Równania różniczkowe zwyczajne

przedmiot obowiązkowy

45 godz. - wykład;

30 godz. - ćwiczenia;

15 godz. - laboratorium

4 godz. - egzamin;

70 godz. - praca własna - bieżące przygotowanie do zajęć, studiowanie literatury;

30 godz. praca własna - przygotowanie do egzaminu.

Razem: 194 godz.

8 pkt. ECTS

Po ukończeniu kursu 1000-M1RRZ student osiąga następujące efekty (kody odnoszą się do efektów dla studiów I stopnia na kierunku matematyka):

W1: dobrze rozumie rolę i znaczenie dowodu w matematyce, a także pojęcie istotności założeń (K_W02);

W2: zna pojęcia wstępne i przykłady (równanie różniczkowe zwyczajne i jego rozwiązanie, przykłady równań różniczkowych (K_W04);

W3: zna twierdzenia dotyczące istnienia rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych (lemat Eulera, twierdzenie Cauchy-Peano) (K_W04);

W4: zna twierdzenia dotyczące jednoznaczności rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych (nierówność Gronwalla) (K_W04);

W5: zna twierdzenia dotyczące istnienia i jednoznaczności rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych (twierdzenie Picarda-Lindelöfa) (K_W04);

W6: zna globalne twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań (K_W04);

W7: zna pojęcia związane z liniowymi równaniami różniczkowymi (wronskian, lemat Liouville'a, twierdzenie o wariacji stałych, e^(At)) (K_W04);

W8: zna pojecie lokalnego układu dynamicznego indukowanego przez autonomiczne równanie różniczkowe (K_W04).

Po ukończeniu kursu 1000-M1RRZ student osiąga następujące efekty (kody odnoszą się do efektów dla studiów I stopnia na kierunku matematyka):

U1: potrafi w sposób zrozumiały, w mowie i na piśmie, prezentować twierdzenia, ich dowody oraz podstawowe pojęcia przedstawione podczas kursu (K_U01);

U2: potrafi rozwiązywać podstawowe typy równań różniczkowych zwyczajnych, w szczególności układy równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach (K_U19);

U3: potrafi zinterpretować rozwiązanie równania różniczkowego na podstawie portretu fazowego (K_U19);

U4: potrafi stosować twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych (K_U19);

U5: potrafi uczyć się samodzielnie (K_U26).

Po ukończeniu kursu 1000-M1RRZ student osiąga następujące efekty (kody odnoszą się do efektów dla studiów I stopnia na kierunku matematyka):

K1: rozumie we właściwy sposób sformułowania pytań i problemów, poprawnie posługuje się terminologią fachową (K_K02);

K2: analizuje problem w poprawny sposób posługując się zasadami logiki (K_K02);

K3: przekazuje zdobytą wiedzę w zrozumiały sposób (K_K02).

- pokaz

- wykład informacyjny (konwencjonalny)

- ćwiczeniowa
- klasyczna metoda problemowa
- laboratoryjna

Przedmiot przeznaczony dla studentów studiów I stopnia na kierunku matematyka. Wykład podzielony jest na dwie części. Pierwsza część poświęcona jest podstawowym zagadnieniom teorii równań różniczkowych zwyczajnych. W drugiej części omawia się elementy jakościowej teorii równań różniczkowych zwyczajnych.

• Pojęcia wstępne i przykłady (równanie różniczkowe zwyczajne i jego rozwiązanie, przykłady równań różniczkowych zwyczajnych). 
• Istnienie rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych (lemat Eulera, twierdzenie Cauchy-Peano). 
• Jednoznaczność rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych (nierówność Gronwalla). 
• Istnienie i jednoznaczność rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych (twierdzenie Picarda-Lindelöfa). 
• Globalne twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań. 
• Liniowe równania różniczkowe (wronskian, lemat Liouville'a, twierdzenie o wariacji stałych, e^At). 

Literatura podstawowa:

• R. P. Agarwal, R. C. Gupta, Essentials of ordinary differential equations, McGraw-Hill Book Co., Singapore 1993.
• H. Amann, Ordinary differential equations. An introduction to nonlinear analysis, Walter de Gruyter, Berlin New York 1990.
• D. K. Arrowsmith, C. M. Place, Ordinary differential equations. A qualitative approach with applications, Chapman and Hall, London New York, 1982.
• E. A. Coddington, N. Levinson, Theory of ordinary differential equations, Tata McGraw-Hill Publishing Company, New Delhi 1972.
• P. G. Drazin, Nonlinear systems, Cambridge University Press, Cambridge 1992.
• P. Hartman, Ordinary differential equations, John Wiley & Sons Inc., New York 1964.
• J. Ombach, Wykłady z równań różniczkowych wspomagane komputerowo - Maple, Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków 1999.
• L. Perko, Differential equations and dynamical systems, Springer-Verlag, New York 1991. 

Literatura uzupełniająca:

• J. D. Murray, Mathematical biology, Springer-Verlag, Berlin 2004.
• T. Puu, Nonlinear economic dynamics, Springer-Verlag, Berlin 1997.
• T. Puu, Attractors, Bifurcations & Chaos. Nonlinear Phenomena in Economics, Springer-Verlag, Berlin 2000.
• J. D. Samuel, Differential equations in mathematical biology, Chapman & Hall, London 2003.
• J. Uchmański, Klasyczna ekologia matematyczna, PWN, Warszawa, 1992. 

Egzamin ustny: W1, W2, W3, W4, W5, W6, W7, W8, U1, U2, U3, U4, U5, K1, K2, K3.

Kolokwium: W1, W2, W3, W4, W5, W6, W7, W8, U1, U2, U3, U4, U5, K1, K2.

Przedmiot obejmuje 45 godzin wykładu, 30 godzin ćwiczeń i 15 godzin laboratorium.

- Zaliczenie ćwiczeń studenci uzyskują na podstawie otrzymania pozytywnych ocen z dwóch sprawdzianów obejmujących zadania rachunkowe. Zaliczenie laboratorium studenci uzyskują na podstawie pozytywnej oceny ze sprawdzianu obejmującego zadania rachunkowe.

- Egzamin składa się z części ustnej. Odbywa się po II semestrze zajęć.