Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu - Centralny punkt logowaniaNie jesteś zalogowany | zaloguj się
katalog przedmiotów - pomoc

Analiza matematyczna II

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-M1AM2l Kod Erasmus / ISCED: (brak danych) / (0541) Matematyka
Nazwa przedmiotu: Analiza matematyczna II
Jednostka: Wydział Matematyki i Informatyki
Grupy: Mat, spec. MEF, I st, stacjonarne, 2 rok, przedmioty obowiązkowe
Mat. ogólna, I st., stacjonarne, 2 rok, przedmioty obowiązkowe
Wszystkie przedmioty z WMiI
Punkty ECTS i inne: 8.00
zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: polski
Wymagania wstępne:

Wiedza i umiejętności z analizy matematycznej, algebry liniowej i wstępu do matematyki w zakresie I-go roku studiów na kierunku matematyka ogólna oraz z analizy matematycznej semestru zimowego II roku studiów

Rodzaj przedmiotu:

przedmiot obowiązkowy

Całkowity nakład pracy studenta:

45 godz. -- wykład;

45 godz. -- ćwiczeń;

4 godz. -- egzamin

75 godz. -- praca własna -- bieżące przygotowanie do zajęć, studiowanie literatury;

35 godz. -- praca własna -- przygotowanie do egzaminu.

Efekty uczenia się - wiedza:

(Wspólne dla kursów: 1000-M1AM1z, 1000-M1AM1l, 1000-M1AM2z, 1000-M1AM2l)


Po ukończeniu łącznie kursów 1000-M1AM1z, 1000-M1AM1l, 1000-M1AM2z, 1000-M1AM2 student:


W1: definiuje podstawowe pojęcia analizy matematycznej, w tym m.in. takie pojęcia graniczne jak kresy zbiorów, granice ciągów i funkcji, pochodne funkcji i odwzorowań przestrzeni euklidesowych oraz całki Riemanna i Lebesgue'a (K_W04) (kody odnoszą się do efektów dla studiów 1 stopnia na kierunku

matematyka).


W2: klasyfikuje funkcje elementarne oraz przedstawia ich definicje i podstawowe własności (K_W04);


W3: wylicza i formułuje podstawowe twierdzenia analizy matematycznej, ilustruje je przykładami i przestawia ich uzasadnienia K_W02, K_W04);

Efekty uczenia się - umiejętności:

(Wspólne dla kursów: 1000-M1AM1z, 1000-M1AM1l, 1000-M1AM2z, 1000-M1AM2l)


Po ukończeniu łącznie kursów 1000-M1AM1z, 1000-M1AM1l, 1000-M1AM2z, 1000-M1AM2l student:


U1: analizuje takie własności jak zbieżność ciągu, szeregu (liczbowego i funkcyjnego) i funkcji, monotoniczność i wypukłość/wklęsłość funkcji, różniczkowalność funkcji i odwzorowań, całkowalność funkcji, dostosowując poznane kryteria i metody (K_U07, K_U08, K_U10, K_U11, K_U12) (kody odnoszą się do efektów dla studiów 1 stopnia na kierunku

matematyka);


U2: wyznacza kresy zbiorów, granice ciągów i funkcji, sumy szeregów, pochodne funkcji i odwzorowań, całki nieoznaczone i oznaczone, w tym całki krzywoliniowe, oraz rozwiązania podstawowych równań różniczkowych zwyczajnych (K_U07, K_U08, K_U10, K_U11, K_U12, K_U19);


U3: wyznacza ekstrema i ekstrema związane funkcji, asymptoty funkcji, styczne do wykresów funkcji różniczkowalnych, rozwinięcia funkcji w szereg potęgowy lub trygonometryczny, przeprowadza analizę przebiegu zmienności funkcji elementarnych i rysuje ich wykresy (K_U10);


U4: stosuje przedstawione pojęcia i twierdzenia rachunku różniczkowego i całkowego do znajdowania najmniejszych i największych wartości funkcji, pól figur i objętości brył, długości krzywych oraz przybliżonych wartości pierwiastków równań (K_U10, K_U11, K_U12);


U5: stosuje podstawowe pojęcia topologii metrycznej przestrzeni euklidesowych do opisu własności odwzorować podzbiorów tych przestrzeni (K_U08);


U6: potrafi w sposób zrozumiały, w mowie i na piśmie,

przedstawiać poprawne rozumowania matematyczne,

formułować twierdzenia i definicje z obszaru analizy matematycznej (K_U23);


U7: poprawnie stosuje rachunek zdań i kwantyfikatorów oraz elementy teorii mnogości do wyrażenia pojęć i faktów analizy matematycznej (K_U01, K_U02, K_U04).

Efekty uczenia się - kompetencje społeczne:

(Wspólne dla kursów: 1000-M1AM1z, 1000-M1AM1l, 1000-M1AM2z, 1000-M1AM2l)


Po ukończeniu łącznie kursów 1000-M1AM1z, 1000-M1AM1l, 1000-M1AM2z, 1000-M1AM2l student:


K1: przekazuje innym swoją wiedzę i przemyślenia z zachowaniem uczciwości intelektualnej (K_K01)


K2: ma świadomość ograniczoności swojej wiedzy, zdolność krytycznego spojrzenia na rozważane zagadnienie i umiejętność szukania rozwiązań w oparciu o zasady logiki i różne źródła informacji (K_K02, K_K03, K_K04).

Metody dydaktyczne:

Wykład informacyjny. Wprowadzane pojęcia i fakty ilustrowane przykładami.


Ćwiczenia z bezpośrednim udziałem nauczyciela akademickiego wzbogacone o zestawy zadań do indywidualnego rozwiązania.

Metody dydaktyczne eksponujące:

- pokaz

Metody dydaktyczne podające:

- wykład informacyjny (konwencjonalny)
- wykład problemowy

Metody dydaktyczne poszukujące:

- ćwiczeniowa
- klasyczna metoda problemowa

Skrócony opis:

Wykład z analizy matematycznej dla studentów studiów I stopnia na kierunku matematyka, specjalność matematyka ogólna oraz matematyka w ekonomii i finansach. Celem w pierwszym roku jest przedstawienie podstawowych informacji na temat zbioru liczb rzeczywistych oraz rachunku różniczkowego i całkowego funkcji rzeczywistych jednej zmiennej rzeczywistej, ze szczególnym uwzględnieniem zbieżności ciągów, szeregów liczbowych oraz pojęcia granicy i pochodnej funkcji. W drugim roku celem jest przedstawienie wiadomości dotyczących ciągów i szeregów funkcyjnych oraz rachunku różniczkowego i całkowego funkcji wielu zmiennych. Na wykładzie przedstawiona jest całka Lebesgue'a oraz elementy teorii przestrzeni metrycznych. Ćwiczenia mają charakter rachunkowy. Ich zadaniem jest pomoc w zrozumieniu wykładu i nabycie elementarnych zdolności rachunkowych.

Pełny opis:

(Wspólny opis dla kursów: 1000-M1AM1z, 1000-M1AM1l, 1000-M1AM2z, 1000-M1AM2l)

1. Pojęcia wstępne:

* Podstawowe oznaczenia logiki matematycznej i elementarnej teorii zbiorów;

* Pojęcie funkcji, funkcje różnowartościowe, ,,na'' i odwracalne, operacje algebraiczne na funkcjach rzeczywistych, miejsca zerowe, parzystość, okresowość.

2. Liczby rzeczywiste:

* Uwagi historyczne i podejście ,,naturalne'';

* Definicja aksjomatyczna i uwagi o konstrukcji Dedekinda i Cantora;

* Konsekwencje aksjomatów algebraicznych i porządkowych, wartość bezwzględna;

* Konsekwencje aksjomatu ciągłości, kresy zbioru, zasada Archimedesa; równoliczność, przeliczalność i nieprzeliczalność zbiorów;

* Podzbiory liczb naturalnych, całkowitych i wymiernych; zasada indukcji matematycznej;

* Podstawowe nierówności.

3. Funkcje elementarne:

* Ogólne własności funkcji rzeczywistych (monotoniczność, okresowość, parzystość, ograniczoność);

* Wielomiany i funkcje wymierne;

* Funkcje trygonometryczne i cyklometryczne;

* Konstrukcja potęgi o wykładniku rzeczywistym, funkcja wykładnicza i logarytmiczna.

4. Ciągi liczbowe:

* Podciągi, prawie wszystkie i nieskończenie wiele wyrazów ciągu;

* Ciągi ograniczone, granica ciągu, zbieżność, własności ciągów zbieżnych, granice niewłaściwe, twierdzenie Stolza;

* Ciągi monotoniczne, liczba e;

* Ciągi Cauchy'ego, zasada zupełności Cauchy'ego, twierdzenie Bolzano-Weierstrassa;

* Punkty skupienia, granice dolna i górna ciągu.

5. Granica i ciągłość funkcji:

* Punkty skupienia zbioru;

* Definicje Heinego i Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie, warunki konieczne i dostateczne istnienia granicy;

* Własności granic;

* Granice niewłaściwe i granice w nieskończoności;

* Ciągłość i jednostajna ciągłość funkcji, własności funkcji ciągłych określonych na przedziałach, warunek Lipschitza, punkty nieciągłości;

* Twierdzenia o własności Darboux, Weierstrassa i Cantora;

* Ciągłość funkcji elementarnych;

* Granica górna i granica dolna funkcji, półciągłość funkcji.

6. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej:

* Pojęcie pochodnej, warunki równoważne i interpretacja graficzna i mechaniczna;

* Własności funkcji różniczkowalnych;

* Własności pochodnej: suma, iloczyn, iloraz, złożenie, funkcja odwrotna;

* Pochodne funkcji elementarnych;

* Różniczka funkcji i jej związek z pochodną;

* Twierdzenia o wartości średniej: Rolle'a, Lagrange'a, Cauchy'ego; twierdzenie Fermata;

* Reguła de L'Hospitala;

* Pochodne wyższych rzędów, twierdzenie Taylora i jego zastosowania;

* Ekstrema funkcji;

* monotoniczność, wypukłość i asymptoty; badanie przebiegu zmienności funkcji.

7. Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej:

* Całka Riemanna, kryteria całkowalności; sumy Riemanna;

* Klasy funkcji całkowalnych;

* Własności całki, twierdzenia o wartości średniej;

* Funkcja górnej granicy całkowania, funkcja pierwotna, twierdzenie Leibniza-Newtona (podstawowe twierdzenie rachunku całkowego);

* Całkowanie przez podstawienie i przez części, całkowanie funkcji wymiernych, podstawienia Eulera;

* Wzmianka o metodach przybliżonych w rachunku całkowym;

* Postać całkowa reszty we wzorze Taylora;

* Zastosowania geometryczne i fizyczne całki oznaczonej;

* Całki niewłaściwe I i II rodzaju, kryteria zbieżności;

8. Szeregi liczbowe:

* Zbieżność szeregu, warunek konieczny zbieżności;

* Własności szeregów liczbowych;

* Kryteria zbieżności dla szeregów o wyrazach nieujemnych i dowolnych;

* Zbieżność bezwzględna i warunkowa;

* Iloczyn Cauchy'ego szeregów, twierdzenie Cauchy'ego, Mertensa i Abela;

* Twierdzenie Cauchy'ego-Maclaurina;

9. Ciągi i szeregi funkcyjne, szeregi potęgowe:

* Zbieżność punktowa i jednostajna ciągów i szeregów funkcyjnych, kryteria zbieżności jednostajnej;

* Własności granic ciągów zbieżnych jednostajnie;

* Różniczkowanie i całkowanie ciągów i szeregów funkcyjnych;

* Szeregi potęgowe, promień i obszar zbieżności szeregu potęgowego, twierdzenie Hadamarda;

* Rozwijanie funkcji w szereg Taylora;

* Funkcje trygonometryczne i wykładnicze.

10. Przestrzenie metryczne:

* Przykłady przestrzeni metrycznych i własności metryki, przestrzeń R^n jako przestrzeń metryczna, elementarne przestrzenie funkcyjne;

* Zbiory otwarte i domknięte, wnętrze i domknięcie zbioru;

* Ciągi zbieżne w przestrzeniach metrycznych;

* Zbiory otwarte i domknięte, charakteryzacja ciągowa zbiorów domkniętych i domknięcia zbioru;

* Ciągłość i jednostajna ciągłość odwzorowań przestrzeni metrycznych;

* Przestrzenie zupełne, zasada Banacha;

* Zbiory zwarte i spójne, charakteryzacja ciągowa i pokryciowa;

* Przestrzenie unormowane i Banacha;

11. Granice i ciągłość funkcji wielu zmiennych, granice wielokrotne iterowane.

12. Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych i wektorowych wielu zmiennych:

* Język algebraiczny: macierze i ich własności;

* Pochodna kierunkowa, cząstkowa i ich własności;

* Pojęcie pochodnej, macierz Jacobiego, gradient funkcji rzeczywistej i ich interpretacja geometryczna;

* Własności pochodnej: suma, iloczyn, złożenie, reguła łańcucha;

* Warunki konieczne i dostateczne różniczkowalności;

* Twierdzenia o wartości średniej i o przyrostach;

* Pochodne wyższych rzędów, twierdzenie Schwarza;

* Macierz Hessa i hessian;

* Twierdzenie Taylora;

* Ekstrema lokalne;

* Twierdzenie o funkcji uwikłanej i o lokalnym odwracaniu odwzorowań;

* Odwzorowania regularne, dyfeomorfizmy;

* Hiperpowierzchnie, przestrzeń styczna;

* Ekstrema związane, twierdzenie o mnożnikach Lagrange'a.

13. Całka funkcji wielu zmiennych:

* Przestrzenie mierzalne, konstrukcje i przykłady, zbiory borelowskie;

* Funkcje i odwzorowania mierzalne, funkcje proste;

* Pojecie miary i jej własności;

* Całka funkcji mierzalnej, twierdzenia o przechodzeniu do granicy pod znakiem całki (twiedzenia Beppo-Leviego, Lebesgue'a i lemat Fatou);

* Miara zęwnętrznia i konstrukcja miary;

* Miara Lebesgue'a, zbiory miary zero;

* Całka Lebesgue'a i jej związek z całką Riemanna;

* Zasada Cavaleriego, twierdzenia Tonellego i Fubiniego;

* Zamiana zmiennych w całce; współrzędne biegunowe, sferyczne i walcowe;

* Zastosowania całki podwójnej i potrójnej;

Literatura:

1. W. Kryszewski, Wykłady z analizy matematycznej; funkcje jednej zmiennej. Wydawnictwo UMK, Toruń 2009

2. K. Kuratowski, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa (wiele wydań).

3. F. Leja, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa (wiele wydań).

4. L. Górniewicz, R. S. Ingarden, Analiza matematyczna dla fizyków, tom I, II, Wydawnictwo UMK, Toruń 1995.

5. G. M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. I–III, PWN, Warszawa (wiele wydań).

6. W. Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 1979.

Literatura uzupełniająca (w tym zbiory zadań)

1. A. Birkholc, Analiza matematyczna dla nauczycieli, PWN, Warszawa 1980.

2. W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa 1996.

3. H. Rasiowa, Wstęp do matematyki, PWN, Warszawa (wiele wydań).

4. R. Rudnicki, Wykłady z analizy matematycznej, PWN, Warszawa (wiele wydań).

5. W. Krysicki i L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, t. I i II, PWN, Warszawa (wiele wydań).

6. J. Banaś i S. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, WNT, Warszawa (wiele wydań).

7. W. Kaczor, Zadania z analizy matematycznej, cz. 1 i 2, PWN, Warszawa 2005.

8. M. Gewert i Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1 oraz Analiza matematyczna 2, Definicje, twierdzenia, wzory oraz Przykłady i zadania, Matematyka dla Studentów Politechnik, Oficyna Wydawnicza GiS, wydania z ostatnich lat.

Metody i kryteria oceniania:

Przewiduje się następujące egzaminy:

1. Po pierwszym semestrze (na zakończenie przedmiotu 1000-M1AM1z),

2. Po drugim semestrze (na zakończenie przedmiotu 1000-M1AM1l),

3. Po czwartym semestrze (na zakończenie przedmiotu 1000-M1AM2l),

Egzaminy na pierwszym i drugim roku są pisemne i ustne.

Egzaminy weryfikują osiągnięcie następujących efektów kształcenia:

W1, W2 (1000-M1AM1z), W3, U1-U7, K1, K2.

Ćwiczenia w każdym semestrze kończą się zaliczeniem na ocenę.

Ocenę wystawia się na postawie dwóch śródsemestralnych kolokwiów. W uzgodnieniu z koordynatorem w skład oceny mogą wchodzić również wyniki krótkich sprawdzianów i aktywności studentów.

Kolokwia i sprawdziany weryfikują osiągnięcie następujących efektów kształcenia:

U1 - U5, U7, K1, K2.

Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2017/18" (zakończony)

Okres: 2018-02-26 - 2018-09-30
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 45 godzin, 30 miejsc więcej informacji
Wykład, 45 godzin, 50 miejsc więcej informacji
Koordynatorzy: Sławomir Plaskacz
Prowadzący grup: Krzysztof Leśniak, Sławomir Plaskacz
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Ćwiczenia - Zaliczenie na ocenę
Wykład - Egzamin

Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2018/19" (zakończony)

Okres: 2019-02-25 - 2019-09-30
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 45 godzin, 30 miejsc więcej informacji
Wykład, 45 godzin, 50 miejsc więcej informacji
Koordynatorzy: Grzegorz Gabor
Prowadzący grup: Grzegorz Gabor, Piotr Kokocki
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Ćwiczenia - Zaliczenie na ocenę
Wykład - Egzamin

Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2019/20" (zakończony)

Okres: 2020-02-29 - 2020-09-20
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 45 godzin, 30 miejsc więcej informacji
Wykład, 45 godzin, 60 miejsc więcej informacji
Koordynatorzy: Sławomir Plaskacz
Prowadzący grup: Grzegorz Lewandowski, Sławomir Plaskacz
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Ćwiczenia - Zaliczenie na ocenę
Wykład - Egzamin

Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2020/21" (w trakcie)

Okres: 2021-02-22 - 2021-09-20
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 45 godzin, 30 miejsc więcej informacji
Wykład, 45 godzin, 60 miejsc więcej informacji
Koordynatorzy: Grzegorz Gabor
Prowadzący grup: Wojciech Bułatek, Grzegorz Gabor
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Ćwiczenia - Zaliczenie na ocenę
Wykład - Egzamin

Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2021/22" (jeszcze nie rozpoczęty)

Okres: 2022-02-28 - 2022-09-20
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 45 godzin, 30 miejsc więcej informacji
Wykład, 45 godzin, 60 miejsc więcej informacji
Koordynatorzy: (brak danych)
Prowadzący grup: (brak danych)
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Ćwiczenia - Zaliczenie na ocenę
Wykład - Egzamin
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu.