Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu - Centralny punkt logowaniaNie jesteś zalogowany | zaloguj się
katalog przedmiotów - pomoc

Analiza funkcjonalna

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-M1ANF Kod Erasmus / ISCED: (brak danych) / (0541) Matematyka
Nazwa przedmiotu: Analiza funkcjonalna
Jednostka: Wydział Matematyki i Informatyki
Grupy: Mat. I st., stacjonarne, przedmioty do wyboru (podstawowe)
Mat. ogólna, I st., stacjonarne, 3 rok, przedmioty do wyboru (matematyczne)
Mat., sp. nauczycielskie, II st., stacjonarne, przedmioty do wyboru + uzup. stand. kszt.
Mat., sp. zastosowania, II st., stac., przedmioty do wyboru + uzup. stand. kszt.
Wszystkie przedmioty z WMiI
Punkty ECTS i inne: 0 LUB 6.00 (w zależności od programu)
zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: polski
Wymagania wstępne:

analiza I II, wtępne wiadomości z topologii i teorii miary, algebra liniowa

Rodzaj przedmiotu:

przedmiot obowiązkowy

Całkowity nakład pracy studenta:

Godziny wymagające kontaktu z nauczycielem:

30 godz. - wykład

30 godz. -ćwiczenia

4 godz. - egzamin


Praca własna:

25 godz. - bieżące przygotowanie do ćwiczeń

15 godz. - przygotowanie do zaliczenia ćwiczeń

35 godz.- studiowanie literatury

30 godz. przygotowanie do egzaminu


Razem: 169 godz. - 6 ECTS

Efekty uczenia się - wiedza:

Po ukończeniu kursu student:


- Operuje podstawowymi przestrzeniami analizy funkcjonalnej: Banacha, Hilberta, Frecheta, linowo-topologiczne, lokalnie wypukle; zna podstawowe przykłady takich przestrzeni;


- Operuje pojęciem przestrzeni sprzężonej (rozumie znaczenie obiektów dualnych, w szczególności operuje pojęciem refleksywności);


- Rozumie i umie stosować klasyczne twierdzenia analizy funkcjonalnej: tw. o odwzorowaniu otwartym, domkniętym wykresie, o odwzorowaniu otwartym, zasadę jednostajnej ograniczoności, twierdzenie Banacha-Alaoglu, twierdzenie Kreina-Milmana;


- Rozumie pojęcia słabych topologiii w przestrzeniach Banacha i umie je wykorzystać;


- Rozumie pojęcie układu ortonormalnego zupełnego w przestrzeni Hilberta i pojecie szeregu Fouriera;


- W klasycznej sytuacji szeregów Fouriera funkcji okresowych rozumie związki pomiędzy regularnością (gładkością) funkcji i prędkością malenia do zera transformaty Fouriera;


- Potrafi rozwijać w szereg Fouriera funkcje okresowe i całkowalne.

Efekty uczenia się - umiejętności:

Student:

- rozumie podstawową strukturę przestrzeni Banacha i Hilberta

- swobodnie posluguje sie podstawowymi narzędziami analizy funkcjonalnej

- potrafi samodzielnie dowodzić prostych faktów z zakresu analizy funkcjonalnej i harmonicznej.

Efekty uczenia się - kompetencje społeczne:

Student:

K1: potrafi przeprowadzić logiczne rozumowanie, wykryć luki w rozumowaniu, rozumie swoje braki w wiedzy, potrafi zadawać właściwe pytania prowadzące do wzrostu w wiedzy i rozumienia,

K2: jest systematyczny i dokładny,

K3: komunikuje się wydajnie za pomoc różnych narzędzi

Metody dydaktyczne:

wykład - podstawowe informacje, dowody

ćwiczenia - klasyczna metoda rozwiązywania zadań i stawiania problemów

Skrócony opis:

Zaliczenie podstawowych kursów algebry liniowej i analizy. Opis przedmiotu Wykład jest wprowadzeniem do poznania ważnych narzędzi matematycznych, których dostarcza analiza funkcjonalna. Zasadnicza część wykładu dotyczy klasycznej teorii przestrzeni Banacha (m.in. ciągłości operatorów liniowych, słabych topologii i wypukłości). Pozostała część wykładu koncentruje się na teorii szeregów Fouriera funkcji okresowych.

Pełny opis:

  • Przestrzenie liniowo-metryczne. Przestrzenie Fr´echeta i przestrzenie Banacha (ciągowe i funkcyjne przestrzenie Banacha – klasyczne nierówności całkowe). Odwzorowania liniowe i ciągłe.
  • Zasada jednostajnej ograniczoności (twierdzenie Banacha–Steinhausa).
  • Twierdzenie Hahna–Banacha i twierdzenia o oddzielaniu.
  • Twierdzenie o odwzorowaniu otwartym i o domkniętym wykresie.
  • Podstawowe wiadomości o słabych topologiach.
  • Twierdzenie Banacha–Alaoglu.
  • Punkty ekstremalne i twierdzenie Kreina–Milmana.
  • Przestrzeń sprzężona do przestrzeni Banacha. Refleksywność.
  • Przestrzenie Hilberta. Nierówność Schwarza. Ortogonalność, bazy hilbertowskie. Wstęp do teorii szeregów Fouriera. Zupełność układu trygonometrycznego. Jądra sumujące. Współczynniki Fouriera funkcji gładkich.
Literatura:

Literatura podstawowa:

  1. A. Alexiewicz, Analiza funkcjonalna,
  2. W. Mlak, Wstęp do teorii przestrzeni Hilberta,
  3. J. Musielak, Wstęp do analizy funkcjonalnej.

Literatura uzupełniająca:

  1. N. Dunford, D. Schwartz, Liniejnyje operatory,
  2. L.W. Kantorowicz, Funkcjonalnyj analiz,
  3. S. Rolewicz, Analiza funkcjonalna i teoria sterowania,
  4. W. Rudin, Funkcjonalnyj analiz.
Metody i kryteria oceniania:

ćwiczenia: na podstawie kolokwiów zaliczeniowych

wykład: egzamin pisemny (testowy) - pierwszy dzień,+ egzamin pisemny - drugi dzień

Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2017/18" (zakończony)

Okres: 2018-02-26 - 2018-09-30
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 30 godzin, 30 miejsc więcej informacji
Wykład, 30 godzin, 50 miejsc więcej informacji
Koordynatorzy: Mariusz Lemańczyk
Prowadzący grup: Sebastian Król, Mariusz Lemańczyk
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Ćwiczenia - Zaliczenie na ocenę
Wykład - Egzamin

Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2018/19" (zakończony)

Okres: 2019-02-25 - 2019-09-30
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 30 godzin, 30 miejsc więcej informacji
Wykład, 30 godzin, 50 miejsc więcej informacji
Koordynatorzy: Mariusz Lemańczyk
Prowadzący grup: Mariusz Lemańczyk, Łukasz Rzepnicki
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Ćwiczenia - Zaliczenie na ocenę
Wykład - Egzamin

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2019/20" (zakończony)

Okres: 2019-10-01 - 2020-02-28
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 30 godzin, 30 miejsc więcej informacji
Wykład, 30 godzin, 60 miejsc więcej informacji
Koordynatorzy: Mariusz Lemańczyk
Prowadzący grup: Joanna Kułaga-Przymus, Mariusz Lemańczyk
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Ćwiczenia - Zaliczenie na ocenę
Wykład - Egzamin

Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2020/21" (w trakcie)

Okres: 2021-02-22 - 2021-09-20
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 30 godzin, 30 miejsc więcej informacji
Wykład, 30 godzin, 60 miejsc więcej informacji
Koordynatorzy: Mariusz Lemańczyk
Prowadzący grup: Martyna Górska, Mariusz Lemańczyk, Łukasz Rzepnicki
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Ćwiczenia - Zaliczenie na ocenę
Wykład - Egzamin

Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2021/22" (jeszcze nie rozpoczęty)

Okres: 2022-02-28 - 2022-09-20
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 30 godzin, 30 miejsc więcej informacji
Wykład, 30 godzin, 60 miejsc więcej informacji
Koordynatorzy: (brak danych)
Prowadzący grup: (brak danych)
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Ćwiczenia - Zaliczenie na ocenę
Wykład - Egzamin
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu.