Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu - Centralny punkt logowania
Strona główna

Geometria i topologia

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-M1GIT
Kod Erasmus / ISCED: (brak danych) / (0541) Matematyka Kod ISCED - Międzynarodowa Standardowa Klasyfikacja Kształcenia (International Standard Classification of Education) została opracowana przez UNESCO.
Nazwa przedmiotu: Geometria i topologia
Jednostka: Wydział Matematyki i Informatyki
Grupy: Mat., sp. nauczycielskie, II st., stacjonarne, przedmioty do wyboru + uzup. stand. kszt.
Mat+Ekon, I st, stacjonarne, 2 rok, przedmioty obowiązkowe
Punkty ECTS i inne: (brak) Podstawowe informacje o zasadach przyporządkowania punktów ECTS:
  • roczny wymiar godzinowy nakładu pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się dla danego etapu studiów wynosi 1500-1800 h, co odpowiada 60 ECTS;
  • tygodniowy wymiar godzinowy nakładu pracy studenta wynosi 45 h;
  • 1 punkt ECTS odpowiada 25-30 godzinom pracy studenta potrzebnej do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się;
  • tygodniowy nakład pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się pozwala uzyskać 1,5 ECTS;
  • nakład pracy potrzebny do zaliczenia przedmiotu, któremu przypisano 3 ECTS, stanowi 10% semestralnego obciążenia studenta.

zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: polski
Wymagania wstępne:

Znajomość zagadnień poruszanych na kursie analizy matematycznej 1 oraz 2, podstawy logiki oraz teorii mnogości.

Rodzaj przedmiotu:

przedmiot obowiązkowy

Całkowity nakład pracy studenta:

30 godzin wykład

4 godziny egzamin

30 godzin ćwiczenia

60 godzin praca własna (bieżące przygotowanie do zajęć, studiowanie literatury)

30 godzin praca własna (przygotowanie do egzaminu)


Razem: 154 godziny

6 pkt. ECTS


Efekty uczenia się - wiedza:

Po ukończeniu kursu student


W1: definiuje podstawowe pojęcia takie jak metryka, topologia, ciąg zbieżny, zbiór otwarty, zbiór domknięty, odwzorowanie ciągłe, zwartość, spójność, zupełność przestrzeni (K_W01)


W2: wymienia sposoby wprowadzania topologii i opisuje zależności miedzy nimi (K_W01, K_W02)


W3: wylicza podstawowe własności topologiczne przestrzeni i ilustruje je przykładami (K_W01, K_W02)


W4: potrafi opisać operacje na przestrzeniach (np. podprzestrzeń, produkt kartezjański, przestrzeń ilorazowa) i własności powstających tak przestrzeni (K_W02, KW03)


W5: definiuje podstawowe pojęcia związane z teorią homotopii (K_W01, K_W02)


W6: wymienia i formułuje podstawowe twierdzenia topologii ogólnej, ilustruje je przykładami i przedstawia ich uzasadnienia (K_W01, K_W02, K_W03)


W7: Zna metryczną charakteryzację pojęć topologicznych (K_W03)


Efekty uczenia się - umiejętności:

Po ukończeniu kursu student


U1: wyznacza wnętrza i domknięcia konkretnych zbiorów (K_U04)


U2: rozpoznaje i analizuje własności zbiorów i odwzorowań w różnych topologiach (K_U04)


U3: wyjaśnia zależności miedzy poznanymi pojęciami topologicznymi (K_U01, K_U02, K_U04)


U4: stosuje definicje i podstawowe twierdzenia do badania własności przestrzeni metrycznych i topologicznych oraz odwzorowań miedzy nimi (K_U01, K_U03, K_U04, K_U05, K_U07)


U5: porównuje metryczną i topologiczną charakteryzację pojęć takich jak otwartość, domkniętość, ciągłość, zwartość, (K_U01, K_U02, K_U04 K_U07, K_U08)


U6: potrafi w sposób zrozumiały, w mowie i na piśmie,

przedstawiać poprawne rozumowania matematyczne,

formułować twierdzenia i definicje z topologii ogólnej (K_U01, K_U02, K_U04)


U7: poprawnie stosuje rachunek zdań i kwantyfikatorów oraz elementy teorii mnogości do wyrażenia pojęć i faktów topologii ogólnej (K_U02, K_U04, K_U01).


Efekty uczenia się - kompetencje społeczne:

K1: przekazuje innym swoją wiedzę i przemyślenia w zrozumiały sposób; właściwie rozumie sformułowania pytań i problemów, poprawnie posługuje się terminologią fachową (K_K01, K_K03)


K2: analizując problem poprawnie posługuje się zasadami logiki (K_K01).


Metody dydaktyczne:

Wykład prowadzony metodą tradycyjną lub przy wykorzystaniu materiałów elektronicznych (film, wizualizacja, materiały interaktywne). Wprowadzane pojęcia i fakty ilustrowane przykładami.


Ćwiczenia z bezpośrednim udziałem nauczyciela akademickiego wzbogacone o zestawy zadań do indywidualnego rozwiązania.


Metody dydaktyczne podające:

- wykład informacyjny (konwencjonalny)

Metody dydaktyczne poszukujące:

- ćwiczeniowa
- klasyczna metoda problemowa

Metody dydaktyczne w kształceniu online:

- metody służące prezentacji treści

Skrócony opis:

Przedmiot kursowy dla tych studentów III roku studiów pierwszego stopnia na kierunku matematyka i ekonomia, którzy zamierzają uzyskać licencjat z matematyki.

Celem wykładu jest poszerzenie i usystematyzowanie treści związanych z topologią metryczną oraz przedstawienie niektórych podstawowych pojęć i twierdzeń topologii ogólnej.

Ćwiczenia służą pogłębieniu zrozumienia zagadnień poruszanych na wykładzie oraz nabycia umiejętności rozwiązywania konkretnych zadań.

Pełny opis:

1.Podstawowe pojęcia topologii metrycznej.

* metryka, przestrzeń metryczna

* ciągi zbieżne, zupełność

* odwzorowania ciągłe w przestrzeniach metrycznych

2. Przestrzenie topologiczne

* topologia i różne sposoby jej wprowadzania

* otwartość i domkniętość zbiorów

* wnętrze i domkniecie zbioru

* odwzorowania ciągłe, otwarte, domknięte, homeomorfizmy

3. Operacje na przestrzeniach topologicznych

* podprzestrzenie

* produkt kartezjański

* suma i przekrój

* przestrzeń ilorazowa

4. Własności przestrzeni topologicznych

* zwartość

* zależność między zwartością a zupełnością w przestrzeniach metrycznych

* spójność i drogowa spójność

* ośrodkowość

* II aksjomat przeliczalności

* aksjomaty oddzielania

5. Homotopie

* pojęcie homotopii i homotopijnej równoważności

* informacja o grupie podstawowej

Literatura:

Literatura podstawowa:

1. R. Engelking, Topologia ogólna, PWN, Warszawa (wiele wydań)

2. R. Engelking, K. Sieklucki, Geometria i topologia cz. II Topologia, PWN, Warszawa 1980. 

3. R. Engelking, K. Sieklucki, Wstęp do topologii, PWN, Warszawa 1986. 

4. K. Kuratowski, Wstęp do teorii mnogości i topologii, PWN, Warszawa (wiele wydań)

5. H. Patkowska, Wstęp do topologii, PWN, Warszawa 1979

Literatura uzupełniająca:

1. A.W. Archangielski, P.T. Ponomariow, Podstawy topologii ogólnej w zadaniach, PWN, Warszawa 1986

2. I. Dominik, Z. Lewandowska, Zbiór zadań z topologii ogólnej, Wydawnictwo Akademii Pomorskiej w Słupsku, 2008

3. J. M. Jędrzejewski, W. Wilczyński, Przestrzenie metryczne w zadaniach, Wydawnictwo UŁ, Łódź, 1990

4. J. Mioduszewski, Wykłady z topologii. Topologia przestrzeni euklidesowych, Wydawnictwo UŚ, Katowice 1994.

5. J. Mioduszewski, Wykłady z topologii, cz. 2. Przestrzenie topologiczne ogólne, Wydawnictwo UŚ, Katowice 1971

6. W. Rzymowski, Przestrzenie metryczne w analizie, Wydawnictwo UMCS, Lublin 2002

7. K. Sieklucki, Geometria i topologia cz. I Geometria, PWN, Warszawa 1978. 

8. Mateusz Maciejewski, Zbiór zadan z topologii, materiały dydaktyczne dla nauczycieli i studentów, UMK 2013

Metody i kryteria oceniania:

Ćwiczenia kończą się zaliczeniem na ocenę wystawioną na postawie krótkich sprawdzianów przeprowadzanych na zajęciach i kolokwium końcowego. (U1-U7)

Egzamin składa się z części pisemnej i ustnej (W1-W7). Jest możliwość podchodzenia do sprawdzianów (na platformie Moodle) z teorii regularnie w czasie semestru za dodatkowe punkty na egzaminie końcowym.

Przedmiot nie jest oferowany w żadnym z aktualnych cykli dydaktycznych.
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu.
ul. Jurija Gagarina 11, 87-100 Toruń tel: +48 56 611-40-10 https://usosweb.umk.pl/ kontakt deklaracja dostępności USOSweb 7.0.2.0-1 (2024-03-12)