Analiza na rozmaitościach

Student powinien mieć wiedzę z zakresu przedmiotów Analiza matematyczna I (1000-M1AM1l), Analiza matematyczna II (1000-M1AM2l) oraz Algebra liniowa z geometrią (1000-M1ALGz, 1000-M1ALGl)

Czas pracy wyniesie 180 godzin:

- wykład: 45;

- ćwiczenia: 45;

- praca własna:

- bieżące przygotowanie do ćwiczeń: 30;

- studiowanie literatury: 40;

- przygotowanie do egzaminu: 20.

W1: zna podstawowe pojęcia związane z rozmaitościami (K_W01)

W2: zna i rozumie klasyczne twierdzenia i ich dowody z zakresu rachunku różniczkowego i całkowego na rozmaitościach (K_W03)

W3: zna przykłady zastosowań omawianych teorii (K_W04)

U1 potrafi odróżniać rozmaitości od przestrzeni nie będących rozmaitościami oraz potrafi posługiwać się podstawowymi pojęciami związanymi z rozmaitościami (K_U04)

U2: potrafi obliczać całki krzywoliniowe i powierzchniowe oraz stosować twierdzenia Greena, Gaussa - Ostrogradskiego (K_U04)

U3: potrafi w sposób zrozumiały, w mowie i na piśmie, przedstawiać poprawne rozumowania matematyczne, formułować twierdzenia i definicje z obszaru analizy matematycznej (K_U06)

U4: poprawnie stosuje rachunek zdań i kwantyfikatorów oraz elementy teorii mnogości do wyrażenia pojęć i faktów analizy matematycznej (K_U01, K_U02, K_U03)

K1: przekazuje innym swoją wiedzę i przemyślenia z zachowaniem uczciwości intelektualnej (K_K01)

K2: ma świadomość ograniczoności swojej wiedzy, zdolność krytycznego spojrzenia na rozważane zagadnienie i umiejętność szukania rozwiązań w oparciu o zasady logiki i różne źródła informacji (K_K02, K_K03, K_K04).

Wykład prowadzony metodą tradycyjną. Wprowadzane pojęcia i fakty ilustrowane przykładami.

Ćwiczenia z bezpośrednim udziałem nauczyciela akademickiego wzbogacone o zestawy zadań do indywidualnego rozwiązania.

- pokaz

- wykład informacyjny (konwencjonalny)
- wykład problemowy

- ćwiczeniowa
- klasyczna metoda problemowa

Jednym z celów wykładu jest sformułowanie i dowód twierdzenia Stokesa. Innym, nie mniej istotnym celem, jest poznanie pojęcia rozmaitości w różnych jego aspektach. W wykładzie wykorzystuje się wiadomości z algebry liniowej i analizy matematycznej w zakresie dwóch pierwszych lat studiów matematycznych.

Plan wykładu:

1. Pola wektorowe i formy różniczkowe. Lemat Poincarégo, pola potencjalne i bezwirowe.

2. Całka formy po łańcuchu. Twierdzenie Stokesa dla łańcuchów.

3. Rozmaitość, przestrzeń styczna, odwzorowania gładkie, struktura

różniczkowa. Orientacja rozmaitości.

4. Pola wektorowe i formy różniczkowe na rozmaitościach.

5. Całka z formy różniczkowej po rozmaitości. Całka po krzywej i po powierzchni.

6. Twierdzenie Stokesa dla rozmaitości.

7. Twierdzenia Greena, Gaussa - Ostrogradskiego i wzór Stokesa. Element objętości.

Celem ćwiczeń jest ugruntowanie materiału z wykładu.

1. M. Spivak, Analiza na rozmaitościach, W-wa, 1977.

2. L. Górniewicz, R. S. Ingarden, Analiza matematyczna dla fizyków, tom 2, Toruń, 1995.

3. V. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer, 1978.

Zaliczenie wykładu: egzamin pisemny i/lub ustny. Studenta obowiązuje materiał prezentowany w trakcie wykładu; weryfikacja efektów: W1, W2, W3, K1, K2

Ćwiczenia kończą się zaliczeniem na ocenę. Ocena będzie wystawiana na podstawie sprawdzianów i/lub referatu; weryfikacja efektów: U1, U2, U3, U4, K1, K2