Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu - Centralny punkt logowaniaNie jesteś zalogowany | zaloguj się
katalog przedmiotów - pomoc

Matematyka elementarna

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-M1MEL Kod Erasmus / ISCED: (brak danych) / (0541) Matematyka
Nazwa przedmiotu: Matematyka elementarna
Jednostka: Wydział Matematyki i Informatyki
Grupy: Mat. ogólna, I st., stacjonarne, 1 rok, przedmioty obowiązkowe
Mat+Ekon, I st, stacjonarne, 1 rok, przedmioty obowiązkowe
Mat+Inf, I st., stacjonarne, 1 rok, przedmioty obowiązkowe
Wszystkie przedmioty z WMiI
Punkty ECTS i inne: 6.00
zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: polski
Wymagania wstępne:


Rodzaj przedmiotu:

przedmiot obowiązkowy

Całkowity nakład pracy studenta:

30 godz. - uczestnictwo w wykładzie

60 godz. - uczestnictwo w ćwiczeniach

30 godz. - praca własna - bieżące przygotowanie do ćwiczeń

30 godz. - praca własna - przygotowanie do sprawdzianów i kolokwium


Razem 150 godzin (6 ECTS)

Efekty uczenia się - wiedza:

Po zaliczeniu zajęć z Matematyki elementarnej 1000-M1MEL student osiąga następujące efekty (kody w nawiasach odnoszą się do efektów studiów I stopnia na kierunku matematyka).

Student posiada wiedzę na temat wybranych pojęć "matematyki szkolnej" w zakresie szerszym, niż to przewiduje podstawa programowa nauczania matematyki w szkole ponadpodstawowej:

W1: zna wskazane poniżej pojęcia i związanie z nimi wybrane twierdzenia "matematyki szkolnej",

W2: zna przykłady ilustrujące te pojęcia i ich proste zastosowania,

W3: zna przykłady ścisłej argumentacji matematycznej w kontekście pojęć znanych ze szkoły (K_W03).


Realizacja powyższych efektów konieczna jest dla realizacji efektów kształcenia K_W04 i K_W05 określonych dla studiów I stopnia na kierunku matematyka.


Student

- zna pojęcie zbioru liczb rzeczywistych oraz jego podzbiorów: zbiorów liczb naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych; zna podstawowe własności tych zbiorów liczbowych,

- zna przykłady dowodów niewymierności liczb,

- zna pojęcia silni i współczynnika Newtona w ich aspekcie algebraicznym oraz dwumian Newtona,

- zna pojęcie wartości bezwzględnej - w aspekcie algebraicznym i metrycznym,

- zna definicję pierwiastka arytmetycznego stopnia k liczby oraz pierwiastka nieparzystego stopnia liczby ujemnej; zna własności pierwiastków,

- zna definicje potęgi o wykładniku naturalnym, całkowitym, wymiernym oraz ich własności; ma prawidłowe intuicje dotyczące potęgi o wykładniku niewymiernym,

- zna pojęcie logarytmu oraz podstawowe własności logarytmów,

- zna definicję funkcji oraz terminy: dziedzina, przeciwdziedzina, argument, wartość funkcji, zbiór wszystkich wartości, wykres funkcji liczbowo-liczbowej; rozumie operacyjną rolę zapisu y=f(x),

- zna sformalizowane definicje zbioru wartości funkcji dla określonego zakresu argumentów, przeciwobrazu zbioru (w szczególności zbioru rozwiązań równania f(x)=b i nierówności f(x)<b,... ),

- zna definicje rodzajów monotoniczności funkcji, ograniczoności i nieograniczoności funkcji, ekstremów globalnych i lokalnych, parzystości i nieparzystości, różnowartościowości, odwracalności,

- zna wykresy i własności funkcji liniowych, kwadratowych, homograficznych, potęgowych, wykładniczych, logarytmicznych, trygonometrycznych i cyklometrycznych oraz ich złożeń z funkcją liniową i wartością bezwzględną,

- zna pojęcie złożenia funkcji, w szczególności zna złożenia związane z podstawowymi transformacjami geometrycznymi wykresów funkcji;

- zna wybrane metody rozwiązywania podstawowych równań i nierówności związanych z wymienionymi wcześniej funkcjami elementarnymi oraz ich złożeniami z wartością bezwzględną;

- zna przykłady par funkcji wzajemnie odwrotnych oraz ich wykresy;

- zna pojęcie wielomianu oraz jego podstawowe własności, w szczególności dwie definicje równości dwóch wielomianów, twierdzenie o reszcie, twierdzenie Bezouta oraz schemat Hornera, zna twierdzenie o rozkładzie wielomianu rzeczywistego na czynniki nierozkładalne.



Efekty uczenia się - umiejętności:

Po zaliczeniu zajęć z Matematyki elementarnej 1000-M1MEL student osiąga następujące efekty (kody w nawiasach odnoszą się do studiów I stopnia na kierunku matematyka).

Student swobodniej niż w szkole posługuje się omawianymi na zajęciach pojęciami matematycznymi poznanymi w szkole:

U1: posiada pewne doświadczenie w samodzielnym prowadzeniu prostego rozumowania matematycznego w kontekście wybranych pojęć "matematyki szkolnej" oraz wyrażeniu go w zrozumiały sposób w mowie i na piśmie (K_U01),

U2: w rozwiązaniach zadań "matematyki szkolnej" dostrzega elementy rachunku zdań i funkcji zdaniowych oraz rachunku kwantyfikatorów i świadomie stosuje je w bardzo prostym wnioskowaniu matematycznym (K_U02),

U3: operuje pojęciem liczby rzeczywistej w różnych kontekstach (K_U06),

U4: posługuje się pojęciem funkcji jednej zmiennej o wartościach rzeczywistych w różnych kontekstach (K_U09).


Wymienione wyżej efekty kształcenia ujawnia, gdy:

- wykonuje złożone rachunki arytmetyczne i algebraiczne wymagające stosowania zaplanowanej strategii,

- rozwiązuje typowe w nauczaniu szkolnym równania i nierówności,

- dowodzi proste tożsamości i nierówności, w szczególności wielomianowe i wymierne,

- posługuje się pojęciem wartości bezwzględnej w jej aspekcie algebraicznym, funkcyjnym i metrycznym,

- ze zrozumieniem używa pojęcia pierwiastka dowolnego stopnia oraz potęgi o wykładniku wymiernym, stosuje ich własności w przekształceniach wyrażeń arytmetycznych i algebraicznych,

- używa podstawowych własności logarytmu w obliczeniach, przy rozwiązywaniu prostych równań i nierówności,

- samodzielnie przeprowadza proste dowody niewymierności świadomie stosując metodę dowodzenia przez sprowadzenie do sprzeczności,

- prawidłowo używa terminów: dziedzina, przeciwdziedzina, argument, wartość funkcji, zbiór wszystkich wartości, wykres funkcji,

- komentuje w kontekście wskazanego wykresu funkcji: obraz konkretnego zbioru argumentów, przeciwobraz zbioru (w szczególności zbiór rozwiązań równania f(x)=b i nierówności f(x)< b, ...), rodzaje monotoniczności, ograniczoność, ekstrema globalne i lokalne, parzystość i nieparzystość, różnowartościowość, odwracalność;

- w nietrudnych przypadkach stosuje sformalizowane definicje do uzasadnienia tego, że funkcja zadana wzorem posiada którąś z wymienionych powyżej własności lub jej nie posiada;

- szkicuje wykresy funkcji liniowych, kwadratowych, homograficznych, potęgowych, wykładniczych, logarytmicznych, trygonometrycznych i cyklometrycznych oraz ich złożeń z funkcją liniową i wartością bezwzględną i komentuje ich własności;

- transformuje wykresy wymienionych wyżej funkcji dostrzegając odpowiednie złożenia funkcji w zapisie algebraicznym i, odwrotnie, znając sposób transformowania wykresu funkcji tworzy odpowiedni opis algebraiczny;

- rozwiązuje równania f(x)=b i nierówności f(x)< b,... w przypadku funkcji f wymienionych powyżej oraz niezbyt skomplikowanych złożeń funkcji (w szczególności z wartością bezwzględną);

- używa pojęcia funkcji złożonej, zna warunki istnienia złożenia dwóch funkcji, określa dziedzinę funkcji złożonej;

- wskazuje pary funkcji wzajemnie odwrotnych i opisuje ich własności;

- wykonuje operacje na wielomianach posługując się definicją algebraiczną i definicją funkcyjną równości wielomianów;

- w rozważaniach o wielomianach używa pojęcia podzielności wielomianów oraz operacji dzielenia wielomianów z resztą;

- w prostych przypadkach dokonuje rozkładu wielomianu na czynniki nierozkładalne, także z użyciem twierdzenia Bezouta;

- wskazuje analogie między własnościami zbioru liczb całkowitych i zbioru wielomianów o współczynnikach rzeczywistych;

- wykonuje działania na funkcjach wymiernych.


Efekty uczenia się - kompetencje społeczne:

Po zaliczeniu przedmiotu Matematyka elementarna 1000-M1MEL student osiąga następujące efekty (kody w nawiasach odnoszą się do efektów dla studiów I stopnia na kierunku matematyka):

K1: zna ograniczenia własnej wiedzy i rozumie potrzebę ciągłego jej uzupełniania i pogłębiania (K_K03);

K2: lepiej rozumie specyfikę języka matematycznego i potrafi precyzyjniej formułować myśli (K_K03).


Metody dydaktyczne:

wykłady: informacyjne i problemowe

ćwiczenia: metoda poszukująca ćwiczeniowa i metoda praktyczna połączona z dyskusją


Skrócony opis:

Celem wykładu i ćwiczeń jest systematyzacja i rozszerzenie wiadomości na temat wybranych pojęć matematycznych omawianych w szkole. Zajęcia, mające charakter zajęć wyrównawczych, stanowią pomost między szkolnym i akademickim sposobem studiowania matematyki i ułatwiają zrozumienie innych przedmiotów matematycznych na pierwszym roku studiów.

Pełny opis:

Cele wykładu:

1. uporządkowanie wiadomości i poszerzenie wiedzy zdobytej w szkole na temat wybranych pojęć matematyki szkolnej,

2. pogłębienie rozumienia wybranych pojęć matematyki szkolnej,

3. w ramach pojęć "matematyki szkolnej" dostarczenie szeregu przykładów prawidłowego rozumowania matematycznego i jego zapisu, w szczególności korzystania ze sformalizowanych definicji, dowodzenia wybranych własności liczb i funkcji, rozwiązywania równań, nierówności i ich układów),

4. przygotowanie studentów do samodzielnego rozwiązywania pewnych typów zadań na ćwiczeniach.

Wykłady dotyczą następującej tematyki:

1. Zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory.

2. Podstawowe własności relacji nierówności.

3. Wartość bezwzględna liczby w aspekcie algebraicznym i metrycznym; równania i nierówności z wartością bezwzględną.

4. Pierwiastek dowolnego stopnia.

5. Potęga liczby rzeczywistej (kolejne etapy definiowania, własności).

6. Logarytm i jego własności.

7. Funkcja o dziedzinie i zbiorze wartości zawartych w zbiorze liczb rzeczywistych, jej wykres i własności (m.in. sposoby definiowania, dziedzina, przeciwdziedzina, argument, wartość dla ustalonego argumentu, równość dwóch funkcji, wykres i pewne konwencje związane z jego stosowaniem w praktyce, zbiór wszystkich wartości, obraz podzbioru dziedziny, funkcje "na zbiór'', przeciwobrazy, w szczególności zbiór rozwiązań równania f(x)=a, miejsca zerowe i zbiór rozwiązań nierówności f(x)<a, monotoniczność, ograniczoność, wartość największa, wartość najmniejsza, ekstrema lokalne, parzystość, nieparzystość, okresowość, różnowartościowość, złożenie funkcji, pary funkcji wzajemnie odwrotnych).

8. Wybrane funkcje elementarne i ich własności - funkcje potęgowe, funkcje wykładnicze i logarytmiczne, funkcje trygonometryczne (definicje przez koło trygonometryczne), funkcje cyklometryczne.

9. Analogie między własnościami liczb całkowitych i wielomianów zmiennej rzeczywistej.

Cele ćwiczeń:

1. podniesienie sprawności rachunkowej studenta w zakresie rachunku arytmetycznego i algebraicznego, operowania wyrażeniami z pierwiastkami, potęgami oraz logarytmami.

2. poprawienie umiejętności rozwiązywania równań i nierówności oraz ich układów.

3. przyzwyczajanie studentów do prawidłowego stosowania sformalizowanych definicji oraz twierdzeń, w szczególności do świadomego używania praw rachunku zdań i kwantyfikatorów w rozważaniach dotyczących pojęć znanych z nauczania szkolnego,

4. przyzwyczajenie studentów do samodzielnego przeprowadzania i prawidłowego zapisywania krótkich dowodów wybranych prostych własności liczb, wyrażeń algebraicznych i funkcji,

5. wzbogacenie wyniesionego z nauczania szkolnego zestawu przykładów podstawowych funkcji elementarnych i ich wykresów,

6. przyzwyczajenie do używania pojęcia funkcji złożonej w różnych kontekstach, w szczególności do analizowania własności funkcji złożonych, których wykresy można uzyskać przez wielokrotne podstawowe transformacje wykresów funkcji elementarnych.

Wymienione wyżej cele realizuje się we wszystkich grupach ćwiczeniowych w oparciu o gotowe zestawy zadań.

Literatura:

Literatura podstawowa:

1. M. Gewert, Z. Skoczylas, Wstęp do analizy i algebry, Teoria, przykłady, zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2014.

2. A. Błaszczyk, S. Turek, Matematyka. Od podstaw do elementów matematyki wyższej, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2015.

3. Obowiązujące podręczniki i zbiory zadań dla liceów i techników, zakres rozszerzony.

Literatura uzupełniająca:

1. Podręczniki i zbiory zadań z matematyki dla liceów - sprzed reformy.

Metody i kryteria oceniania:

1. Zajęcia obejmujące wykład i ćwiczenia kończą się zaliczeniem ćwiczeń na ocenę oraz zaliczeniem wykładu. Na ćwiczeniach obowiązuje znajomość treści przekazywanych na wykładach.

2. Warunkiem zaliczenia wykładu jest regularny udział w wykładach (obecność na wykładach jest obowiązkowa) oraz uzyskanie zaliczenia z ćwiczeń.

3. Zasady i kryteria zaliczenia ćwiczeń podawane są przez poszczególnych prowadzących ćwiczenia na pierwszych zajęciach. Ocenę wystawia się na podstawie sprawdzianów - z mniejszych partii materiału i kolokwium - z całości materiału (weryfikacja efektów W1, W2, W3, U1, U2, U3, U4) oraz aktywności studenta w czasie zajęć (weryfikacja efektów W1, W2, W3, U1, U2, U3, U4, K1, K2).

4. Na początku semestru studenci mają możliwość napisania testu diagnozującego. Osoby, które uzyskały dobre wyniki testu, mogą zostać zwolnione z obowiązku uczestniczenia w zajęciach z Matematyki elementarnej (1000-M1MEL) i uzyskują zaliczenie wykładu oraz odpowiednią ocenę z ćwiczeń. Z obowiązku uczestniczenia w zajęciach mogą być zwolnione również te osoby, które odniosły znaczące sukcesy w trakcie nauki matematyki w szkole. Szczegóły podaje wykładowca w czasie pierwszego wykładu.

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2017/18" (zakończony)

Okres: 2017-10-01 - 2018-02-25
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 60 godzin, 30 miejsc więcej informacji
Wykład, 30 godzin, 100 miejsc więcej informacji
Koordynatorzy: Danuta Rozpłoch-Nowakowska
Prowadzący grup: Wojciech Bułatek, Aurelia Dymek, Sylwia Kosowicz, Danuta Rozpłoch-Nowakowska, Natalia Soja-Kukieła, Magdalena Wysokińska-Pliszka
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Zaliczenie na ocenę
Ćwiczenia - Zaliczenie na ocenę
Wykład - Zaliczenie

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2018/19" (zakończony)

Okres: 2018-10-01 - 2019-02-24
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 60 godzin, 30 miejsc więcej informacji
Wykład, 30 godzin, 100 miejsc więcej informacji
Koordynatorzy: Danuta Rozpłoch-Nowakowska
Prowadzący grup: Wojciech Bułatek, Aurelia Dymek, Danuta Rozpłoch-Nowakowska, Natalia Soja-Kukieła, Magdalena Wysokińska-Pliszka
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Zaliczenie na ocenę
Ćwiczenia - Zaliczenie na ocenę
Wykład - Zaliczenie

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2019/20" (zakończony)

Okres: 2019-10-01 - 2020-02-28
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 60 godzin, 30 miejsc więcej informacji
Wykład, 30 godzin, 100 miejsc więcej informacji
Koordynatorzy: Danuta Rozpłoch-Nowakowska
Prowadzący grup: Wojciech Bułatek, Mieczysław Mentzen, Danuta Rozpłoch-Nowakowska, Daniel Strzelecki, Magdalena Wysokińska-Pliszka
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Zaliczenie na ocenę
Ćwiczenia - Zaliczenie na ocenę
Wykład - Zaliczenie

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2020/21" (zakończony)

Okres: 2020-10-01 - 2021-02-21
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 60 godzin, 30 miejsc więcej informacji
Wykład, 30 godzin, 60 miejsc więcej informacji
Koordynatorzy: Danuta Rozpłoch-Nowakowska
Prowadzący grup: Wojciech Bułatek, Danuta Rozpłoch-Nowakowska, Piotr Stefaniak, Magdalena Wysokińska-Pliszka
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Zaliczenie na ocenę
Ćwiczenia - Zaliczenie na ocenę
Wykład - Zaliczenie

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2021/22" (jeszcze nie rozpoczęty)

Okres: 2021-10-01 - 2022-02-20

Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 60 godzin, 30 miejsc więcej informacji
Wykład, 30 godzin, 60 miejsc więcej informacji
Koordynatorzy: Danuta Rozpłoch-Nowakowska
Prowadzący grup: Kamil Palusiński, Danuta Rozpłoch-Nowakowska, Piotr Stefaniak, Magdalena Wysokińska-Pliszka
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Zaliczenie na ocenę
Ćwiczenia - Zaliczenie na ocenę
Wykład - Zaliczenie
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu.