Mechanika nieba

Wskazane jest zaliczenie kursu mechaniki klasycznej.

Wymagana jest dobra znajomość podstaw rachunku wektorowego (arytmetyki wektorów, iloczynu skalarnego i wektorowego) oraz elementów analizy matematycznej, w szczególności różniczkowania funkcji wielu zmiennych i całkowania funkcji jednej zmiennej.

przedmiot obligatoryjny

Godziny realizowane z udziałem nauczycieli ( 60 godz.):

- udział w wykładach - 30

- udział w ćwiczeniach - 30

Czas poświęcony na pracę indywidualną studenta ( 90 godz.):

- przygotowanie do wykładu - 15

- przygotowanie do ćwiczeń - 30

- przygotowanie do egzaminu - 30

- przygotowanie do kolokwium - 15

Łącznie: 150 godz. (5 ECTS)

W1: Opanowanie podstaw mechaniki układu planetarnego

W2: Zrozumienie dynamiki układu dwóch punktów materialnych w kontekście astrofizycznym, jako dynamicznego modelu układu gwiazda-planeta, gwiazda-gwiazda, planeta-księżyc

W3: Opanowanie podstaw ograniczonego, kołowego zagadnienia trzech ciał, jako najprostszego modelu układu trzech punktowych obiektów astrofizycznych, oddziaływających grawitacyjnie.

Efekty te wpisują się w kierunkowe efekty kształcenia: K_W01, K_W03, K_W05

U1: Student potrafi opisać i parametryzować ruch ciała na orbicie stożkowej w zagadnieniu Keplera, jako podstawowego modelu ruchu wielu układów astrofizycznych

U2: Student rozumie wyprowadzenie kinematycznej funkcji obserwacyjnej dla prędkości radialnej, pozycji astrometrycznej, chronometrażu zaćmień układów planety i gwiazdy (układu podwójnego).

Efekty te wpisują się w kierunkowe efekty kształcenia: K_U04

K1: Student jest świadomy pozycji obserwatora na Ziemi jako planecie w układzie planetarnym, rozumie znaczenie obserwacji astronomicznych oraz ich matematycznego modelowania i interpretacji jako podstawowego źródła wiedzy astronomicznej o świecie.

Efekty te wpisują się w efekty kierunkowe: K_K01, K_K05

- wykład informacyjny (konwencjonalny)

- metoda ćwiczeniowa

- klasyczna metoda problemowa

- wykład informacyjny (konwencjonalny)

- ćwiczeniowa
- klasyczna metoda problemowa

Mechanika Nieba jest wykładem kursowym obejmującym podstawy mechaniki układu planetarnego, przedstawione w oparciu o zagadnienie Keplera, jako najprostszy przypadek problemu N-ciał. Omawiane są: parametryzacja orbit w ujęciu dynamicznym i geometrycznym, propagacja warunku początkowego oraz wyznaczanie elementów orbity heliocentrycznej na podstawie obserwacji kierunku z Ziemi. Materiał zawiera też uogólnienia problemu dwóch ciał: ograniczone, kołowe zagadnienie trzech ciał i problem Hilla wraz z zastosowaniami (np. projektowanie ruchu sond kosmicznych). Kontekst astrofizyczny to funkcja celu dla obserwacji pozasłonecznych układów planetarnych i podwójnych układów gwiazdowych, wykonywanych technika spektroskopową, astrometryczną i chronometrażu zaćmień.

Wykład prowadzony jest metodą tradycyjną (,,kredą na tablicy''), ale jest uzupełniony o ilustracje, przykłady obliczeniowe i inne materiały źródłowe.

• Układ Słoneczny i układy planetarne. Wprowadzenie do zagadnienia planetarnego jako modelu Układu Słonecznego i pozasłonecznych, wielokrotnych układów planetarnych. Problem stabilności Układu Słonecznego. Renesans mechaniki nieba jako dziedziny astronomii, która łączy obserwacje astrofizyczne z mechaniką klasyczną, teorią równań różniczkowych, statystyką, optymalizacją i metodami numerycznymi.

• Planetarne zagadnienie N-ciał. Sformułowanie modelu, podstawy fizyczne. Równania ruchu względnego. Całka energii, całkowitego pędu (środka masy), całkowitego momentu pędu, barycentrum i płaszczyzna Laplace'a, twierdzenie o wiriale.

• Problem Keplera (metoda szeregów Taylora). Równania ruchu dwóch punktów materialnych, redukcja. Rozwiązanie problemu Keplera metodą szeregów potęgowych. Metoda Taylora jako prototyp algorytmów całkowania numerycznego układów równań różniczkowych zwyczajnych. Rozwiązanie zaburzonego zagadnienia Keplera metodą niezmienników Lagrange'a oraz szybkiej transformaty Taylora. Numeryczne rozwiązywanie równań zaburzonego modelu Keplera.

• Zagadnienie siły centralnej. Wyprowadzenie całek pierwszych równań ruchu w polu siły centralnej. Związki dynamiki z geometrią. Całka energii, analiza i klasyfikacja jakościowa rozwiązań. Ruch w otoczeniu orbit kołowych i ich stabilność. Problem Keplera jako szczególna postać zagadnienia siły centralnej. Całka Runge-Lenza-Laplace'a, prawa Keplera, klasyfikacja i parametryzacja orbit w problemie dwóch punktów materialnych z siłą Newtona.

• Położenie ciała na krzywej stożkowej. Propagacja rozwiązania na orbicie Keplera za pomocą funkcji Gibbsa (szeregów f i g). Parametryzacja funkcji Gibbsa za pomocą anomalii mimośrodowej i prawdziwej, geometryczne (oskulacyjne) elementy Keplera, algorytm numeryczny propagacji rozwiązania. Równanie Keplera i metody jego rozwiązywania. Metoda Neutscha wyznaczania elementów orbity heliocentrycznej na podstawie trzech obserwacji astrometrycznych, jako wariant metod Gaussa i Laplace'a.

• Model kinematyczny obserwacji układu podwójnego. Wyprowadzenie formuł opisujących pomiary prędkości radialnej, astrometrii oraz chronometrażu zaćmień. Funkcja celu i elementy optymalizacji modelu, przykłady rzeczywistych obserwacji gwiazdowych układów podwójnych i układów planetarnych.

• Ograniczone, kołowe zagadnienie trzech ciał. Równania Lagrange'a, potencjał efektywny i jego analiza. Punkty libracyjne Eulera i Lagrange'a, krzywe zerowej prędkości. Asteroidy i księżyce trojańskie. Problem Hilla (informacyjnie). Model ograniczonego zagadnienia trzech ciał w astrofizyce i astrodynamice.

Literatura podstawowa

• Transparencje oraz materiały pomocnicze są publikowane on-line w witrynie wykładu po autoryzacji z hasłem udostępnianym przez prowadzącego na początku zajęć.
• H. Pollard, Mathematical Introduction to Celestial Mechanics, Prentice-Hall, 1966.
• R. Fitzpatrick, Introduction to Celestial Mechanics.

Literatura uzupełniająca

Materiały do każdego wykładu są dostępne on-line w witrynie wykładu po autoryzacji z hasłem udostępnianym przez prowadzącego na początku zajęć i zawierają także artykuły, skrypty rozwiązań zadań, kody komputerowe.

Metody oceniania:

egzamin pisemny - weryfikuje wiedzę i umiejętności: efekty W1, W2, W3, U1, U2

dwa sprawdziany - weryfikują wiedzę i umiejętności: efekty W1, W2, W3, U1, U2, K1

Kryteria oceniania (progi punktowe i procentowe):

Wykład: egzamin pisemny (4 pytania otwarte)

ndst - 0-9 pkt (50 %)

dst - 10 pkt (51 %)

dst plus - 12 pkt (60 %)

db- 14 pkt ( 70 %)

db plus- 16 pkt (80 %)

bdb - 18 pkt (90%)

Ćwiczenia: zaliczenie na ocenę na podstawie dwóch sprawdzianów

ndst - 0-9 pkt (50 %)

dst - 10 pkt (51 %)

dst plus - 12 pkt (60 %)

db- 14 pkt (70 %)

db plus- 16 pkt (80 %)

bdb - 18 pkt (90%)

Premiowana jest aktywność na ćwiczeniach w trakcie semestru, dzięki

niej można poprawić końcową ocenę o 1 stopień.