Algebra liniowa z geometrią

Znajomość materiału kursu 1000-M1ALGnz (semestr zimowy)

45 godz. - wykład

45 godz. - ćwiczenia:

50 godz. - praca własna - bieżące przygotowanie do zajęć,

30 godz. - praca własna - studiowanie literatury,

30 godz. praca własna - przygotowanie do zaliczenia i egzaminu.

RAZEM: 200 godz.

8 pkt. ECTS

Po ukończeniu łącznie kursów 1000-M1ALGnz i 1000-M1ALGnl student

osiąga następujące efekty (kody odnoszą się do efektów dla studiów 1 stopnia na kierunku matematyka):

1. Rozumie budowę teorii matematycznych (K_W02 ).

2. Zna podstawowe pojęcia algebry liniowej, takie jak: wyznacznik macierzy, przestrzeń liniowa nad ciałem, baza przestrzeni liniowej, przekształcenie liniowe, wartości i wektory własne macierzy i endomorfizmów, uogólniony iloczyn skalarny, przestrzeń euklidesowa,

(zob. K_W05)

Po ukończeniu łącznie kursów 1000-M1ALGnz i 1000-M1ALGnl student:

osiąga następujące efekty (kody odnoszą się do efektów dla studiów 1 stopnia na kierunku matematyka):

1. rozwiązuje układy równań liniowych, potrafi podać geometryczną interpretację zbioru rozwiązań (K_U16),

2. wykonuje działania na macierzach, znajduje macierze odwrotne i oblicza wyznaczniki i rząd macierzy (różnymi metodami) (zob. K_U15),

3. posługuje się pojęciem przestrzeni liniowej, bazy i wymiaru przestrzeni liniowej, przekształcenia liniowego i jego macierzy oraz iloczynu skalarnego (zob. K_U14),

4. znajduje macierze przekształceń liniowych w różnych bazach, oblicza wartości i wektory własne macierzy i endomorfizmów (K_U17),

5. wykonuje działania w ciele liczb zespolonych, znajduje moduł i argument liczby zespolonej, rozwiązuje równania kwadratowe o współczynnikach zespolonych (zob. K_U06),

Po ukończeniu łącznie kursów 1000-M1ALGnz i 1000-M1ALGnl student

jest zdolny do krytycznej oceny swojej wiedzy i dalszego jej doskonalenia z wykorzystaniem różnych źródeł informacji (K_K03)

- wykład informacyjny (konwencjonalny)

- ćwiczeniowa

Celem zajęć jest omówienie mi.in. następujących zagadnień: ciało liczb zespolonych i jego podstawowe własności, teoria macierzy i wyznaczników, teoria przestrzeni liniowych oraz przekształceń liniowych, funkcjonałów dwuliniowych oraz elementy geometrii analitycznej. W ramach ćwiczeń studenci poznają m.in. metody obliczania wyznaczników, rzędów macierzy, wektorów i wartości własnych. Poza tym uczą się rozwiązywania układów równań liniowych.

• Wektory w R^n, działania na wektorach, kombinacje liniowe, liniowa niezależność.,
• Układy równań liniowych, część I. Przegląd znanych metod rozwiązywania układów równań liniowych. Operacje elementarne na równaniach układu równań liniowych. Rozwiązywanie układów równań liniowych metodą Gaussa eliminacji niewiadomych. Układy oznaczone, nieoznaczone i sprzeczne.
• Macierze. Macierze prostokątne, działania na macierzach, dodawanie macierzy, mnożenie macierzy, mnożenie macierzy przez skalar. Własności działań na macierzach. Macierz transponowana, własności operacji transpozycji. Operacje elementarne na wierszach i kolumnach macierzy. Macierze elementarne. Zapis macierzowy układu równań liniowych.
• Wyznaczniki. Permutacje, rozkład permutacji na transpozycje, parzystość. Kombinatoryczna definicja wyznacznika, podstawowe własności. Twierdzenie Cauchy’ego. Dopełnienia algebraiczne i twierdzenie Laplace’a. Metody obliczania wyznaczników. Wyznacznik Vandermonde’a. Macierz odwrotna, odwracanie macierzy metodą transformacji elementarnych.
• Rząd wierszowy i kolumnowy macierzy, metody obliczania rzędu. Minory i ich związek z rzędem macierzy.
• Układy równań liniowych, cz. II. Twierdzenie Cramera. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. Opis zbioru rozwiązań układu równań liniowych (jednorodnego i niejednorodnego).
• Ciała. Grupy, pierścienie, ciała. Przykłady. Ciało liczb zespolonych, płaszczyzna Gaussa. Geometryczna interpretacja działań na liczbach zespolonych. Pierwiastkowanie liczb zespolonych, pierwiastki z 1, rozwiązywanie równań kwadratowych o współczynnikach zespolonych, informacja o zasadniczym twierdzeniu algebry.
• Przestrzenie liniowe. Przestrzeń liniowa nad ciałem, przykłady. Kombinacje liniowe wektorów, liniowa niezależność wektorów raz jeszcze, podprzestrzenie liniowe, zbiory generatorów. Suma prosta przestrzeni liniowych. Baza i wymiar przestrzeni liniowej, twierdzenie Steinitza o wymianie, niezależność liczby wektorów bazowych od wyboru bazy. Wybieranie bazy ze zbioru generatorów, uzupełnianie zbioru liniowo niezależnego do bazy. Twierdzenie o istnieniu bazy. Współrzędne wektora względem bazy, macierz przejścia od jednej bazy do innej.
• Przekształcenia liniowe. Definicja i przykłady. Obraz i jądro przekształcenia liniowego, monomorfizm, epimorfizm, izomorfizm, automorfizm. Związek wymiaru obrazu przekształcenia liniowego f : V → W , z wymiarem przestrzeni V i jądra f . Macierz przekształcenia linowego względem danych baz. Zależność od wyboru baz, zastosowanie macierzy przejścia. Macierze sprzężone.
• Wektory własne i wartości własne macierzy i endomorfizmów przestrzeni liniowych. Wielomian charakterystyczny macierzy kwadratowej i endomorfizmu liniowego. Wektory własne i wartości własne - definicje. Metody poszukiwania wartości własnych i wektorów własnych. Macierze diagonalizowalne. Informacja o twierdzeniu Jordana o postaci kanonicznej endomorfizmu liniowego. Informacja o twierdzeniu Cayleya - Hamiltona.
• Funkcjonały dwuliniowe, uogólnione iloczyny skalarne. Ortogonalność względem danego funkcjonału dwuliniowego symetrycznego. Rzeczywiste funkcjonały dwuliniowe symetryczne. Kryterium Sylvestera. Rzeczywiste funkcjonały dwuliniowe symetryczne dodatnio określone. Macierze ortogonalne i ich własności.
(Opis wspólny dla kursów 1000-M1ALGnz i 1000-M1ALGnl.)

Literatura podstawowa:

1. G. Banaszak i W. Gajda, Elementy algebry liniowej, Część I i II, WNT, Warszawa, 2002.
2. A. Białynicki-Birula, Algebra liniowa z geometrią, PWN, Warszawa, 1976.
3. B. Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2002.

Literatura uzupełniająca:

1. M. Stark, Geometria analityczna, PWN, Warszawa, 1970.
2. A. Białynicki-Birula, Zarys algebry, PWN, Warszawa 1987.
3. I. M. Gelfand, Wykłady z algebry liniowej, PWN, Warszawa, 1971.
4. N.W. Jefimow i E.R. Rozendorn, Algebra liniowa wraz z geometrią wielowymiarową, PWN, Warszawa, 1974.
5. A.I. Kostrykin i J. I. Manin, Algebra liniowa i geometria, PWN, Warszawa 1993.

Zbiory zadań:

1. L. Jeśmanowicz i J. Łoś, Zbiór zadań z algebry, PWN, Warszawa, 1976
2. T. Jurlewicz i Z. Skoczylas , Algebra liniowa : przykłady i zadania , Wrocław 2005
3. J. Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, PWN, Warszawa, 2000.
4. Zbiór zadań z algebry, pod red. A.I. Kostrykina, PWN, Warszawa, 2005.

Zaliczenie ćwiczeń odbywa się po semestrze zimowym i po semestrze letnim na podstawie pisemnych sprawdzianów przeprowadzanych w ciągu całego roku.

Egzamin odbywa się po semestrze letnim.

Egzamin składa się z części pisemnej i ustnej. Część pisemna zawiera pytania teoretyczne i zadania. Część ustna polega na odpowiedzi na pytania dotyczące treści wykładu (również dowodów twierdzeń). Przystąpienie do części ustnej jest dobrowolne.

Ostateczna ocena z egzaminu ustalana jest przez egzaminatora na podstawie wyników części pisemnej i ustnej, jeśli była przeprowadzona.