Analiza funkcjonalna

Podstawowa wiedza z analizy matematycznej oraz algebry liniowej.

przedmiot fakultatywny

Godziny realizowane z udziałem nauczycieli (45 godz.)

- udział w konwersatorium – 45 godz.

Czas poświęcony na pracę indywidualną studenta ( 45 godz.):

- przygotowanie do konwersatorium – 15 godz.

- przygotowanie prac zaliczeniowych - 30 godz.

Łącznie: 90 godz. (3 ECTS)

Po ukończeniu kursu student:

W1: zna pojęcia przestrzeni metrycznej, unormowanej, zna podstawowe własności normy, operuje podstawowymi pojęciami topologicznymi w przypadku metrycznym;

W2: podaje podstawowe przestrzenie analizy funkcjonalnej: Banacha, Hilberta, zna podstawowe przykłady takich przestrzeni;

W3: zna pojęcie operatora ograniczonego i jego normy;

W4: rozumie i umie stosować klasyczne twierdzenia analizy funkcjonalnej: tw. o odwzorowaniu otwartym, domkniętym wykresie, o odwzorowaniu otwartym, zasadę jednostajnej ograniczoności;

W5: operuje pojęciem przestrzeni sprzężonej, zna podstawowe twierdzenia o jej postaci;

W6: zna podstawowe twierdzenia dotyczące przestrzeni Hilberta: tw. Pitagorasa, tw. o rzucie ortogonalnym, o rozkładzie, tw. Riesza, tw. o operatorze sprzężonym;

W7: rozumie pojęcie układu ortonormalnego zupełnego w przestrzeni Hilberta i pojecie szeregu Fouriera, potrafi rozwijać w szereg Fouriera funkcje okresowe i całkowalne;

W8: zna podstawowe twierdzenia spektralne dotyczące operatorów samosprzężonych (ograniczonych i nieograniczonych);

W9: zna podstawowe własności spektralne operatorów pędu i położenia.

Efekty przedmiotowe W1-W9 realizują efekty kierunkowe:

K_W01 dla F,

K_W01 dla FT.

Student:

U1: rozumie podstawową strukturę przestrzeni metrycznych, unormowanych, Banacha i Hilberta, ilustruje przykładami poznane definicje;

U2: stosuje klasyczne twierdzenia j i swobodnie posługuje się podstawowymi narzędziami analizy funkcjonalnej;

U3: potrafi samodzielnie dowodzić prostych faktów z zakresu analizy funkcjonalnej;

U4: rozumie matematyczne podstawy teorii spektralnej i jej zastosowanie w fizyce kwantowej;

U5: rozumie potrzebę dalszego pogłębiania swej wiedzy matematycznej.

Efekty przedmiotowe U1-U4 realizują efekty kierunkowe:

K_U01 dla F,

K_U01 dla FT.

Efekt przedmiotowy U5 realizuje efekty kierunkowe:

K_U09 dla F,

K_U12 dla FT.

K1 – jest świadomy ograniczeń swej wiedzy matematycznej

Efekt przedmiotowy K1 realizują efekty kierunkowe:

K_K01 dla F,

K_K01 dla FT.

Metody dydaktyczne podające:

- wykład konwersatoryjny

Metody dydaktyczne poszukujące:

- ćwiczeniowa

- wykład konwersatoryjny

- ćwiczeniowa

Przedmiot jest wprowadzeniem do podstawowych zagadnień analizy funkcjonalnej. Koncentruje się na własnościach przestrzeni Banacha ze szczególnym uwzględnieniem przestrzeni Hilberta. W trakcie zajęć zostaną omówione podstawowe pojęcia analizy funkcjonalnej wraz z licznymi przykładami je ilustrującymi oraz klasyczne twierdzenia dotyczące operatorów na przestrzeniach Banacha, szeregów Fouriera czy teorii spektralnej. Celem jest przedstawienie drogi prowadzącej do twierdzeń spektralnych dla operatorów samosprzężonych istotnych z punktu widzenia fizyki kwantowej.

Zajęcia zaczynają się od wprowadzenia matematycznych pojęć i tła potrzebnego do wejścia w świat przestrzeni Banacha. Następnie zostaną omówione podstawowe własności przestrzeni Banacha, ze szczególnym uwzględnieniem przestrzeni Hilberta w kolejności przedstawionej poniżej.

Tematy:

1. Przestrzenie metryczne, elementy topologii metrycznej;

2. Przestrzenie unormowane, własności normy;

3. Przestrzenie Banacha, przykłady klasycznych przestrzeni ciągowych i funkcyjnych;

4. Przestrzenie Hilberta, własności iloczynu skalarnego, przykłady, podstawowe twierdzenia dotyczące geometrii przestrzeni Hilberta oraz szeregów Fouriera;

5. Operatory ograniczone i ich własności w przestrzeni Banacha, norma operatora, operatory sprzężone w przestrzeni Hilberta, przestrzenie dualne;

6. Elementy Teorii spektralnej dla operatorów ograniczonych i nieograniczonych ze szczególnym uwzględnieniem operatorów samosprzężonych i operatorów znanych z fizyki kwantowej.

Literatura podstawowa:

1. E. Kreyszig - ,,Introductory Functional Analysis with Applications", Wiley; 1st edition (February 23, 1989);

2. V. L. Hansen - „Functional Analysis, Enterning Hilbert Space” WSP 2006;

3. Jan Rusinek – “Zadania z Analizy Funkcjonalnej z rozwiązaniami” Warszawa 2006;

4. Stanisław Prus, Adam Stachura – „Analiza funkcjonalna w zadaniach” PWN 2009.

Literatura dodatkowa:

1. Witold Kołodziej „Wybrane rozdziały analizy matematycznej” (B.M. t.36, PWN 1970)

2. Włodzimierz Mlak - „Wstęp do przestrzeni Hilberta” B.M. t.35, PWN 1970;

3. Julian Musielak - „Wstęp do analizy funkcjonalnej” PWN 1989;

4. Andrzej Aleksiewicz - „Analiza Funkcjonalna” PWN 1969;

5. Walter Rudin – „Analiza Funkcjonalna” PWN 2009;

6. Jacek Chmieliński – “Analiza funkcjonalna, notatki do wykladu” Kraków 2004;

7. J. Ron Retherford – „Hilbert Space: Compact Operators and the Trace Theorem” Cambridge 1993;

Zaliczenie na ocenę na podstawie sześciu prac zaliczeniowych wykonywanych w domu, które dotyczą zadań pojawiających się na ćwiczeniach.

Zadania domowe weryfikują efekty W1-W9 oraz U1-U4.

Łączna suma punktów za zadania domowe daje ocenę końcową na podstawie kryteriów podanych poniżej.

50-60% - ocena: 3

60-70% - ocena: 3+

70-80% - ocena: 4

80-90% - ocena: 4+

90-100% - ocena 5

nie dotyczy