Matematyka - poziom rozszerzony

Wiedza z zakresu matematyki na poziomie liceum wzbogacona o materiał z semestru pierwszego.

- 80 godz. - zajęcia realizowane z udziałem nauczycieli:

wykład + ćwiczenia: 75 godz.

konsultacje: 5 godz.

- 60 godz. - praca indywidualna

- 25 godz. - przygotowania do procesu oceniania (zaliczenia)

- 165 godz. - całkowity czas pracy studenta

W1: zna pojęcia funkcji pierwotnej i całki nieoznaczonej, a także podstawowe metody obliczania całek; - K_W03

W2: wie, co to jest całka oznaczona, jak ją obliczać, jak ją wykorzystywać do obliczania powierzchni; - K_W03

W3: zna podstawowe pojęcia algebry liniowej; wie co to są macierze, wyznaczniki, jak rozwiązywać zagadnienie własne; - K_W03

W4: zna macierzowy zapis układów równań liniowych oraz wie jak z niego skorzystać żeby rozwiązać taki układ; - K_W03

W5: zna definicję funkcji wielu zmiennych i wie jak znaleźć ekstrema funkcji dwóch zmiennych; - K_W03

W6: zna podstawowe pojęcia związane z równaniami różniczkowymi; - K_W03

U1: oblicza proste całki nieoznaczone, korzystając z metod całkowania przez części oraz przez podstawienie; - K_U03

U2: oblicza całki oznaczone w oparciu o twierdzenie Newtona-Leibnitza; - K_U03

U3: wykonuje działania na macierzach, oblicza wyznaczniki, znajduje wartości i wektory własne; - K_U03

U4: rozwiązuje układy równań liniowych korzystając z formalizmu macierzowego; - K_U03

U5: oblicza pochodne cząstkowe funkcji wielu zmiennych; znajduje ekstrema funkcji dwóch zmiennych; - K_U03

U6: potrafi rozwiązać bardzo proste równania różniczkowe; - K_U03

K1: Kreatywność: Myśli twórczo w celu udoskonalenia istniejących bądź stworzenia nowych rozwiązań; - K_K02

K2: Sumienność i dokładność: Jest nastawiony na jak najlepsze wykonanie zadania; dba o szczegóły; jest systematyczny; - K_K03

K3: Wytrwałość i konsekwencja: Pracuje systematycznie i ma pozytywne podejście do trudności stojących na drodze do realizacji założonego celu; dotrzymuje terminów; rozumie konieczność systematycznej pracy nad wszelkimi projektami; - K_K06

K4: Samodzielność: W pełni samodzielnie realizuje uzgodnione cele, podejmując samodzielne i czasami trudne decyzje; - K_K07

Wykład - konwencjonalny

Ćwiczenia - metoda ćwiczeniowa

- wykład informacyjny (konwencjonalny)

- ćwiczeniowa

Omówione zostanę podstawy rachunku całkowego funkcji jednej zmiennej. Wprowadzone zostaną podstawy algebry liniowej, omówione macierze, wyznaczniki, macierz odwrotna, zagadnienie własne. Zaprezentowane zostanie wykorzystanie macierzy do rozwiązywania układów równań liniowych. Omówione zostaną iloczyny skalarny i wektorowy. Przedstawione zostaną podstawowe informacje o funkcji wielu zmiennych, pozwalające poszukiwać ekstremów takich funkcji. Zaprezentowane zostaną też proste równania różniczkowe i pojęcia z nimi związane.

Wykład:

Całka nieoznaczona:

- pojęcie funkcji pierwotnej

- całki elementarne

- podstawowe własności całek

- całkowanie przez części

- całkowanie przez podstawienie

- całkowanie funkcji wymiernych i trygonometrycznych

Całka oznaczona:

- pojęcie sumy całkowej

- związek z całką nieoznaczoną - twierdzenie Newtona-Leibnitza

- zastosowanie do obliczania pól powierzchni

- całki niewłaściwe

Elementy algebry liniowej:

- iloczyn kartezjański

- pojęcie przestrzeni liniowej

- wektory i macierze oraz działania na nich

- permutacje i znak permutacji

- wyznaczniki i ich podstawowe własności

- iloczyny skalarny i wektorowy w R^3

- macierz odwrotna

- wartości i wektory własne macierzy

Układy równań liniowych:

- reprezentacja macierzowa układu równań liniowych

- twierdzenie Kroneckera-Capellego

- wzory Cramera

Przestrzeń wektorowa:

- baza w przestrzeni wektorowej

- liniowa niezależność wektorów

- ortogonalizacja Grama-Schmidta

- zależność macierzy odwzorowania liniowego od bazy

Funkcje wielu zmiennych:

- pochodne cząstkowe

- ekstrema lokalne funkcji wielu zmiennych

- badanie ekstremów lokalnych funkcji dwóch zmiennych

Podstawy równań różniczkowych

- podstawowe pojęcia: rozwiązania ogólne i szczególne, problem wartości początkowej

- równania różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego o rozdzielonych zmiennych

- równanie różniczkowe liniowe rzędu pierwszego

- równanie różniczkowe liniowe rzędu drugiego o stałych współczynnikach

----------------------

Ćwiczenia:

Całka nieoznaczona:

- poznanie całek elementarnych

- wykorzystanie podstawowych własności całek

- całkowanie przez części, w tym wielokrotne, na przykładach

- całkowanie przez podstawienie

- całki z funkcji wymiernych

- całki z funkcji trygonometrycznych

Całka oznaczona:

- obliczanie całek oznaczonych z twierdzenia Newtona-Leibnitza

- obliczanie pól powierzchni obszarów płaskich

- obliczanie pól powierzchni i objętości brył obrotowych

- obliczanie całek niewłaściwych różnych typów

Elementy algebry liniowej:

- obliczanie sumy i iloczynu macierzy

- ilustracja pojęć: macierz transponowana, jednostkowa, symetryczna, ortogonalna, trójkątna

- obliczanie wyznaczników macierzy 2x2 i 3x3 ze wzorów Sarrusa

- stosowanie rozwinięcia Laplace'a do obliczania wyznaczników macierzy wyższych stopni

- określanie rzędu macierzy

- obliczanie iloczynów skalarnych i wektorowych w R^3, znajdowanie długości wektora i stwierdzenie ortogonalności

- wyznaczanie macierzy odwrotnej wraz ze sprawdzeniem poprawności

- znajdowanie wartości i wektorów własnych macierzy

Układy równań liniowych:

- zapisywanie układów równań liniowych w postaci macierzowej

- twierdzenie Kroneckera-Capellego

- znajdowanie rozwiązań układów równań liniowych ze wzorów Cramera

- znajdowanie rozwiązań układów równań liniowych metodą Gaussa

Przestrzenie wektorowe - przykłady:

- R^2, R^3, przestrzeń wielomianów

- bazy i ortonormalizacja wektorów

Funkcje wielu zmiennych:

- pochodne cząstkowe pierwszego i drugiego rzędu

- ekstrema lokalne funkcji wielu zmiennych

- badanie ekstremów lokalnych funkcji dwóch zmiennych

Równania różniczkowe:

- rozwiązanie szeregu zadań ilustrujących typy równań omawianych na wykładzie

Literatura podstawowa:

- Roman Leitner, Zarys matematyki wyższej dla studentów części I i II, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa (wiele wydań);

- Roman Leitner, Janusz Zacharski, Zarys matematyki wyższej dla studentów część III, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa (wiele wydań);

- Roman Leitner, Wojciech Matuszewski, Zdzisław Rojek, Zadania z matematyki wyższej części I i II, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa (wiele wydań);

- Donald A. McQuarrie, Matematyka dla przyrodników i inżynierów, tom 1, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2005;

Ćwiczenia: kolokwia pisemne;

Wykład: egzamin pisemny;

Obowiązuje znajomość materiału z wykładu i ćwiczeń z obu semestrów.

Warunkiem przystąpienia do egzaminu jest zaliczenie ćwiczeń z obu semestrów.

Kryteria oceniania:

0-50% - ndst (2)

50-60% - dst (3)

61-65% - dst plus (3+)

66-75% - db (4)

76-80% - db plus (4+)

81-100% - bdb (5)