Mathematical analysis II

Wykład z analizy matematycznej dla studentów studiów I stopnia na kierunku matematyka, specjalność matematyka ogólna oraz matematyka w ekonomii i finansach. Celem w pierwszym roku jest przedstawienie podstawowych informacji na temat zbioru liczb rzeczywistych oraz rachunku różniczkowego i całkowego funkcji rzeczywistych jednej zmiennej rzeczywistej, ze szczególnym uwzględnieniem zbieżności ciągów, szeregów liczbowych oraz pojęcia granicy i pochodnej funkcji. W drugim roku celem jest przedstawienie wiadomości dotyczących ciągów i szeregów funkcyjnych oraz rachunku różniczkowego i całkowego funkcji wielu zmiennych. Na wykładzie przedstawiona jest całka Lebesgue'a oraz elementy teorii przestrzeni metrycznych. Ćwiczenia mają charakter rachunkowy. Ich zadaniem jest pomoc w zrozumieniu wykładu i nabycie elementarnych zdolności rachunkowych.

(Wspólny opis dla kursów: 1000-M1AM1z, 1000-M1AM1l, 1000-M1AM2z, 1000-M1AM2l)

1. Pojęcia wstępne:

* Podstawowe oznaczenia logiki matematycznej i elementarnej teorii zbiorów;

* Pojęcie funkcji, funkcje różnowartościowe, ,,na'' i odwracalne, operacje algebraiczne na funkcjach rzeczywistych, miejsca zerowe, parzystość, okresowość.

2. Liczby rzeczywiste:

* Uwagi historyczne i podejście ,,naturalne'';

* Definicja aksjomatyczna i uwagi o konstrukcji Dedekinda i Cantora;

* Konsekwencje aksjomatów algebraicznych i porządkowych, wartość bezwzględna;

* Konsekwencje aksjomatu ciągłości, kresy zbioru, zasada Archimedesa; równoliczność, przeliczalność i nieprzeliczalność zbiorów;

* Podzbiory liczb naturalnych, całkowitych i wymiernych; zasada indukcji matematycznej;

* Podstawowe nierówności;

* Rozszerzony system liczb rzeczywistych.

3. Funkcje elementarne:

* Ogólne własności funkcji rzeczywistych (monotoniczność, okresowość, parzystość, ograniczoność);

* Wielomiany i funkcje wymierne;

* Funkcje trygonometryczne i cyklometryczne;

* Konstrukcja potęgi o wykładniku rzeczywistym, funkcja wykładnicza i logarytmiczna.

4. Ciągi liczbowe:

* Podciągi, prawie wszystkie i nieskończenie wiele wyrazów ciągu;

* Ciągi ograniczone, granica ciągu, zbieżność, własności ciągów zbieżnych, granice niewłaściwe, twierdzenie Stolza;

* Ciągi monotoniczne, liczba e;

* Ciągi Cauchy'ego, zasada zupełności Cauchy'ego, twierdzenie Bolzano-Weierstrassa;

* Punkty skupienia, granice dolna i górna ciągu.

5. Granica i ciągłość funkcji:

* Punkty skupienia zbioru;

* Definicje Heinego i Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie, warunki konieczne i dostateczne istnienia granicy;

* Własności granic;

* Granice niewłaściwe i granice w nieskończoności;

* Ciągłość i jednostajna ciągłość funkcji, własności funkcji ciągłych określonych na przedziałach, warunek Lipschitza, punkty nieciągłości;

* Twierdzenia o własności Darboux, Weierstrassa i Cantora;

* Ciągłość funkcji elementarnych;

* Granica górna i granica dolna funkcji, półciągłość funkcji.

6. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej:

* Pojęcie pochodnej, warunki równoważne i interpretacja graficzna i mechaniczna;

* Własności funkcji różniczkowalnych;

* Własności pochodnej: suma, iloczyn, iloraz, złożenie, funkcja odwrotna;

* Pochodne funkcji elementarnych;

* Różniczka funkcji i jej związek z pochodną;

* Twierdzenia o wartości średniej: Rolle'a, Lagrange'a, Cauchy'ego; twierdzenia Fermata i Darboux;

* Reguła de L'Hospitala;

* Pochodne wyższych rzędów, twierdzenie Taylora i jego zastosowania;

* Ekstrema funkcji;

* monotoniczność, wypukłość i asymptoty; badanie przebiegu zmienności funkcji;

* Elementy teorii interpolacji i przybliżone rozwiązywanie równań.

7. Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej:

* Całka Riemanna, kryteria całkowalności; sumy Riemanna;

* Klasy funkcji całkowalnych;

* Własności całki, twierdzenia o wartości średniej;

* Funkcja górnej granicy całkowania, funkcja pierwotna, twierdzenie Leibniza-Newtona (podstawowe twierdzenie rachunku całkowego);

* Całkowanie przez podstawienie i przez części, całkowanie funkcji wymiernych, podstawienia Eulera;

* Wzmianka o metodach przybliżonych w rachunku całkowym;

* Postać całkowa reszty we wzorze Taylora;

* Zastosowania geometryczne i fizyczne całki oznaczonej;

* Całki niewłaściwe I i II rodzaju, kryteria zbieżności;

8. Szeregi liczbowe:

* Zbieżność szeregu, warunek konieczny zbieżności;

* Własności szeregów liczbowych;

* Kryteria zbieżności dla szeregów o wyrazach nieujemnych i dowolnych;

* Zbieżność bezwzględna i warunkowa;

* Iloczyn Cauchy'ego szeregów, twierdzenie Cauchy'ego, Mertensa i Abela;

9. Ciągi i szeregi funkcyjne, szeregi potęgowe:

* Zbieżność punktowa i jednostajna ciągów i szeregów funkcyjnych, kryteria zbieżności jednostajnej;

* Własności granic ciągów zbieżnych jednostajnie;

* Różniczkowanie i całkowanie ciągów i szeregów funkcyjnych;

* Szeregi potęgowe, promień i obszar zbieżności szeregu potęgowego, twierdzenie Hadamarda;

* Rozwijanie funkcji w szereg Taylora;

* Funkcje trygonometryczne i wykładnicze;

* Iloczyny nieskończone i ich zbieżność;

* Elementy teorii szeregów podwójnych i Fouriera;

10. Przestrzenie metryczne:

* Przykłady przestrzeni metrycznych i własności metryki, przestrzeń R^n jako przestrzeń metryczna, elementarne przestrzenie funkcyjne;

* Zbiory otwarte i domknięte, wnętrze i domknięcie zbioru;

* Ciągi zbieżne w przestrzeniach metrycznych;

* Zbiory otwarte i domknięte, charakteryzacja ciągowa zbiorów domkniętych i domknięcia zbioru;

* Ciągłość i jednostajna ciągłość odwzorowań przestrzeni metrycznych;

* Przestrzenie zupełne, zasada Banacha;

* Zbiory zwarte i spójne, charakteryzacja ciągowa i pokryciowa;

* Przestrzenie unormowane i Banacha;

11. Granice i ciągłość funkcji wielu zmiennych, granice wielokrotne iterowane.

12. Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych i wektorowych wielu zmiennych:

* Pochodna kierunkowa, cząstkowa i ich własności;

* Pojęcie pochodnej, macierz Jacobiego, gradient funkcji rzeczywistej i ich interpretacja geometryczna;

* Własności pochodnej: suma, iloczyn, złożenie, reguła łańcucha;

* Warunki konieczne i dostateczne różniczkowalności;

* Twierdzenia o wartości średniej i o przyrostach;

* Pochodne wyższych rzędów, twierdzenie Schwarza;

* Macierz Hessa i hessian;

* Twierdzenie Taylora, różne postacie reszty;

* Ekstrema lokalne;

* Twierdzenie o funkcji uwikłanej i o lokalnym odwracaniu; odwzorowań

* Odwzorowania regularne, dyfeomorfizmy;

* Hiperpowierzchnie, przestrzeń styczna;

* Ekstrema związane, twierdzenie o mnożnikach Lagrange'a.

13. Całka funkcji wielu zmiennych:

* Informacja o mierze Jordana;

* Przestrzenie mierzalne, konstrukcje i przykłady, zbiory borelowskie;

* Funkcje i odwzorowania mierzalne, funkcje proste;

* Pojecie miary i jej własności;

* Całka funkcji mierzalnej, twierdzenia o przechodzeniu do granicy pod znakiem całki (twiedzenia Beppo-Leviego, Lebesgue'a i lemat Fatou);

* Miara zewnętrzna i konstrukcja miary;

* Miara Lebesgue'a, zbiory miary zero;

* Całka Lebesgue'a i jej związek z całką Riemanna;

* Zasada Cavaleriego, twierdzenia Tonellego i Fubiniego;

* Zamiana zmiennych w całce; współrzędne biegunowe, sferyczne i walcowe;

* Zastosowania całki podwójnej i potrójnej;

14. Podstawowe wiadomości o całkach krzywoliniowych i powierzchniowych.

1. W. Kryszewski, Wykłady z analizy matematycznej; funkcje jednej zmiennej. Wydawnictwo UMK, Toruń 2009

2. K. Kuratowski, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa (wiele wydań).

3. F. Leja, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa (wiele wydań).

4. L. Górniewicz, R. S. Ingarden, Analiza matematyczna dla fizyków, tom I, II, Wydawnictwo UMK, Toruń 1995.

5. G. M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. I–III, PWN, Warszawa (wiele wydań).

6. W. Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 1979.

Literatura uzupełniająca (w tym zbiory zadań)

1. A. Birkholc, Analiza matematyczna dla nauczycieli, PWN, Warszawa 1980.

2. W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa 1996.

3. H. Rasiowa, Wstęp do matematyki, PWN, Warszawa (wiele wydań).

4. R. Rudnicki, Wykłady z analizy matematycznej, PWN, Warszawa (wiele wydań).

5. W. Krysicki i L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, t. I i II, PWN, Warszawa (wiele wydań).

6. J. Banaś i S. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, WNT, Warszawa (wiele wydań).

7. W. Kaczor, Zadania z analizy matematycznej, cz. 1 i 2, PWN, Warszawa 2005.

8. M. Gewert i Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1 oraz Analiza matematyczna 2, Definicje, twierdzenia, wzory oraz Przykłady i zadania, Matematyka dla Studentów Politechnik, Oficyna Wydawnicza GiS, wydania z ostatnich lat.

Egzamin pisemny i ustny.

Egzamin weryfikuje osiągnięcie następujących efektów uczenia się:

W1, W3, U6, K1, K2 (w zakresie materiału semestru IV).

Kryteria oceny:

- bardzo dobra – student bardzo dobrze przedstawia i omawia pojęcia z danego zakresu, ilustruje je przykładami lub kontrprzykładami i przeprowadza złożone rozumowania matematyczne

- dobra – student prawidłowo przestawia i omawia pojęcia z danego zakresu, przy ewentualnych wskazówkach egzaminatora, prawidłowo poprawia ewentualne błędy w swojej wypowiedzi, pojęcia i twierdzenia ilustruje przykładami lub kontrprzykładami, przeprowadza mało złożone rozumowania matematyczne

- dostateczna – student prawidłowo przedstawia pojęcia z danego zakresu, przy ewentualnych wskazówkach egzaminatora, i ilustruje je poznanymi przykładami lub kontrprzykładami, umie przeprowadzić elementarne, nie złożone rozumowania matematyczne przedstawione na wykładzie

- niedostateczna – student nie potrafi w dostatecznym stopniu przedstawić pojęć z danego zakresu, nie potrafi poprawić błędów w swojej wypowiedzi pomimo wskazania ich przez egzaminatora, nie potrafi w dostateczny sposób zilustrować pojęć i twierdzeń przykładami lub kontrprzykładami lub nie potrafi przeprowadzić elementarnych rozumowań matematycznych.

Ćwiczenia kończą się zaliczeniem na ocenę. Ocenę wystawia się na postawie dwóch śródsemestralnych kolokwiów. W uzgodnieniu z koordynatorem w skład oceny mogą wchodzić również wyniki krótkich sprawdzianów i aktywności studentów.

Kolokwia i sprawdziany weryfikują osiągnięcie następujących efektów uczenia się:

U1 - U4, U7, K1, K2 (w zakresie materiału semestru IV).

Egzamin obejmuje także materiał semestru III (1000-M1AM2z).