Algebra liniowa z geometrią

przedmiot obowiązkowy

30 godz. - wykład

30 godz. - ćwiczenia:

30 godz. - praca własna - bieżące przygotowanie do zajęć, studiowanie literatury,

20 godz. praca własna - przygotowanie do zaliczenia.

RAZEM: 110 godz.

4 pkt. ECTS

Po ukończeniu łącznie kursów 1000-M1ALGz i 1000-M1ALGl student

osiąga następujące efekty (kody odnoszą się do efektów dla studiów 1 stopnia na kierunku matematyka):

1. dobrze rozumie rolę i znaczenie dowodu w matematyce, a także pojęcie istotności założeń (K_W03).

2. Zna podstawowe pojęcia algebry liniowej, takie jak: wyznacznik macierzy, przestrzeń liniowa nad ciałem, baza przestrzeni liniowej, przekształcenie liniowe, wartości i wektory własne macierzy i endomorfizmów, uogólniony iloczyn skalarny, przestrzeń euklidesowa,

(K_W05)

3. Zna najważniejsze twierdzenia algebry liniowej: tw. Laplace'a i Cauchy'ego o wyznacznikach, Twierdzenia Cramera i Kroneckera-Capellego o układach równań liniowych, twierdzenie Steinitza o wymianie i wnioski z niego, charakteryzację wartości własnych w terminach wielomianu charakterystycznego, twierdzenie o ortogonalizacji Schmidta i kryterium Sylvestera (K_W05).

Po ukończeniu łącznie kursów 1000-M1ALGz i 1000-M1ALGl student:

osiąga następujące efekty (kody odnoszą się do efektów dla studiów 1 stopnia na kierunku matematyka):

1. rozwiązuje układy równań liniowych, potrafi podać geometryczną interpretację zbioru rozwiązań (K_U16),

2. wykonuje działania na macierzach, znajduje macierze odwrotne i oblicza wyznaczniki i rząd macierzy (różnymi metodami) (zob. K_U15),

3. posługuje się pojęciem przestrzeni liniowej, bazy i wymiaru przestrzeni liniowej, przekształcenia liniowego i jego macierzy oraz iloczynu skalarnego (zob. K_U14),

4. znajduje macierze przekształceń liniowych w różnych bazach, oblicza wartości i wektory własne macierzy i endomorfizmów (K_U17),

5. wykonuje działania w ciele liczb zespolonych, znajduje moduł i argument liczby zespolonej, rozwiązuje równania kwadratowe o współczynnikach zespolonych (K_U06),

6. stosuje algorytm ortogonalizacji Schmidta (K_U14).

Po ukończeniu łącznie kursów 1000-M1ALGz i 1000-M1ALGl student:

osiąga następujące efekty:

przekazuje innym swoją wiedzę i przemyślenia w zrozumiały sposób; właściwie rozumie sformułowania pytań i problemów, poprawnie posługuje się terminologią fachową

- wykład informacyjny (konwencjonalny)

- ćwiczeniowa
- klasyczna metoda problemowa

(Opis wspólny dla kursów 1000-M1ALGz i 1000-M1ALGl.)

Przedmiot obowiązkowy dla pierwszego roku studiów pierwszego stopnia na kierunku matematyka, specjalność ogólna. Wykład poświęcony jest podstawom algebry liniowej. Najważniejsze pojęcia i zagadnienia: układy równań liniowych, macierze i wyznaczniki, przestrzenie liniowe i odwzorowania liniowe, wektory i wartości własne, funkcjonały dwuliniowe i iloczyny skalarne, elementy geometrii analitycznej.

• Wektory w R^n, kombinacje liniowe, liniowa niezależność.,
• Układy równań liniowych, część I. Przegląd znanych metod rozwiązywania układów równań liniowych. Operacje elementarne na równaniach układu równań liniowych. Rozwiązywanie układów równań liniowych metodą Gaussa eliminacji niewiadomych. Układy nieosobliwe (oznaczone) i osobliwe (nieoznaczone i sprzeczne).
• Macierze. Macierze prostokątne, działania na macierzach, dodawanie macierzy, mnożenie macierzy, mnożenie macierzy przez skalar. Własności działań na macierzach. Macierz transponowana, własności operacji transpozycji. Transformacje (operacje) elementarne na wierszach i kolumnach macierzy. Macierze elementarne. Zapis macierzowy układu równań liniowych.
• Wyznaczniki. Permutacje, rozkład permutacji na transpozycje, parzystość. Kombinatoryczna definicja wyznacznika, podstawowe własności. Twierdzenie Cauchy’ego. Dopełnienia algebraiczne i twierdzenie Laplace’a. Metody obliczania wyznaczników. Wyznacznik Vandermonde’a. Macierz odwrotna, odwracanie macierzy metodą transformacji elementarnych. Twierdzenie Cramera.
• Ciała. Grupy, pierścienie, ciała. Przykłady. Ciało liczb zespolonych, płaszczyzna Gaussa. Geometryczna interpretacja działań na liczbach zespolonych. Pierwiastkowanie liczb zespolonych, pierwiastki z 1, rozwiązywanie równań kwadratowych o współczynnikach zespolonych, informacja o zasadniczym twierdzeniu algebry.
• Przestrzenie liniowe (wektorowe). Przestrzeń liniowa nad ciałem K , przykłady. Kombinacje liniowe wektorów, liniowa niezależność wektorów raz jeszcze, podprzestrzenie liniowe, zbiory generatorów. Suma prosta przestrzeni liniowych. Baza i wymiar przestrzeni liniowej, twierdzenie Steinitza o wymianie, niezależność liczby wektorów bazowych od wyboru bazy. Wybieranie bazy ze zbioru generatorów, uzupełnianie zbioru liniowo niezależnego do bazy. Twierdzenie o istnieniu bazy. Współrzędne wektora względem bazy, macierz przejścia od jednej bazy do innej.
• Przekształcenia liniowe. Definicja i przykłady. Obraz i jądro przekształcenia liniowego, monomorfizm, epimorfizm, izomorfizm, automorfizm. Związek wymiaru obrazu przekształcenia liniowego f : V → W , z wymiarem przestrzeni V i jądra f . Macierz przekształcenia linowego względem danych baz. Zależność od wyboru baz, zastosowanie macierzy przejścia. Macierze sprzężone.
• Układy równań liniowych, cz. 2. Rząd wierszowy i kolumnowy macierzy, metody obliczania rzędu. Minory i ich związek z rzędem macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. Opis zbioru rozwiązań układu równań liniowych (jednorodnego i niejednorodnego).
• Wektory własne i wartości własne macierzy i endomorfizmów przestrzeni liniowych. Wielomian charakterystyczny macierzy kwadratowej i endomorfizmu liniowego. Wektory własne i wartości własne - definicje. Metody poszukiwania wartości własnych i wektorów własnych. Macierze diagonalizowalne. Informacja o twierdzeniu Jordana o postaci kanonicznej endomorfizmu liniowego. Informacja o twierdzeniu Cayleya - Hamiltona.
• Funkcjonały dwuliniowe. Funkcjonały K -dwuliniowe oraz funkcjonały K -dwuliniowe symetryczne na przestrzeni linowej nad ciałem K , przykłady. Macierz Gramma funkcjonału dwuliniowego względem danej bazy przestrzeni liniowej. Zależność od wyboru bazy. Ortogonalność względem danego funkcjonału dwuliniowego symetrycznego. Uzupełnienie ortogonalne podprzestrzeni, twierdzenie o istnieniu bazy ortogonalnej. Rzeczywiste funkcjonały dwuliniowe symetryczne. Twierdzenie o bezwładności. Kryterium Sylvestera. Rzeczywiste funkcjonały dwuliniowe symetryczne dodatnio określone. Algorytm ortogonalizacji Schmidta. Macierze ortogonalne i ich własności, kryterium ortogonalności macierzy.
(Opis wspólny dla kursów 1000-M1ALGz i 1000-M1ALGl.)
• Elementy geometrii analitycznej Rn. Równania prostych na płaszczyźnie R2: ogólne, kierunkowe, wyznacznikowe, parametryczne. Równania prostych i płaszczyzn w przestrzeni R3. Proste, płaszczyzny i hiperpłaszczyzny w Rn, ich różne opisy. Punkty przecięcia, równoległość prostych i płaszczyzn. Standardowy iloczyn skalarny i norma w R2 i R3. Zastosowania: prostopadłość, odległość punktu od prostej (od płaszczyzny, odległość dwóch prostych w przestrzeni itp.) kąt między prostymi, kąt między płaszczyznami. Izometrie przestrzeni euklidesowych i ich związek z macierzami ortogonalnymi. Izometrie płaszczyzny R2. (h) Iloczyn wektorowy w R3.
• Przestrzeń ilorazowa V /U , definiowanie odwzorowań na przestrzeni ilorazowej.
• Przestrzeń sprzężona (dualna) V ∗ do danej przestrzeni liniowej V , baza dualna, przekształcenie sprzężone i jego macierz. Kanoniczne odwzorowanie ω : V → V ∗∗.

Literatura podstawowa:

1. G. Banaszak i W. Gajda, Elementy algebry liniowej, Część I i II, WNT, Warszawa, 2002.
2. A. Białynicki-Birula, Algebra liniowa z geometrią, PWN, Warszawa, 1976.

Literatura uzupełniajaca:

1. B. Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2002.
2. A. Mostowski i M. Stark, Elementy algebry wyższej, PWN, Warszawa 1968.
3. M. Stark, Geometria analityczna, PWN, Warszawa, 1970.
4. A. Białynicki-Birula, Zarys algebry, PWN, Warszawa 1987.
5. I. M. Gelfand, Wykłady z algebry liniowej, PWN, Warszawa, 1971.
6. N.W. Jefimow i E.R. Rozendorn, Algebra liniowa wraz z geometrią wielowymiarową, PWN, Warszawa, 1974.
7. A.I. Kostrykin, Wstęp do algebry, Cz. 3, PWN, Warszawa 2005.
8. A.I. Kostrykin i J. I. Manin, Algebra liniowa i geometria, PWN, Warszawa 1993.
9. B. Kowalczyk, Macierze i ich zastosowania, WNT, Warszawa, 1976.
10. S. Lang, Algebra, PWN, Warszawa 1983.
11. A. Mostowski i M. Stark, Algebra liniowa, PWN, Warszawa, 1966.
12. A. Mostowski i M. Stark, Algebra wyższa, Tomy I, II i III, PWN, Warszawa 1954.
13. Z. Opial, Algebra wyższa, PWN, Warszawa, 1969.
14. K. Szymiczek, Wykłady z algebry dwuliniowej, Uniwersytet Śląski, Katowice, 1991.

Zbiory zadań:

1. L. Jeśmanowicz i J. Łoś, Zbiór zadań z algebry, PWN, Warszawa, 1976
2. D. K. Faddiejev i I. S. Sominskij, Sbornik zadacz po vyzszej algebrje, Moskwa, 1949
3. H. D. Ikramov, Zadacznik po liniejnoj algebrje, Moskwa, 1975.
4. I. V. Proskurijakov, Sbornik zadacz po liniejnoj algebrje, Moskwa, 1986.
5. S. Przybyło i A. Szlachtowski, Algebra i wielowymiarowa geometria analityczna w zadaniach, WNT, Warszawa, 1998.
6. J. Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, PWN, Warszawa, 2000.
7. K. Szymiczek, Zbiór zadań z teorii grup, PWN, Warszawa, 1989.
8. Zbiór zadań z algebry, pod red. A.I. Kostrykina, PWN, Warszawa, 2005.

Zaliczenie ćwiczeń odbywa się na podstawie pisemnych sprawdzianów przeprowadzanych w ciągu całego roku.

Egzamin odbywa się po semestrze letnim.

Egzamin składa się z części pisemnej i ustnej. Część pisemna zawiera pytania teoretyczne i zadania. Część ustna polega na odpowiedzi na pytania dotyczące treści wykładu (również dowodów twierdzeń).

Ostateczna ocena z egzaminu ustalana jest przez egzaminatora na podstawie wyników części pisemnej i ustnej.