Równania różniczkowo-całkowe, procesy Markowa i stochastyczne równania różniczkowe wstecz

Podstawy analizy stochastycznej (martyngały z czasem ciągłym, całka

stochastyczna, wzór Ito, stochastyczne równania różniczkowe).

30 godzin - wykład

30 godzin - przygotowanie do zajęć i studiowanie literatury

30 godzin - przygotowanie do egzaminu

Razem: 90 godz.

Doktorant potrafi podać reprezentację typu Kaca--Feynmana dla podstawowych problemów brzegowo-początkowych równań liniowych cząstkowych drugiego rzędu. Zna podstawowe twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań stochastycznych równań różniczkowych wstecz i potrafi podać reprezentację stochastyczną, w terminach takich równań, rozwiązań problemu Cauchy'ego dla półliniowych równań z operatorami lokalnymi. Student jest świadomy nowych matematycznych problemów pojawiających się w badaniu metodami probabilistycznymi równań z operatorami nielokalnymi. (P8S_WG)

Doktorant potrafi:

1) wskazać problemy z równań różniczkowych cząstkowych, które mogą być

efektywnie badane metodami probabilistycznymi;

2) wskazać, dla pewnych specyficznych problemów, zalety i wady metod probabilistycznych.

(P8S_UW)

wykład

- wykład informacyjny (konwencjonalny)

Głównym celem wykładu jest pokazanie zastosowań metod probabilistycznych do badania równań różniczkowych cząstkowych. W pierwszej części podamy reprezentację stochastyczną, w terminach rozwiązań pewnych stochastycznych równań różniczkowych, podstawowych problemów brzegowo-początkowych dla równań cząstkowych liniowych. W drugiej części omówimy związki między stochastycznymi równaniami różniczkowymi wstecz a półliniowymi równaniami różniczkowymi cząstkowymi.

1. Reprezentacja probabilistyczna rozwiązań problemu Cauchy'ego, Dirichleta i Cauchy--Dirichleta dla równań liniowych z laplasjanem. Informacja o interpretacji rozwiązań problemu Neumanna. Wzór Kaca--Feynmana.

2. Stochastyczne równania różniczkowego wstecz. Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań dla danych całkowalnych z kwadratem.

3. Równania stochastyczne wstecz typu markowskiego. Interpretacja probabilistyczna rozwiązań lepkościowych równań półliniowych w formie niedywergencyjnej. Rozwiązania łagodne. Nieliniowy wzór Kaca-Feynmana.

4. Reprezentacja probabilistyczna słabych rozwiązań równań półliniowych w formie dywergencyjnej i pewnych typów równań z operatorem różniczkowo--całkowym typu Levy'ego.

I. Karatzas and S.E. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus. Springer, New York, 1988.

E. Pardoux, Backward Stochastic Differential Equations and Viscosity Solutions of Systems of Semilinear Parabolic and Elliptic PDEs of Second Order. In: Stochastic Analysis and Related Topics VI, The Geilo Workshop 1996, pp. 79--127, L. Decreusefond, J. Gjerde, B. Oksendal, A.S. Ustunel (Eds.), Birkhuser, Boston 1998.

Egzamin ustny