECTS i inne: |
(brak)
|
Język prowadzenia: | polski |
Wymagania wstępne: | Podstawowe wiadomości z topologi oraz algebry liniowej |
Całkowity nakład pracy studenta: | 30 godzin semestr letni |
Efekty uczenia się - wiedza: | Po wysluchaniu wykładu student rozumie rolę grup Liego i algebr Liego w teorii rozmaitości i w teorii równań różniczkowych |
Metody dydaktyczne: | wykład online |
Metody dydaktyczne podające: | - wykład problemowy |
Metody dydaktyczne poszukujące: | - klasyczna metoda problemowa |
Metody dydaktyczne w kształceniu online: | - metody oparte na współpracy |
Skrócony opis: |
Wykład przeznaczony głównie dla doktorantów Szkoły Doktorskiej Nauk Ścisłych, a w szczególności dla matematyków, astronomów, fizyków oraz chemików stosujących teorię reprezentacji grup i algebr Liego w rozwiązywaniu równań różniczkowych, w krystalografii, w teorii optymalnego sterowania, itp Przedstawiony tu obszerny program wykładu zostanie częściowo zmodyfikowany oraz dostosowany do zainteresowań i poziomu uczestników. Dopuszczam rozszerzenie programu wykładu o nowe działy. Pewne części wykładu będą przestawione w wersji skróconej (bez pełnych dowodów twierdzeń). Części teoretyczne będą wzbogacane o informacje historyczne oraz o krótki opis kierunków rozwoju omawianej teorii. |
Pełny opis: |
1. Przestrzenie Euklidesa, przestrzenie unitarne, przestrzenie Hilberta 2. Podstawowe informacje o grupach topologicznych i ich reprezentacjach liniowych. 2.1. Grupy zwarte. Grupy SO(3,R) oraz SU(2, C) i ich proste reprezentacje liniowe. Nakrycie SO(3,R) ----> SU(2, C). 2.2. Miara Haara na grupach. Charaktery. Związki z analizą harmoniczną 3. Zespolone (rzeczywiste) rozmaitości analityczne. Rozmaitość styczna. 4. Lokalne grupy Liego. Grupy Liego w teorii równań różniczkowych. Przykłady liniowych grup Liego. 5. Sophus Lie (1842-1899) oraz jego idee leżące u podstaw różniczkowej teorii Galois. Rozwiązalność grup Liego. 6. Podstawowe informacje o zespolonych algebrach Liego. Rozwiązalne algebry Liego. Algebry półproste. Grupy Weila, grupy krystalograffi i diagramy Dynkina. 7. Grupa Liego i stowarzyszona z nią algebra Liego. Główne twierdzenia Liego. 8. Działania grup Liego na przestrzeniach funkcji. Operatory różniczkowe. Operator Laplace'a, operator fali. 9. O reprezentacjach liniowych grupy Lorenza. Reprezentacje Harish-Chandry. 10. Niezmienniki działania grup Liego na przestrzeniach funkcji. Związek z opisem rozwiązań stopwarzyszonych układów liniowych równań różniczkowych. |
Literatura: |
Spis literatury uzupełniającej N. Bourbaki, Grupes et alg'ebres de Lie, Ch. IV--VI, Hermann & Co. Paris, 1960. I. M. Gelfand and V. A. Ponomarev, Indecomposable representations of the Lorentz group, Uspechi Mat. Nauk 2(1968), 1-60 J. E. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Graduate Texts in Mathematics 9, Springer-Verlag, New York Heidelberg, Berlin, 1972. J. Komorowski, Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, PWN Warszawa, 1978. A. I. Kostrykin, Wstęp do algebry, PWN Warszawa, 1987. P. J. Olver, Applications of Lie Groups to Differential Equations, Graduate Texts in Mathematics, No. 107, Springer-Verlag, New York-Berlin, 1986. J.-P. Serre, Reprezentacje liniowe grup skończonych, PWN Warszawa, 1988. D. Simson, Metody algebraiczne w teorii równań różniczkowych, Skrypt, Wydział Matematyki i Informatyki, Toruń, 2016 Ja. P. Żełobenko, Kompaktnyje Gruppy Lie i ich Predstavlenija, Moskwa, 1970. |
Efekty uczenia się: |
WIEDZA (zna i rozumie): WG_1 - w stopniu umożliwiającym rewizję istniejących paradygmatów - światowy dorobek, obejmujący podstawy teoretyczne oraz zagadnienia ogólne i wybrane zagadnienia szczegółowe - właściwe dla danej dyscypliny naukowej WG_2 - główne tendencje rozwojowe dyscyplin naukowych, w których odbywa się kształcenie WG_3 - metodologię badań naukowych UMIEJĘTNOŚCI (potrafi): dokonywać krytycznej analizy i oceny wyników badań naukowych, działalności eksperckiej i innych prac o charakterze twórczym oraz ich wkładu w rozwój wiedzy KOMPETENCJE SPOŁECZNE (jest gotów do): KK_1 - krytycznej oceny dorobku w ramach danej dyscypliny naukowej |
Metody i kryteria oceniania: |
Sprawdziany pisemne |
Praktyki zawodowe: |
nie ma |
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu.