Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu - Centralny punkt logowaniaNie jesteś zalogowany | zaloguj się
katalog przedmiotów - pomoc

Algebra liniowa z geometrią

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-M1ALGnz Kod Erasmus / ISCED: (brak danych) / (0541) Matematyka
Nazwa przedmiotu: Algebra liniowa z geometrią
Jednostka: Wydział Matematyki i Informatyki
Grupy: Mat+Ekon, I st, stacjonarne, 1 rok, przedmioty obowiązkowe
Mat+Inf, I st., stacjonarne, 1 rok, przedmioty obowiązkowe
Wszystkie przedmioty z WMiI
Punkty ECTS i inne: 4.00
zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: polski
Całkowity nakład pracy studenta:

30 godz. - wykład

30 godz. - ćwiczenia:

30 godz. - praca własna - bieżące przygotowanie do zajęć, studiowanie literatury,

20 godz. praca własna - przygotowanie do zaliczenia.


RAZEM: 110 godz.


4 pkt. ECTS

Efekty uczenia się - wiedza:

Po ukończeniu łącznie kursów 1000-M1ALGnz i 1000-M1ALGnl student

osiąga następujące efekty (kody odnoszą się do efektów dla studiów 1 stopnia na kierunku matematyka):


1. dobrze rozumie rolę i znaczenie dowodu w matematyce, a także pojęcie istotności założeń (K_W02 ).


2. Zna podstawowe pojęcia algebry liniowej, takie jak: wyznacznik macierzy, przestrzeń liniowa nad ciałem, baza przestrzeni liniowej, przekształcenie liniowe, wartości i wektory własne macierzy i endomorfizmów, uogólniony iloczyn skalarny, przestrzeń euklidesowa,

(zob. K_W08)


3. Zna najważniejsze twierdzenia algebry liniowej: tw. Laplace'a i Cauchy'ego o wyznacznikach, Twierdzenia Cramera i Kroneckera-Capellego o układach równań liniowych, twierdzenie Steinitza o wymianie i wnioski z niego, charakteryzację wartości własnych w terminach wielomianu charakterystycznego, twierdzenie o ortogonalizacji Schmidta i kryterium Sylvestera (zob. K_W08).

Efekty uczenia się - umiejętności:

Po ukończeniu łącznie kursów 1000-M1ALGnz i 1000-M1ALGnl student:

osiąga następujące efekty (kody odnoszą się do efektów dla studiów 1 stopnia na kierunku matematyka):


1. rozwiązuje układy równań liniowych, potrafi podać geometryczną interpretację zbioru rozwiązań (K_U18),


2. wykonuje działania na macierzach, znajduje macierze odwrotne i oblicza wyznaczniki i rząd macierzy (różnymi metodami) (zob. K_U17),


3. posługuje się pojęciem przestrzeni liniowej, bazy i wymiaru przestrzeni liniowej, przekształcenia liniowego i jego macierzy oraz iloczynu skalarnego (zob. K_U16),



4. znajduje macierze przekształceń liniowych w różnych bazach, oblicza wartości i wektory własne macierzy i endomorfizmów (K_U19),


5. rozwiązuje proste zagadnienia geometrii płaskiej i przestrzennej metodami geometrii analitycznej z zastosowaniem metod algebry liniowej (K_U20),


6. wykonuje działania w ciele liczb zespolonych, znajduje moduł i argument liczby zespolonej, rozwiązuje równania kwadratowe o współczynnikach zespolonych (zob. K_U02),


7. stosuje algorytm ortogonalizacji Schmidta (zob. K_U16).

Efekty uczenia się - kompetencje społeczne:

Po ukończeniu łącznie kursów 1000-M1ALGnz i 1000-M1ALGnl student:

osiąga następujące efekty:


przekazuje innym swoją wiedzę i przemyślenia w zrozumiały sposób; właściwie rozumie sformułowania pytań i problemów, poprawnie posługuje się terminologią fachową

Metody dydaktyczne podające:

- wykład informacyjny (konwencjonalny)

Metody dydaktyczne poszukujące:

- ćwiczeniowa

Skrócony opis: (tylko po angielsku)

he lessons are devoted to the presentation of the following topics: the field of complex numbers and its elementary properties, theory of matrices and determinants, theory of vector spaces (over a field) and linear and bilinear mappings, elements of analitic geometry.The main goal of the exercises is to learn students

how to compute: determinants of matrices, rank of matrices,

eigenvectors and eigenvalues of matrices. Besides students shoud learn how to solve systems of linear equations and how to find equations of straight lines in R2 and R3 and surfuces in R3.

Pełny opis:

  • Wektory w R^n, działania na wektorach, standardowy iloczyn skalarny, kombinacje liniowe, liniowa niezależność.,
  • Układy równań liniowych, część I. Przegląd znanych metod rozwiązywania układów równań liniowych. Operacje elementarne na równaniach układu równań liniowych. Rozwiązywanie układów równań liniowych metodą Gaussa eliminacji niewiadomych. Układy oznaczone, nieoznaczone i sprzeczne.
  • Macierze. Macierze prostokątne, działania na macierzach, dodawanie macierzy, mnożenie macierzy, mnożenie macierzy przez skalar. Własności działań na macierzach. Macierz transponowana, własności operacji transpozycji. Operacje elementarne na wierszach i kolumnach macierzy. Macierze elementarne. Zapis macierzowy układu równań liniowych.
  • Wyznaczniki. Permutacje, rozkład permutacji na transpozycje, parzystość. Kombinatoryczna definicja wyznacznika, podstawowe własności. Twierdzenie Cauchy’ego. Dopełnienia algebraiczne i twierdzenie Laplace’a. Metody obliczania wyznaczników. Wyznacznik Vandermonde’a. Macierz odwrotna, odwracanie macierzy metodą transformacji elementarnych.
  • Rząd wierszowy i kolumnowy macierzy, metody obliczania rzędu. Minory i ich związek z rzędem macierzy.
  • Układy równań liniowych, cz. 2. Twierdzenie Cramera. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. Opis zbioru rozwiązań układu równań liniowych (jednorodnego i niejednorodnego).
  • Ciała. Grupy, pierścienie, ciała. Przykłady. Ciało liczb zespolonych, płaszczyzna Gaussa. Geometryczna interpretacja działań na liczbach zespolonych. Pierwiastkowanie liczb zespolonych, pierwiastki z 1, rozwiązywanie równań kwadratowych o współczynnikach zespolonych, informacja o zasadniczym twierdzeniu algebry.
  • Przestrzenie liniowe. Przestrzeń liniowa nad ciałem K , przykłady. Kombinacje liniowe wektorów, liniowa niezależność wektorów raz jeszcze, podprzestrzenie liniowe, zbiory generatorów. Suma prosta przestrzeni liniowych. Baza i wymiar przestrzeni liniowej, twierdzenie Steinitza o wymianie, niezależność liczby wektorów bazowych od wyboru bazy. Wybieranie bazy ze zbioru generatorów, uzupełnianie zbioru liniowo niezależnego do bazy. Twierdzenie o istnieniu bazy. Współrzędne wektora względem bazy, macierz przejścia od jednej bazy do innej.
  • Przekształcenia liniowe. Definicja i przykłady. Obraz i jądro przekształcenia liniowego, monomorfizm, epimorfizm, izomorfizm, automorfizm. Związek wymiaru obrazu przekształcenia liniowego f : V → W , z wymiarem przestrzeni V i jądra f . Macierz przekształcenia linowego względem danych baz. Zależność od wyboru baz, zastosowanie macierzy przejścia. Macierze sprzężone.
  • Wektory własne i wartości własne macierzy i endomorfizmów przestrzeni liniowych. Wielomian charakterystyczny macierzy kwadratowej i endomorfizmu liniowego. Wektory własne i wartości własne - definicje. Metody poszukiwania wartości własnych i wektorów własnych. Macierze diagonalizowalne. Informacja o twierdzeniu Jordana o postaci kanonicznej endomorfizmu liniowego. Informacja o twierdzeniu Cayleya - Hamiltona.
  • Funkcjonały dwuliniowe, uogólnione iloczyny skalarne. Ortogonalność względem danego funkcjonału dwuliniowego symetrycznego. Uzupełnienie ortogonalne podprzestrzeni, twierdzenie o istnieniu bazy ortogonalnej. Rzeczywiste funkcjonały dwuliniowe symetryczne. Kryterium Sylvestera. Rzeczywiste funkcjonały dwuliniowe symetryczne dodatnio określone. Algorytm ortogonalizacji Schmidta. Macierze ortogonalne i ich własności.
  • Iloczyn wektorowy w R^3.
  • (Opis wspólny dla kursów 1000-M1ALGnz i 1000-M1ALGnl.)
Literatura:

Literatura podstawowa:

  1. G. Banaszak i W. Gajda, Elementy algebry liniowej, Część I i II, WNT, Warszawa, 2002.
  2. A. Białynicki-Birula, Algebra liniowa z geometrią, PWN, Warszawa, 1976.
  3. B. Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2002.

Literatura uzupełniająca:

  1. M. Stark, Geometria analityczna, PWN, Warszawa, 1970.
  2. A. Białynicki-Birula, Zarys algebry, PWN, Warszawa 1987.
  3. I. M. Gelfand, Wykłady z algebry liniowej, PWN, Warszawa, 1971.
  4. N.W. Jefimow i E.R. Rozendorn, Algebra liniowa wraz z geometrią wielowymiarową, PWN, Warszawa, 1974.
  5. A.I. Kostrykin i J. I. Manin, Algebra liniowa i geometria, PWN, Warszawa 1993.

Zbiory zadań:

  1. L. Jeśmanowicz i J. Łoś, Zbiór zadań z algebry, PWN, Warszawa, 1976
  2. T. Jurlewicz i Z. Skoczylas , Algebra liniowa : przykłady i zadania , Wrocław 2005
  3. J. Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, PWN, Warszawa, 2000.
  4. Zbiór zadań z algebry, pod red. A.I. Kostrykina, PWN, Warszawa, 2005.
Metody i kryteria oceniania:

Zaliczenie ćwiczeń odbywa się na podstawie pisemnych sprawdzianów przeprowadzanych w ciągu całego roku.

Egzamin odbywa się po semestrze letnim.

Egzamin składa się z części pisemnej i ustnej. Część pisemna zawiera pytania teoretyczne i zadania. Część ustna polega na odpowiedzi na pytania dotyczące treści wykładu (również dowodów twierdzeń).

Ostateczna ocena z egzaminu ustalana jest przez egzaminatora na podstawie wyników części pisemnej i ustnej.

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2017/18" (zakończony)

Okres: 2017-10-01 - 2018-02-25
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 30 godzin, 30 miejsc więcej informacji
Wykład, 30 godzin, 50 miejsc więcej informacji
Koordynatorzy: Stanisław Kasjan
Prowadzący grup: Grzegorz Bobiński, Stanisław Kasjan, Joanna Kułaga-Przymus, Kamil Palusiński
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Zaliczenie
Ćwiczenia - Zaliczenie na ocenę

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2018/19" (zakończony)

Okres: 2018-10-01 - 2019-02-24
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 30 godzin, 30 miejsc więcej informacji
Wykład, 30 godzin, 50 miejsc więcej informacji
Koordynatorzy: Stanisław Kasjan
Prowadzący grup: Grzegorz Bobiński, Stanisław Kasjan, Agnieszka Krause, Janusz Zieliński
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Zaliczenie
Ćwiczenia - Zaliczenie na ocenę

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2019/20" (zakończony)

Okres: 2019-10-01 - 2020-02-28
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 30 godzin, 30 miejsc więcej informacji
Wykład, 30 godzin, 60 miejsc więcej informacji
Koordynatorzy: Stanisław Kasjan
Prowadzący grup: Grzegorz Bobiński, Stanisław Kasjan, Agnieszka Krause, Janusz Zieliński
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Zaliczenie na ocenę
Ćwiczenia - Zaliczenie na ocenę

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2020/21" (zakończony)

Okres: 2020-10-01 - 2021-02-21
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 30 godzin, 30 miejsc więcej informacji
Wykład, 30 godzin, 60 miejsc więcej informacji
Koordynatorzy: Stanisław Kasjan
Prowadzący grup: Stanisław Kasjan, Agnieszka Krause, Janusz Zieliński
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Zaliczenie na ocenę
Ćwiczenia - Zaliczenie na ocenę
Uwagi:

Zajęcia (wykład i ćwiczenia) prowadzone są zdalnie on-line na wydziałowej platformie Moodle przy użyciu Big Blue Button.

Kurs AlgLin-2020/21

https://plas.mat.umk.pl/moodle/course/view.php?id=1859

Klucz dostępu: 20Alg21

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2021/22" (jeszcze nie rozpoczęty)

Okres: 2021-10-01 - 2022-02-20
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 30 godzin, 30 miejsc więcej informacji
Wykład, 30 godzin, 60 miejsc więcej informacji
Koordynatorzy: Stanisław Kasjan
Prowadzący grup: Alicja Jaworska-Pastuszak, Stanisław Kasjan, Agnieszka Krause
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Zaliczenie na ocenę
Ćwiczenia - Zaliczenie na ocenę
Uwagi:

Zajęcia (wykład i ćwiczenia) prowadzone są zdalnie on-line na wydziałowej platformie Moodle przy użyciu Big Blue Button.

Kurs AlgLin-2020/21

https://plas.mat.umk.pl/moodle/course/view.php?id=1859

Klucz dostępu: 20Alg21

Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu.