Matematyka

Wiadomości z matematyki ze szkoły średniej na poziomie podstawowym.

przedmiot obligatoryjny

- 90h - zajęcia kontaktowe:

wykład i ćwiczenia: 75h

konsultacje: 15h

- 65h - praca indywidualna

- 25h - przygotowania do procesu oceniania (zaliczenia)

- 180h - całkowity czas pracy studenta

W1: wie, co to jest funkcja; zna podstawowe pojęcia dotyczące funkcji (dziedzina, zbiór wartości) i ich własności (monotoniczność, ograniczoność, parzystość, okresowość); wie, co to jest funkcja złożona; - K_W02

W2: wie co to są wielomiany i jakie operacje można na nich wykonywać; zna postać iloczynową i wie, jak ją otrzymywać; zna podstawowe pojęcia i twierdzenia związane z wielomianami; wie co to jest wartość bezwzględna i funkcja wymierna; - K_W02

W3: zna funkcje trygonometryczne i ich własności oraz wykresy; - K_W02

W4: zna definicje oraz własności funkcji wykładniczej i logarytmicznej oraz relacje między nimi; - K_W02

W5: zna definicję ciągu i jego zbieżności; zna podstawowe twierdzenia dotyczące ciągów; - K_W02

W6: zna pojęcia i podstawowe twierdzenia związane z granicami funkcji; wie, co to jest ciągłość funkcji i jak ją badać; - K_W02

W7: zna definicję pochodnej funkcji jednej zmiennej, twierdzenia pozwalające na sprawne jej obliczanie; zna pojęcie pochodnej cząstkowej dla funkcji wielu zmiennych; wie, że pochodne odgrywają kluczową rolę w naukach przyrodniczych; - K_W02

W8: wie, jak badać przebieg zmienności funkcji; - K_W02

W9: zna pojęcia funkcji pierwotnej i całki nieoznaczonej, a także podstawowe metody obliczania całek; - K_W02

W10: wie, co to jest całka oznaczona, jak ją obliczać, jak ją wykorzystywać do obliczania powierzchni; - K_W02

W11: zna podstawowe pojęcia algebry liniowej; wie co to są macierze, wyznaczniki, jak rozwiązywać zagadnienie własne; - K_W02

W12: zna macierzowy zapis układów równań liniowych oraz wie jak z niego skorzystać żeby rozwiązać taki układ; - K_W02

W13: zna definicję funkcji wielu zmiennych i wie jak znaleźć ekstrema funkcji dwóch zmiennych; - K_W02

U1: potrafi określić dziedzinę funkcji oraz wyznaczyć jej podstawowe własności (monotoniczność, ograniczoność, parzystość, okresowość); - K_U02

U2: znajduje miejsca zerowe wielomianów; rozwiązuje równania i nierówności wielomianowe, a także dla funkcji wymiernych i wartości bezwzględnej; - K_U02

U3: potrafi korzystać z własności funkcji trygonometrycznych; rozwiązuje proste równania i nierówności trygonometryczne; - K_U02

U4: rozwiązuje równości i nierówności z funkcjami wykładniczymi i logarytmicznymi;

U5: potrafi znaleźć granice prostych ciągów, stosując do tego stosowne twierdzenia;

U6: umie obliczać granice funkcji (również niewłaściwe); potrafi rozstrzygnąć, czy funkcja jest ciągła; - K_U02

U7: oblicza pochodne funkcji (różnych rzędów); stosuje te umiejętności do znajdowania szeregów Taylora oraz obliczania granic z reguły de l'Hospitala;

U8: potrafi zbadać przebieg zmienności funkcji; - K_U02

U9: oblicza proste całki nieoznaczone, korzystając z metod całkowania przez części oraz przez podstawienie; - K_U02

U10: oblicza całki oznaczone w oparciu o twierdzenie Newtona-Leibnitza;

U11: wykonuje działania na macierzach, oblicza wyznaczniki, znajduje wartości i wektory własne; - K_U02

U12: rozwiązuje układy równań liniowych korzystając z formalizmu macierzowego;

U13: oblicza pochodne cząstkowe funkcji wielu zmiennych; znajduje ekstrema funkcji dwóch zmiennych; - K_U02

K1: potrafi organizować pracę, dąży do realizacji powierzonych zadań; - K_K02

K2: potrafi odpowiednio określić priorytety w celu zaplanowania i realizacji określonego zadania; - K_K03

K3: identyfikuje i rozwiązuje problemy związane z wykonywaniem zawodu; - K_K04

Wykład - konwencjonalny

Ćwiczenia - metoda ćwiczeniowa

- wykład informacyjny (konwencjonalny)

- ćwiczeniowa

Zajęcia rozpoczną się od krótkiego powtórzenia wybranych zagadnień z programu szkoły średniej, z uwzględnieniem bardzo różnego poziomu przygotowania studentów. Szczególna uwaga będzie zwrócona na poprawny zapis matematyczny. Niektóre zagadnienia zostaną rozszerzone w porównaniu z zakresem podstawowym programu z matematyki dla szkoły średniej. Następnie omówione zostaną podstawy rachunku różniczkowego i całkowego funkcji jednej zmiennej. Pochodne będą wykorzystane jako narzędzie do badania przebiegu zmienności funkcji. Wprowadzony zostanie bardzo ważny w naukach przyrodniczych szereg Taylora. Przedstawione zostaną podstawowe informacje o funkcji wielu zmiennych, pozwalające poszukiwać ekstremów takich funkcji. Wprowadzone zostaną podstawy algebry liniowej, omówione macierze, wyznaczniki, macierz odwrotna, zagadnienie własne. Zaprezentowane zostanie wykorzystanie macierzy do rozwiązywania układów równań liniowych. Omówione zostaną iloczyny skalarny i wektorowy.

Wykład:

Kwantyfikatory:

- wprowadzenie dwóch rodzajów zapisu

- proste przykłady i konsekwentne stosowanie w czasie wykładu

Ciągi liczb rzeczywistych:

- definicja ciągu i podstawowe własności (monotoniczność, ograniczoność)

- definicja zbieżności ciągu i pojęcie granicy

- pojęcie rozbieżności ciągu i definicja ciągu rozbieżnego do nieskończoności

- podstawowe twierdzenia dotyczące granic ciągów

- liczba e

Granice funkcji:

- definicja granicy funkcji w punkcie wg. Heinego

- granice jednostronne

- granice w nieskończoności

- granice niewłaściwe w punkcie

- rachunek granic skończonych

Ciągłość funkcji:

- definicja ciągłości w punkcie i przykłady

- ciągłość funkcji na zbiorze argumentów

- podstawowe własności funkcji ciągłych

- ciągłość funkcji elementarnych, funkcji wymiernej, funkcji złożonych

Pochodna funkcji:

- iloraz różnicowy

- definicja pochodnej funkcji w punkcie

- geometryczna interpretacja pochodnej i równanie stycznej do wykresu

- funkcja "pochodna funkcji"

- pochodna funkcji elementarnych

- pochodne sumy, iloczynu oraz ilorazu funkcji

- pochodna funkcji złożonej

- pochodne wyższych rzędów

- przykłady zastosowania pochodnych w fizyce i chemii

Zastosowanie pochodnych funkcji:

- szereg Taylora, ze wstępem wprowadzającym pojęcie szeregu, jego zbieżności i prostych przykładów

- reguła de l'Hospitala

- diagnostyka właściwości funkcji z użyciem pochodnych, takich jak: monotoniczność, ekstrema funkcji, punkty przegięcia, wypukłość

- badanie przebiegu zmienności funkcji

Całka nieoznaczona:

- pojęcie funkcji pierwotnej

- całki elementarne

- podstawowe własności całek

- całkowanie przez części

- całkowanie przez podstawienie

Całka oznaczona:

- pojęcie sumy całkowej

- związek z całką nieoznaczoną - twierdzenie Newtona-Leibnitza

- zastosowanie do obliczania pól powierzchni

- całki niewłaściwe

Elementy algebry liniowej:

- iloczyn kartezjański

- pojęcie przestrzeni liniowej

- wektory i macierze oraz działania na nich

- permutacje i znak permutacji

- wyznaczniki i ich podstawowe własności

- iloczyny skalarny i wektorowy w R^3

- macierz odwrotna

- wartości i wektory własne macierzy

Układy równań liniowych:

- reprezentacja macierzowa układu równań liniowych

- wzory Cramera

Funkcje wielu zmiennych:

- pochodne cząstkowe

- ekstrema lokalne funkcji wielu zmiennych

- badanie ekstremów lokalnych funkcji dwóch zmiennych

Ćwiczenia:

Zbiory:

- działania na zbiorach (suma, przekrój, różnica)

- iloczyn kartezjański

- graficzna interpretacja iloczynu kartezjańskiego w dwuwymiarowym układzie kartezjańskim

Podstawowe informacje o funkcjach:

- dziedzina i zbiór wartości

- tworzenie wykresu funkcji

- własności takie jak monotoniczność, ograniczoność, parzystość, nieparzystość, okresowość, różnowartościowość

- złożenie funkcji, funkcja odwrotna

- ilustracja na prostych przykładach

- dyskusja powyższych własności dla wszystkich funkcji wprowadzanych w dalszych częściach zajęć

Funkcja kwadratowa:

- podstawowe pojęcia i własności, postać iloczynowa i kanoniczna

- równania i nierówności kwadratowe

Wartość bezwzględna:

- definicja

- równania i nierówności

Wielomiany:

- definicja i wykresy

- operacje na wielomianach, ze szczególną uwagą zwróconą na dzielenie

- twierdzenie Bezout

- miejsca zerowe i równanie algebraiczne

- znajdowanie szczególnych rozwiązań dla wielomianów ze współczynnikami wymiernymi

- postać iloczynowa wielomianu

- równania i nierówności z wielomianami

Funkcje wymierne:

- definicja i własności

- równania i nierówności z funkcjami wymiernymi

Funkcje trygonometryczne:

- definicje, podstawowe własności i wykresy

- wzory redukcyjne

- podstawowe tożsamości trygonometryczne

- związek wzorów redukcyjnych z tożsamościami dla sumy kątów

- relacje pomiędzy tożsamościami trygonometrycznymi

- podstawowe równania i nierówności trygonometryczne

Funkcje wykładnicze i logarytmiczne:

- definicje, podstawowe własności i wykresy

- równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne

- szczególne zwrócenie uwagi na znaczenie monotoniczności obu funkcji przy rozwiązywaniu nierówności

- funkcje potęgowe

Ciągi liczb rzeczywistych:

- obliczanie granic ciągów liczb rzeczywistych, z zastosowaniem podstawowych twierdzeń (o granicy iloczynu lub ilorazu ciągów, o trzech ciągach)

- rozpoznawanie ciągów zbiegających do liczby e lub jej potęg

Granice funkcji:

- obliczanie granic funkcji w punkcie, w tym granic lewo- i prawostronnych

- korzystanie z rachunku granic skończonych

- obliczanie granic niewłaściwych w punkcie i znajdowanie asymptot pionowych

- obliczanie granic funkcji w nieskończoności i znajdowanie asymptot poziomych i ukośnych

- rozwiązywanie zadań z funkcjami zbiegającymi do liczby e oraz z funkcją sin(x)/x

Ciągłość funkcji:

- badanie ciągłości funkcji w punkcie oraz na przedziale

- ciągłość funkcji elementarnych

- korzystanie z twierdzeń o ciągłości funkcji zbudowanych z funkcji ciągłych, w tym złożenia takich funkcji

Pochodna funkcji:

- poznanie pochodnych funkcji elementarnych

- obliczanie pochodnych sumy, iloczynu, ilorazu i złożenia funkcji elementarnych

- pochodne wyższych rzędów

Zastosowanie pochodnych funkcji:

- znajdowanie szeregu Taylora dla prostych funkcji

- zastosowanie reguły de l'Hospitala do znajdowania granic funkcji dla różnych przypadków wyrażeń nieoznaczonych

- badanie własności funkcji z wykorzystaniem pochodnych (monotoniczność, ekstrema, punkty przegięcia, wypukłość)

- badanie przebiegu zmienności funkcji i konstrukcja wykresu

Całka nieoznaczona:

- poznanie całek elementarnych

- wykorzystanie podstawowych własności całek

- całkowanie przez części, w tym wielokrotne, na przykładach

- całkowanie przez podstawienie

Całka oznaczona:

- obliczanie całek oznaczonych z twierdzenia Newtona-Leibnitza

- obliczanie pól powierzchni obszarów płaskich

- obliczanie pól powierzchni i objętości brył obrotowych

- obliczanie całek niewłaściwych różnych typów

Elementy algebry liniowej:

- obliczanie sumy i iloczynu macierzy

- ilustracja pojęć: macierz transponowana, jednostkowa, symetryczna, ortogonalna, trójkątna

- obliczanie wyznaczników macierzy 2x2 i 3x3 ze wzorów Sarrusa

- stosowanie rozwinięcia Laplace'a do obliczania wyznaczników macierzy wyższych stopni

- obliczanie iloczynów skalarnych i wektorowych w R^3, znajdowanie długości wektora i stwierdzenie ortogonalności

- wyznaczanie macierzy odwrotnej wraz ze sprawdzeniem poprawności

- znajdowanie wartości i wektorów własnych macierzy

Układy równań liniowych:

- zapisywanie układów równań liniowych w postaci macierzowej

- znajdowanie rozwiązań układów równań liniowych ze wzorów Cramera

Funkcje wielu zmiennych:

- pochodne cząstkowe pierwszego i drugiego rzędu

- ekstrema lokalne funkcji wielu zmiennych

- badanie ekstremów lokalnych funkcji dwóch zmiennych

Literatura podstawowa:

Roman Leitner, Zarys matematyki wyższej dla studentów części I i II, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa (wiele wydań);

Roman Leitner, Janusz Zacharski, Zarys matematyki wyższej dla studentów część III,

Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa (wiele wydań);

Roman Leitner, Wojciech Matuszewski, Zdzisław Rojek, Zadania z matematyki wyższej części I i II, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa (wiele wydań);

Donald A. McQuarrie, Matematyka dla przyrodników i inżynierów, tom 1, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2005;

W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, części I i II, PWN, Warszawa (wiele wydań);

Literatura uzupełniająca:

Erich Steiner, Matematyka dla chemików, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2001;

Grzegorz Decewicz, Wojciech Żakowski, Matematyka Część 1, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa;

W. Kołodziej, W. Żakowski, Matematyka Część 2, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa;

T. Trajdos, Matematyka Część 3, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa;

W. Leksiński, B. Macukow, W. Żakowski, Matematyka w zadaniach dla kandydatów na wyższe uczelnie, cz. 1 i 2,

Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa;

B. Gdowski, E. Pluciński, Zbiór zadań z matematyki dla kandydatów na wyższe uczelnie, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa (wiele wydań);

Robert Lambourne, Michael Tinker, Basic Mathematics for the Physical Sciences, Wiley 2001;

Paul Monk, Masths for Chemistry, Oxford University Press 2006;

Ćwiczenia: kolokwia pisemne;

Wykład: egzamin pisemny;

Obowiązuje znajomość materiału z wykładu i ćwiczeń.

Warunkiem przystąpienia do egzaminu jest zaliczenie ćwiczeń.

Kryteria oceniania:

0-50% - ndst (2)

50-60% - dst (3)

61-65% - dst plus (3+)

66-75% - db (4)

76-80% - db plus (4+)

81-100% - bdb (5)