Symulowanie i analiza układów dynamicznych

Znajomość materiału z zakresu przedmiotów: Analiza matematyczna 1, Algebra 1 i Programowanie proceduralne

uzupełnienie kanonu (atrybut wycofany)

Godziny realizowane z udziałem nauczycieli ( 60 godz.):

- udział w wykładach – 30 godz.

- udział w ćwiczeniach – 30 godz.

Czas poświęcony na pracę indywidualną studenta ( 90 godz.):

- przygotowanie do wykładu – 15 godz.

- przygotowanie do ćwiczeń – 15 godz.

- pisanie projektów – 20 godz.

- przygotowanie do egzaminu – 20 godz.

- przygotowanie do kolokwium – 20 godz.

Łącznie: 150 godz. (5 ECTS)

Student zna:

W01 - podstawowe typy i cechy układów dynamicznych: równania różniczkowe i odwzorowania, 

W02 - różnice pomiędzy układami: linowym i nieliniowym, autonomicznym i nieautonomicznym, stabilnym i niestabilnym,

W03 - pojęcia: trajektoria, orbita zamknięta, cykl graniczny, portret fazowy, przestrzeń fazowa, płaszczyzna fazowa, mapa Poincare, punkt stały, stany równowagi, bifurkacja i jej typy, pole wektorowe, atraktor, repeller, wektory i wartości własne, równoważność topologiczna, homeomorfizm, stabilność strukturalna, basen przyciągania, współczynnik Lapunowa, chaos.

W04 – narzędzia informatyczne do symulacji i analizy układów dynamicznych

Efekty przedmiotowe W01, W02 i W03 realizują efekty kierunkowe: K_W01 i K_W02.

Efekt przedmiotowy W04 realizuje efekt kierunkowy: K_W06.

Student potrafi:

U01 – zastosować takie techniki jak linearyzacja w pobliżu punktów równowagi, analiza nullcline, analiza stabilności i teorię bifurkacji.

U02 – zbudować algorytm komputerowy do symulacji i analizy układów dynamicznych

Efekt przedmiotowy U01 realizuje efekt kierunkowy: K_U01

Efekt przedmiotowy U02 realizuje efekt kierunkowy: K_U08

Student potrafi:

K01 – wykazać się skutecznością w realizacji projektów o charakterze naukowo-badawczym.

Efekt przedmiotowy K01 realizuje efekt kierunkowy: K_K03

Metoda dydaktyczna podająca:

- wykład informacyjny (konwencjonalny)

Metody dydaktyczne poszukujące:

- ćwiczeniowa

- projektu

- wykład informacyjny (konwencjonalny)

- ćwiczeniowa
- projektu

Przedmiot wprowadza w podstawowe pojęcia z teorii układów dynamicznych. Student zapozna się z metodami rozwiązywania liniowych i nieliniowych układów równań różniczkowych. W przeciwieństwie do układów liniowych, układy nieliniowe stwarzają poważne trudności teoretyczne, takie jak istnienie i jednoznaczności rozwiązań, zależność rozwiązań od parametrów i warunków początkowych. W trakcie kursu zostanie przedstawiona jedna z najbardziej podstawowych technik do radzenia sobie z problemami dynamiki: interpretację równania różniczkowego jako pola wektorowego. Ostatnia część kursu jest poświęcona skomplikowanym nieliniowym zachowaniom układów wielowymiarowych znanych jako chaotyczne.

1. Liniowe i nieliniowe równania różniczkowe pierwszego rzędu: model logistyczny liczebności populacji, bifurkacje, mapy Poincare, punkty stałe.

2. Dwuwymiarowe układy liniowe: układ równań różniczkowych pierwszego rzędu, zasada superpozycji, wektory i wartości własne, pole wektorowe

3. Klasyfikacja układów liniowych: portrety fazowe, rzeczywiste i zespolone wartości własne.

4. Stany równowagi w układach nieliniowych: linearyzacja wokół punktów stałych, równoważność topologiczna, stabilność strukturalna,równania Lotki-Volterry, baseny przyciągania, atraktory i repellery, siodła.

5. Dwuwymiarowe układy nieliniowe: twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności, całkowanie numeryczne i metoda Eulera.

6. Globalne techniki nieliniowe: nullclines, stabilność Lapunowa.

7. Orbity zamknięte i zbiory graniczne: twierdzenie Poincare–Bendixsona, cykl graniczny.

8. Bifurkacje: siodło-węzeł, transkrytyczne, widłowe, Hopf, Homoclinic.

9. Chaos: układ Lorenza, atraktory dziwne, współczynniki Lapunowa.

10. Dyskretne układy dynamiczne: wykres pajęczy, odwzorowanie logistyczne.

Literatura podstawowa:

1. Hirsch MW., Smale S., Devaney RL., (2012), Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos, Academic Press, 3 edition, ISBN-10: 0123820103

2. Strogatz SH., (2014), Nonlinear Dynamics And Chaos: With Applications To Physics, Biology, Chemistry, And Engineering, Westview Press, 2 edition, ISBN-10: 0813349109.

3. Ermentrout B., (2002), Simulating, Analyzing, and Animating Dynamical Systems: A Guide to XPPAUT for Researchers and Students, SIAM, ISBN: 978-0-89871-506-4

Metody oceniania:

egzamin pisemny – weryfikacja W01-W03

kolokwium – weryfikacja U01

projekt – weryfikacja U02 i K01

Kryteria oceniania:

Wykład: egzamin pisemny w formie testu (pytania otwarte i zamknięte)

ndst - [0% - 50%)

dst - [50% – 65%)

dst plus - [65% - 75%)

db - [75 % - 85%)

db plus - [85% - 95%)

bdb - [95% - 100%]

Ćwiczenia: zaliczenie na ocenę na podstawie kolokwium i projektu

ndst - [0% - 50%)

dst - [50% – 65%)

dst plus - [65% - 75%)

db - [75 % - 85%)

db plus - [85% - 95%)

bdb - [95% - 100%]

Ocena końcowa z ćwiczeń jest średnią arytmetyczną ocen z kolokwium i projektu.