Algebra liniowa z geometrią analityczną

(Opis łączny dla I1ALAz i I1ALAl)

1. Układy równań liniowych w "niskich wymiarach" nad R:

geometryczna interpretacja (wierszowa i kolumnowa) równań liniowych, postać wektorowa układu równań liniowych, metody rozwiązywania układów równań - przypomnienie, idea metody eliminacji Gaussa.

2. Macierze nad R:

układ równań liniowych - postać ogólna, macierz układu, definicja macierzy, macierze górnoschodkowe i trójkątne, operacje macierzowe, algorytm sprowadzania macierzy do postaci górnoschodkowej (odp. całkowicie zredukowanej) i jego zastosowanie do rozwiązywania układów równań (metodą eliminacji Gaussa), rząd macierzy, działania na macierzach, zapis macierzowy układu równań, macierze elementarne i interpretacja macierzowa algorytmu, macierz odwrotna i metoda Gaussa-Jordana jej obliczania (algorytm), macierze permutacji i algorytm sprowadzania macierzy do postaci A=LPU, przypadek macierzy symetrycznych.

3. Wyznaczniki:

definicja i podstawowe własności, przykłady obliczania wyznaczników, wyznacznik Vandermonde'a, twierdzenie Cauchy'ego o wyznaczniku iloczynu macierzy, wzory Cramera, rząd jako stopień maksymalnego niezerowego minora, rozwiązywanie układów równań liniowych przy pomocy wyznaczników.

4. Ciała - definicje i podstawowe przykłady, macierze nad ciałem:

grupy macierzowe (macierze: permutacji, odwracalne, odwracalne trójkątne, odwracalne diagonalne), grupy abstrakcyjne, pierścienie i ciała - definicje i przykłady, konstrukcja liczb zespolonych przy pomocy macierzy rzeczywistych, zasadnicze twierdzenie algebry, znajdowanie pierwiastków równań wielomianowych, interpretacja geometryczna i postać trygonometryczna, arytmetyka modulo n i ciała skończone Zp (w szczególności algorytm obliczania elementu odwrotnego), zastosowania, rachunek macierzowy, obliczanie wyznaczników i rozwiązywanie układów równań liniowych dowolnymi ciałami, w szczególności nad Zp i nad ciałem liczb zespolonych C.

5. Przestrzenie liniowe:

definicja przestrzeni liniowej nad ciałem, przykłady, podprzestrzenie liniowe, operacje na podprzestrzeniach, kombinacja liniowa wektorów, podprzestrzeń liniowa rozpięta przez zbiór wektorów, liniowa niezależność, baza i wymiar przestrzeni liniowej (lemat Steinitza), rząd macierzy jako wymiar, algorytmy znajdowania baz wybranych podprzestrzenii.

6. Wybrane zagadnienia z geometrii afinicznej:

przestrzeń afiniczna nad przestrzenią liniową, przestrzenie En, hiperpłaszczyzny w En i różne sposoby ich zadawania za pomocą równań dla n=2,3, interpretacja zbioru rozwiązań układu równań liniowych, zbiory wypukłe.

7. Przekształcenia liniowe:

definicja i przykłady, jądro, obraz i rząd przekształcenia liniowego, macierz przekształcenia liniowego względem ustalonych baz i jej zachowanie przy zmianie baz, przestrzenie homomorfizmów, algorytmy obliczania rzędu oraz znajdowania baz jądra i obrazu danego przekształcenia liniowego, związek pomiędzy rzędem, wymiarami jądra i obrazu przekształcenia liniowego, zastosowania rzędu do analizy układów równań liniowych, twierdzenie Kroneckera-Capellego.

8. Wektory i własności własne endomorfizmu przestrzeni liniowej:

definicje i przykłady, podprzestrzenie niezmiennicze, wielomian charakterystyczny, konsekwencje zasadniczego twierdzenia algebry, macierze i odwzorowania diagonalizowalne oraz ich zastosowania (rekursja liniowa i potęgowanie macierzy), inne zastosowania (macierze prawdopodobieństwa, modele ekonomiczne), twierdzenie Cayleya-Hamiltona i jego zastosowania, informacja o twierdzeniu Jordana.

9. Odwzorowania dwuliniowe:

funkcjonały i odwzorowania dwuliniowe, funkcjonały symetryczne, macierz formy dwuliniowej, bazy ortogonalne (ortonormalne) i ich istnienie (algorytm ich znajdowania w przypadku ogólnym nad R), twierdzenie o bezwładności, formy niezdegenerowane i dodatnio określone, iloczyny skalarne, wektory i bazy ortogonalne w przestrzeniach euklidesowych, algorytm ortogonalizacji Gramma-Schmidta, kryterium Sylvestera, twierdzenie strukturalne dla macierzy dodatnio określonych, iloczyn wektorowy i jego podstawowe własnosci.

10. Przykładowe zastosowanie iloczynu skalarnego i wektorowego w geometrii:

twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie o przekątnych w równoległoboku, obliczanie odległości punktu od prostej, wyznaczenie równania płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty, testy na współliniowość i współpłaszczyznowość punktów, odległość prostych w przestrzeni, pole równoległoboku i objętość równoległościanu.

Zaliczenie ćwiczeń odbywa się na podstawie pisemnych sprawdzianów przeprowadzanych w ciągu całego roku.

Egzamin odbywa się po semestrze letnim i ma formę pisemną. Składa się z pytań teoretycznych i zadań.