Elementy logiki i teorii mnogości

Brak wymagań wstępnych

przedmiot obligatoryjny

30 godz. – wykład

30 godz. - ćwiczenia

50 godz. - praca własna - bieżące przygotowanie do zajęć, studiowanie literatury; konsultacje z prowadzącymi zajęcia

35 godz. praca własna - przygotowanie do egzaminu

5 godz. - zaliczenie ćwiczeń i egzamin

RAZEM: 150 godz.

6 pkt. ECTS

W1: ma podstawową wiedzę w zakresie logiki matematycznej (rachunek zdań; kwantyfikatory) (K_W01)

W2: ma podstawową wiedzę w zakresie teorii zbiorów (K_W01)

W3: ma podstawową wiedzę o własnościach relacji i funkcji (K_W01)

U1: potrafi zastosować wiedzę matematyczną do rozwiązywania prostych zadań z zakresu teorii zbiorów i logiki zdaniowej (K_U01)

U2: potrafi zastosować wiedzę matematyczną do rozwiązywania prostych zadań z zakresu teorii relacji i funkcji (K_U01)

U3: potrafi zastosować Zasadę Indukcji Matematycznej w dowodzeniu prawdziwości podstawowych wzorów (K_U01)

U4: potrafi pozyskiwać informacje z literatury, baz wiedzy, Internetu (K_U02)

K1: Skutecznie przekazuje innym swoje myśli w zrozumiały sposób; właściwie posługuje się terminologią fachową; potrafi nawiązać kontakt w obrębie swojej dziedziny (K_K02)

K2: rozumie potrzebę ciągłego doskonalenia się (K_K03)

- wykład informacyjny (konwencjonalny)

- ćwiczeniowa

Przedmiot systematyzuje wiedzę szkolną i wprowadza w język i metody współczesnej matematyki. Głównym celem jest wykształcenie podstawowych umiejętności posługiwania się abstrakcyjnym językiem matematyki (teorii mnogości) i analizy matematycznego tekstu.

• Rachunek zdań - syntaktyka i semantyka. Tautologie. Metody dowodzenia.
• Język pierwszego rzędu - wprowadzenie. Kwantyfikatory.
• Różne sposoby definiowania zbiorów. Algebra zbiorów. Nieskończona suma i przekrój
• Liczby naturalne. Indukcja i rekurencja. Funkcje obliczalne (informacja). Aksjomatyka Peano.
• Alfabet, słowo, lista. Indukcja strukturalna.
• Produkt kartezjański. Relacje dwuargumentowe, operacje na relacjach.
• Relacje równoważności i zbiory ilorazowe (przykład: konstrukcja liczb całkowitych i wymiernych).
• Relacje częściowego porządku
  • elementy wyróżnione w częściowych porządkach
  • własności porządków (liniowość, gęstość, dobry porządek)
  • lemat Kuratowskiego-Zorna
• Funkcje (definicja, obraz i przeciwobraz, podstawowe operacje na funkcjach, funkcja odwrotna). Klasyfikacja funkcji - epi, mono, iso.
• Teoria mocy (równoliczność zbiorów, zbiory skończone i nieskończone, zbiory przeliczalne i nieprzeliczalne, twierdzenie Cantora, liczby kardynalne).

Literatura podstawowa:

• M. Ben-Ari, Logika matematyczna w informatyce, WNT, Warszawa 2005.
• K. Kuratowski, A. Mostowski, Teoria mnogości PWN, Warszawa 1978
• H. Rasiowa, Wstęp do matematyki współczesnej, PWN, Warszawa (wiele wydań). 
• G.Jarzembski, Elektroniczny skrypt do wykładu dostępny na stronie moodle przedmiotu

Literatura uzupełniająca:

• I.A. Ławrow, Ł.L. Maksimowa, Zadania z teorii mnogości, logiki matematycznej i teorii algorytmów, PWN, Warszawa 2004.
• W. Marek, J. Onyszkiewicz, Elementy logiki i teorii mnogości w zadaniach, PWN, Warszawa (wiele wydań). 

Ćwiczenia: Śródsemestralne pisemne testy i kolokwia - weryfikacja efektów: U1, U2. U3, U4, K1, K2

Wykład: Egzamin pisemny (w wypadku wątpliwości egzaminatora związanej z częścią pisemną lub w przypadku egzaminu poprawkowego dopuszcza się również egzamin ustny) - weryfikacja efektów: W1, W2, W3, K1, K2

Kryteria oceny:

- bardzo dobra – student bardzo dobrze przedstawia i opisuje pojęcia z danego zakresu, ilustruje je przykładami lub kontrprzykładami i przeprowadza złożone rozumowania matematyczne

- dobra – student prawidłowo przestawia i opisuje pojęcia z danego zakresu, pojęcia i twierdzenia ilustruje przykładami lub kontrprzykładami, przeprowadza mało złożone rozumowania matematyczne

- dostateczna – student prawidłowo przedstawia pojęcia z danego zakresu i ilustruje je poznanymi przykładami lub kontrprzykładami, umie przeprowadzić elementarne rozumowania matematyczne przedstawione na wykładzie

- niedostateczna – student nie potrafi w dostatecznym stopniu przedstawić pojęć z danego zakresu, nie potrafi w dostateczny sposób zilustrować pojęć i twierdzeń przykładami lub kontrprzykładami lub nie potrafi przeprowadzić elementarnych rozumowań matematycznych.