Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu - Centralny punkt logowaniaNie jesteś zalogowany | zaloguj się
katalog przedmiotów - pomoc

Arytmetyka i teoria liczb

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-M1ATL Kod Erasmus / ISCED: (brak danych) / (0541) Matematyka
Nazwa przedmiotu: Arytmetyka i teoria liczb
Jednostka: Wydział Matematyki i Informatyki
Grupy: Mat. I st., stacjonarne, przedmioty do wyboru (podstawowe)
Mat., sp. nauczycielskie, II st., stacjonarne, przedmioty do wyboru + uzup. stand. kszt.
Mat+Fiz, I st., stacjonarne, 3 rok, przedmioty obowiązkowe
Mat+Inf, I st., stacjonarne, 3 rok, przedmioty obowiązkowe
Wszystkie przedmioty z WMiI
Punkty ECTS i inne: 6.00
zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: polski
Wymagania wstępne:

Znajomość logiki matematycznej, teorii mnogości,

algebry liniowej i analizy matematycznej oraz podstaw teorii grup i pierścieni.

Całkowity nakład pracy studenta:

30 godzin – wykład

30 godzin – ćwiczenia

2 godziny – egzamin

55 godzin – praca własna: przygotowanie do zajęć, rozwiązywanie zadań, studiowanie literatury

35 godzin – praca własna: przygotowanie do egzaminu


Razem 152 godziny (6 punktów ECTS)

Efekty uczenia się - wiedza:

Student(ka):


W1: zna definicje, konstrukcje i najważniejsze własności zbiorów liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, rzeczywistych, a także zespolonych;


W2: dobrze rozumie podstawowe fakty i twierdzenia elementarnej teorii liczb oraz wykorzystywanych innych działów matematyki, z uwzględnieniem algebry liniowej, algebry wielomianów, teorii grup i analizy matematycznej;


W3: zdaje sobie sprawę z tego, że istnieją stare i otwarte problemy oraz nierozstrzygnięte hipotezy dotyczące elementarnej teorii liczb;

Efekty uczenia się - umiejętności:

Student(ka):


U1: umie przeprowadzać dowody wykorzystujące zasadę minimum, różnego rodzaju indukcje matematyczne oraz formuły rekurencyjne; (K_U03)


U2: potrafi biegle posługiwać się kongruencjami i zna ich podstawowe własności oraz zastosowania;


U3: potrafi dowodzić i sprawdzać zagadnienia dotyczące podzielności liczb i wielomianów; umie wykorzystać twierdzenie chińskie o resztach; zna jego dowody i ma pojęcie o tym, że to twierdzenie występuje w różnych innych działach matematyki;


U4: swobodnie posługuje się pierścieniami skończonymi, w tym pierścieniami liczb całkowitych modulo m;


U5: potrafi przedstawić kilka różnych dowodów nieskończoności zbioru liczb pierwszych oraz nieskończoności specjalnych podzbiorów zbioru liczb całkowitych;


U6: potrafi rozwiązywać podstawowe typy równań diofantycznych, w tym diofantyczne układy równań liniowych oraz różne równania diofantyczne drugiego stopnia;

Efekty uczenia się - kompetencje społeczne:

Student(ka):


K1: właściwie rozumie sformułowania pytań i problemów;


K2: przekazuje innym swoją wiedzę i przemyślenia w zrozumiały sposób;


K3: poprawnie posługuje się terminologią fachową;


K4: myśli twórczo w celu udoskonalenia istniejących bądź stworzenia nowych rozwiązań;

Metody dydaktyczne podające:

- wykład informacyjny (konwencjonalny)

Metody dydaktyczne poszukujące:

- ćwiczeniowa

Skrócony opis:

Przedmiot przeznaczony głównie dla studentów kierunku matematyka, specjalność nauczycielska. Celem wykładu jest zapoznanie studentów z podstawowymi pojęciami elementarnej teorii liczb oraz z podstawowymi konstrukcjami i własnościami zbiorów liczbowych. 

Pełny opis:

  • Informacje o aksjomatach Peano zbioru liczb naturalnych. Definicja, konstrukcja i własności zbiorów liczb całkowitych i wymiernych. 
  • Przedmiot i podstawowe działy teorii liczb. Krótkie informacje z historii rozwoju teorii liczb. Systemy pozycyjne zapisu liczb całkowitych.
  • Teoria podzielności w pierścieniu liczb całkowitych. Algorytm Euklidesa. Największy wspólny dzielnik. Najmniejsza wspólna wielokrotność. Liczby względnie pierwsze. 
  • Kongruencje i pierścienie liczb całkowitych modulo m. 
  • Liczby pierwsze. Dowody istnienia nieskończonej ilości liczb pierwszych. Twierdzenie Dirichleta o liczbach pierwszych w postępach arytmetycznych (informacyjnie) i jego zastosowania. Dowody szczególnych przypadków tego twierdzenia. 
  • Podstawowe funkcje arytmetyczne. Funkcje multyplikatywne. Splot Dirichleta. Funkcja Eulera - Gaussa.
  • Podstawowe twierdzenia teorii liczb. Twierdzenie Eulera. Małe Twierdzenie Fermata. Twierdzenie Wilsona. Twierdzenie Czebyszewa (Postulat Bertranda) - bez dowodu.
  • Chińskie twierdzenie o resztach i jego zastosowanie.
  • Równania diofantyczne. Kongrurencje stopni pierwszego i drugiego.
  • Reszty kwadratowe. Symbole Legendre'a i Jacobiego. Prawo wzajemności reszt kwadratowych. 
  • Przedstawienie liczb naturalnych w postaci sum liczb kwadratowych. Informacje o problemach Waringa.
  • Definicje zbioru liczb rzeczywistych i dowody ich równoważności. Ułamki nieskończone. 
  • Niewymierność pewnych znanych liczb rzeczywistych. 
  • Liczby algebraiczne i przestępne. Twierdzenie Liouville'a.
  • Klasyczne problemy w teorii liczb. 
Literatura:

Literatura podstawowa:

  • W. Marzantowicz, P. Zarzycki, Elementarna teoria liczb, PWN, Warszawa 2006.
  • W. Narkiewicz, Teoria liczb, PWN, Warszawa 2003.
  • A. Nowicki, książki serii "Podróże po Imperium Liczb", Olsztyn, Toruń, 2008 - 2013.
  • W. Sierpiński, 250 zadań z elementarnej teorii liczb, WSiP, Warszawa 1987.
  • W. Sierpiński, Arytmetyka teoretyczna, PWN, Warszawa (wiele wydań).
  • W. Sierpiński, Teoria liczb, PWN, Warszawa 1950 (tom 1), 1959 (tom 2). 
  • W. Sierpiński, Wstęp do teorii liczb, WSiP, Warszawa 1987.
Metody i kryteria oceniania:

Egzamin pisemny – W1, W2, W3.

Kolokwium – U1, U2, U3, U4, U5, U6.

Aktywność – K1, K2, K3, K4.

Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2017/18" (zakończony)

Okres: 2018-02-26 - 2018-09-30
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 30 godzin, 30 miejsc więcej informacji
Wykład, 30 godzin, 30 miejsc więcej informacji
Koordynatorzy: Andrzej Nowicki
Prowadzący grup: Andrzej Nowicki
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Ćwiczenia - Zaliczenie na ocenę
Wykład - Egzamin

Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2018/19" (zakończony)

Okres: 2019-02-25 - 2019-09-30
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 30 godzin, 30 miejsc więcej informacji
Wykład, 30 godzin, 30 miejsc więcej informacji
Koordynatorzy: Andrzej Nowicki
Prowadzący grup: Andrzej Nowicki
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Ćwiczenia - Zaliczenie na ocenę
Wykład - Egzamin

Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2019/20" (zakończony)

Okres: 2020-02-29 - 2020-09-20
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 30 godzin, 30 miejsc więcej informacji
Wykład, 30 godzin, 30 miejsc więcej informacji
Koordynatorzy: Andrzej Nowicki
Prowadzący grup: Andrzej Nowicki, Kamil Palusiński
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Ćwiczenia - Zaliczenie na ocenę
Wykład - Egzamin

Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2020/21" (w trakcie)

Okres: 2021-02-22 - 2021-09-20
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 30 godzin, 30 miejsc więcej informacji
Wykład, 30 godzin, 30 miejsc więcej informacji
Koordynatorzy: Janusz Zieliński
Prowadzący grup: Janusz Zieliński
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Ćwiczenia - Zaliczenie na ocenę
Wykład - Egzamin
Uwagi:

Wykłady i ćwiczenia w formie zdalnej z wykorzystaniem platform BigBlueButton oraz MS Teams.

Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2021/22" (jeszcze nie rozpoczęty)

Okres: 2022-02-21 - 2022-09-30
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 30 godzin, 30 miejsc więcej informacji
Wykład, 30 godzin, 30 miejsc więcej informacji
Koordynatorzy: Janusz Zieliński
Prowadzący grup: Janusz Zieliński
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Ćwiczenia - Zaliczenie na ocenę
Wykład - Egzamin
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu.