Analiza matematyczna III

1. Zaliczenie wcześniejszych etapów analizy matematycznej.

2. Wyjątkiem od wymagania opisanego w punkcie 1. jest wpis warunkowy na III rok, przy niezaliczonym przedmiocie Analiza matematyczna II, dający nadzieję na uzupełnienie braków z II roku w bieżącym roku akademickim.

przedmiot obligatoryjny

30 godz. – wykład

4 godz. - egzamin

30 godz. - ćwiczenia:

5o godz. - praca własna - bieżące przygotowanie do zajęć, studiowanie literatury,

36 godz. praca własna - przygotowanie do egzaminu.

RAZEM: 150 godz.

6 pkt. ECTS

(Wspólne dla kursów: 1000-M1AM1nz, 1000-M1AM1nl, 1000-M1AM2nz, 1000-M1AM2nl, 1000-M1AM3n)

[Efekty dla poszczególnych kursów znajdują się w opisach bieżących cykli dydaktycznych]

Po ukończeniu łącznie kursów 1000-M1AM1nz, 1000-M1AM1nl, 1000-M1AM2nz, 1000-M1AM2nl, 1000-M1AM3n student:

W1: definiuje podstawowe pojęcia analizy matematycznej, w tym m.in. takie pojęcia graniczne jak kresy zbiorów, granice ciągów i funkcji, pochodne funkcji i odwzorowań przestrzeni euklidesowych oraz całki Riemanna i Lebesgue'a (K_W04) (kody odnoszą się do efektów dla studiów 1 stopnia na kierunku

matematyka).

W2: klasyfikuje funkcje elementarne oraz przedstawia ich definicje i podstawowe własności (K_W04);

W3: wylicza i formułuje podstawowe twierdzenia analizy matematycznej, ilustruje je przykładami i przestawia ich uzasadnienia (K_W02, K_W04);

(Wspólne dla kursów: 1000-M1AM1nz, 1000-M1AM1nl, 1000-M1AM2nz, 1000-M1AM2nl, 1000-M1AM3n)

[Efekty dla poszczególnych kursów znajdują się w opisach bieżących cykli dydaktycznych]

Po ukończeniu łącznie kursów 1000-M1AM1nz, 1000-M1AM1nl, 1000-M1AM2nz, 1000-M1AM2nl, 1000-M1AM3n student:

U1: analizuje takie własności jak zbieżność ciągu, szeregu (liczbowego i funkcyjnego), ciagłość, monotoniczność i wypukłość/wklęsłość funkcji, różniczkowalność funkcji i odwzorowań, całkowalność funkcji, dostosowując do sytuacji poznane kryteria i metody (K_U07, K_U08, K_U10, K_U11, K_U12) (kody odnoszą się do efektów dla studiów 1 stopnia na kierunku

matematyka);

U2: wyznacza kresy zbiorów, granice ciągów i funkcji, sumy szeregów, pochodne funkcji i odwzorowań, całki nieoznaczone i oznaczone oraz rozwiązania podstawowych równań różniczkowych zwyczajnych (K_U06, K_U07, K_U08, K_U10, K_U11, K_U12, K_U19);

U3: wyznacza ekstrema i ekstrema związane funkcji, asymptoty funkcji, styczne do wykresów funkcji różniczkowalnych, rozwinięcia funkcji w szereg potęgowy lub trygonometryczny, przeprowadza analizę przebiegu zmienności funkcji elementarnych i rysuje ich wykresy (K_U10);

U4: stosuje przedstawione pojęcia i twierdzenia rachunku różniczkowego i całkowego do znajdowania najmniejszych i największych wartości funkcji, pól figur i objętości brył, długości krzywych oraz przybliżonych wartości pierwiastków równań (K_U10, K_U11, K_U12);

U5: stosuje podstawowe pojęcia topologii metrycznej przestrzeni euklidesowych do opisu własności odwzorowań podzbiorów tych przestrzeni (K_U08);

U6: potrafi w sposób zrozumiały, w mowie i na piśmie,

przedstawiać poprawne rozumowania matematyczne,

formułować twierdzenia i definicje z obszaru analizy matematycznej (K_U01, K_U02);

U7: poprawnie stosuje rachunek zdań i kwantyfikatorów oraz elementy teorii mnogości do wyrażenia pojęć i faktów analizy matematycznej (K_U01, K_U02, K_U04).

(Wspólne dla kursów: 1000-M1AM1nz, 1000-M1AM1nl, 1000-M1AM2nz, 1000-M1AM2nl, 1000-M1AM3n)

[Efekty dla poszczególnych kursów znajdują się w opisach bieżących cykli dydaktycznych]

Po ukończeniu łącznie kursów 1000-M1AM1nz, 1000-M1AM1nl, 1000-M1AM2nz, 1000-M1AM2nl, 1000-M1AM3n student:

K1: przekazuje innym swoją wiedzę i przemyślenia z zachowaniem uczciwości intelektualnej (K_K01)

K2: ma świadomość ograniczoności swojej wiedzy, zdolność krytycznego spojrzenia na rozważane zagadnienie i umiejętność szukania rozwiązań w oparciu o zasady logiki i różne źródła informacji (K_K02, K_K03, K_K04).

Wykład prowadzony metodą tradycyjną. Wprowadzane pojęcia i fakty ilustrowane przykładami.

Ćwiczenia z bezpośrednim udziałem nauczyciela akademickiego wzbogacone o zestawy zadań do indywidualnego rozwiązania.

- pokaz

- wykład informacyjny (konwencjonalny)
- wykład problemowy

- ćwiczeniowa
- klasyczna metoda problemowa

(Wspólny opis dla kursów: 1000-M1AM1nz, 1000-M1AM1nl, 1000-M1AM2nz, 1000-M1AM2nl, 1000-M1AM3n)

[opis poszczególnych kursów znajduje się w Informacjach o zajęciach w danym cyklu dydaktycznym]

Jest to podstawowy kurs analizy matematycznej obejmujący m.in.

rachunek różniczkowy i całkowy funkcji jednej i wielu zmiennych oraz elementy równań

różniczkowych zwyczajnych. Szczególną uwagę poświęca się wprowadzeniu i badaniu

własności funkcji elementarnych pojawiających się w matematyce szkolnej. Dokładnie

omawiane są pojęcia graniczne takie jak kresy zbiorów, granica ciągu i funkcji, zbieżność szeregu, pochodna funkcji i całka Riemanna (obecnie pojęcia graniczne

wycofywane są z programu szkolnego i dla wielu osób są to pojęcia nowe). W ramach

wykładu przybliżane są podstawowe wiadomości z zakresu przestrzeni metrycznych,

całki Lebesgue’a, teorii szeregów Fouriera oraz równań różniczkowych zwyczajnych.

(Wspólny opis dla kursów: 1000-M1AM1nz, 1000-M1AM1nl, 1000-M1AM2nz, 1000-M1AM2nl, 1000-M1AM3n)

[opis poszczególnych kursów znajduje się w Informacjach o zajęciach w danym cyklu dydaktycznym]

1. Pojęcia wstępne

* Podstawowe oznaczenia z logiki i rachunku zbiorów

* Pojęcie funkcji, funkcje różnowartościowe, ,,na'' i odwracalne

2. Liczby rzeczywiste

* Uwagi historyczne i podejście ,,naturalne''

* Definicja aksjomatyczna i uwagi o konstrukcji Dedekinda i Cantora

* Wnioski z aksjomatów ciała uporządkowanego, wartość bezwzględna

* Podzbiory liczb naturalnych, całkowitych i wymiernych; Zasada Indukcji Matematycznej

* Wnioski z aksjomatu kresu górnego

3. Funkcje elementarne

* Ogólne własności funkcji rzeczywistych (monotoniczność, okresowość, parzystość, ograniczoność)

* Wielomiany i funkcje wymierne

* Funkcje trygonometryczne i cyklometryczne

* Konstrukcja potęgi o wykładniku rzeczywistym, funkcja wykładnicza i logarytmiczna

4. Ciągi liczbowe

* Prawie wszystkie i nieskończenie wiele wyrazów ciągu

* Granica ciągu, własności ciągów zbieżnych

* Ciągi monotoniczne, liczba e

* Zasada zupełności Cauchy'ego, twierdzenie Bolzano-Weierstrassa

* Punkty skupienia, granice dolna i górna ciągu

5. Granica i ciągłość funkcji

* Definicje Heinego i Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie

* Własności granic

* Granice niewłaściwe i granice w nieskończoności

* Ciągłość funkcji elementarnych

* Jednostajna ciągłość funkcji, własności funkcji ciągłych określonych na przedziałach

6. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej

* Definicja pochodnej, warunki równoważne i interpretacja graficzna

* Własności pochodnej: suma, iloczyn, iloraz, złożenie, funkcja odwrotna

* Pochodne funkcji elementarnych

* Różniczka funkcji i jej związek z pochodną

* Twierdzenia o wartości średniej: Rolle'a, Lagrange'a, Cauchy'ego

* Reguła de L'Hospitala

* Pochodne wyższych rzędów, twierdzenie Taylora i jego zastosowania

* monotoniczność, wypukłość i asymptoty; badanie przebiegu zmienności funkcji

7. Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej

* Funkcja pierwotna

* Całkowanie przez podstawienie i przez części, całkowanie funkcji wymiernych, podstawienia Eulera

* Konstrukcja całki Riemanna poprzez sumy górne i dolne, sumy Riemanna, interpretacja geometryczna, funkcje całkowalne

* Twierdzenia o wartości średniej

* Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego

* Zastosowania geometryczne i fizyczne całki oznaczonej

* Całki niewłaściwe

8. Szeregi liczbowe

* Zbieżność szeregu, warunek konieczny zbieżności

* Kryteria zbieżności dla szeregów o wyrazach nieujemnych i dowolnych

9. Ciągi i szeregi funkcyjne, szeregi potęgowe

* Zbieżność punktowa i jednostajna ciągów i szeregów funkcyjnych, kryteria zbieżności jednostajnej

* Różniczkowanie i całkowanie ciągów i szeregów funkcyjnych

* Promień i obszar zbieżności szeregu potęgowego

* Rozwijanie funkcji w szereg Taylora

* Szeregi trygonometryczne, rozwijanie funkcji w szereg Fouriera

10. Przestrzenie metryczne

* Przykłady przestrzeni metrycznych i własności metryki, przestrzeń R^n jako przestrzeń metryczna

* Ciągi zbieżne w przestrzeniach metrycznych

* Zbiory otwarte i domknięte, charakteryzacja ciągowa zbiorów domkniętych

* Ciągłość odwzorowań przestrzeni metrycznych

* Przestrzenie zupełne, Zasada Banacha

* Zbiory zwarte i spójne

11. Granice i ciągłość funkcji wielu zmiennych

12. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych

* Pochodna kierunkowa, cząstkowa, gradient funkcji i ich interpretacje geometryczne

* Pochodna odwzorowania, macierz Jacobiego

* Własności pochodnej: suma, iloczyn, złożenie, reguła łańcucha

* Pochodne wyższych rzędów

* Twierdzenie Taylora

* Ekstrema lokalne

* Twierdzenie o funkcji uwikłanej i o lokalnym odwracaniu odwzorowań

* Ekstrema związane (warunkowe), hiperpowierzchnie, przestrzeń styczna

13. Elementy analizy zespolonej

* Funkcje elementarne zmiennej zespolonej

* Pochodna funkcji zmiennej zespolonej

* Funkcje holomorficzne i ich własności

14. Całka funkcji wielu zmiennych

* Przestrzenie i funkcje mierzalne

* Miara Lebesgue'a, zbiory miary zero

* Całka Lebesgue'a i jej związek z całką Riemanna

* Twierdzenie Fubiniego

* Zamiana zmiennych w całce; współrzędne biegunowe, sferyczne i walcowe

* Zastosowania całki podwójnej i potrójnej

15. Elementy równań różniczkowych zwyczajnych

* Twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań

* Podstawowe typy równań różniczkowych skalarnych, metoda rozdzielonych zmiennych

* Układy równań różniczkowych liniowych

* Stabilność punktów równowagi

16. Całki krzywoliniowe i powierzchniowe

* Całka krzywoliniowa i jej interpretacja fizyczna

* Twierdzenie Greena

* Niezależność całki od drogi całkowania

* Całka powierzchniowa i twierdzenie Gaussa

Literatura podstawowa

1. W. Kryszewski, Wykłady z analizy matematycznej; funkcje jednej zmiennej. Wydawnictwo UMK, Toruń 2009

2. W. Kryszewski, Wykłady z analizy matematycznej; funkcje wielu zmiennych (skrypt dostępny przez internet)

3. K. Kuratowski, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa (wiele wydań).

4. F. Leja, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa (wiele wydań).

5. L. Górniewicz, R. S. Ingarden, Analiza matematyczna dla fizyków, tom I, II, Wydawnictwo UMK, Toruń 1995.

6. G. M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. I–III, PWN, Warszawa (wiele wydań).

7. W. Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 1979.

Literatura uzupełniająca (zbiory zadań)

1. W. Krysicki i L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, t. I i II, PWN,

Warszawa (wiele wydań).

2. J. Banaś i S. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, WNT, Warszawa (wiele wydań).

3. W. Kaczor, Zadania z analizy matematycznej, cz. 1 i 2, PWN, Warszawa 2005.

4. M. Gewert i Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1 oraz Analiza matematyczna 2, Definicje, twierdzenia, wzory oraz Przykłady i zadania, Matematyka dla Studentów Politechnik, Oficyna Wydawnicza GiS, wydania z ostatnich lat.

5. G. N. Berman, Zbiór zadań z analizy matematycznej,Wyd. Pracowni Komp. Jacka Skalmierskiego, Gliwice 1999.

6. K. Niedziałomski, R. Kowalczyk, C. Obczyński, Granice i pochodne. Metody rozwiązywania zadań, PWN, Warszawa 2013.

7. T. Radożycki, Rozwiązujemy zadania z analizy matematycznej, cz. I, Wydawnictwo Oświatowe FOSZE, Rzeszów 2010.

8. T. Radożycki, Rozwiązujemy zadania z analizy matematycznej, cz. I, Wydawnictwo Oświatowe FOSZE, Rzeszów 2013.

Egzamin pisemny i ustny.

Egzamin weryfikuje osiągnięcie następujących efektów uczenia się:

W1, W3, U1 - U7, (w zakresie materiału semestru V), K1, K2

Kryteria oceny:

- bardzo dobra – student bardzo dobrze przedstawia i omawia pojęcia z danego zakresu, ilustruje je przykładami lub kontrprzykładami i przeprowadza złożone rozumowania matematyczne

- dobra – student prawidłowo przestawia i omawia pojęcia z danego zakresu, przy ewentualnych wskazówkach egzaminatora, prawidłowo poprawia ewentualne błędy w swojej wypowiedzi, pojęcia i twierdzenia ilustruje przykładami lub kontrprzykładami, przeprowadza mało złożone rozumowania matematyczne

- dostateczna – student prawidłowo przedstawia pojęcia z danego zakresu, przy ewentualnych wskazówkach egzaminatora, i ilustruje je poznanymi przykładami lub kontrprzykładami, umie przeprowadzić elementarne, nie złożone rozumowania matematyczne przedstawione na wykładzie

- niedostateczna – student nie potrafi w dostatecznym stopniu przedstawić pojęć z danego zakresu, nie potrafi poprawić błędów w swojej wypowiedzi pomimo wskazania ich przez egzaminatora, nie potrafi w dostateczny sposób zilustrować pojęć i twierdzeń przykładami lub kontrprzykładami lub nie potrafi przeprowadzić elementarnych rozumowań matematycznych;

Ćwiczenia kończą się zaliczeniem na ocenę. Ocenę wystawia się na postawie śródsemestralnych kolokwiów oraz ewentualnych indywidualnych prac domowych.

Kolokwia i sprawdziany weryfikują osiągnięcie następujących efektów uczenia się:

U1 - U7, K1, K2 (w zakresie materiału semestru IV).