Teoria Galois

Dobra znajomość logiki matematycznej; teorii mnogości,

algebry liniowej.

Ponadto znajomość podstawowych pojęć i faktów teorii grup oraz

teorii pierścieni przemiennych.

.

30 godz. – wykład

4 godz. - egzamin

30 godz. - ćwiczenia:

50 godz. - praca własna - bieżące przygotowanie do zajęć, studiowanie literatury,

35 godz. praca własna - przygotowanie do egzaminu.

RAZEM: 149 godz.

6 pkt. ECTS

Student rozumie cywilizacyjne znaczenie matematyki i jej zastosowań;

dobrze rozumie rolę i znaczenie dowodu w matematyce, a także pojęcie istotności założeń;

zna podstawowe pojęcia i twierdzenia z poznanych działów matematyki;

zna podstawy teorii grup, teorii pierścieni, algebry liniowej i geometrii;

zna podstawowe twierdzenia teorii ciał;

zna podstawowe twierdzenia klasycznej teorii Galois;

zna istotne zastosowania poznanej teorii.

potrafi w sposób zrozumiały, w mowie i na piśmie, przedstawiać poprawne rozumowania matematyczne, formułować twierdzenia i definicje; umie prowadzić łatwe i średnio trudne dowody.

posługuje się językiem algebraicznym, interpretując zagadnienia z różnych obszarów matematyki;

posługuje się swobodnie pojęciami teorii pierścieni i ciał (głównie zerowej charakterystyki);

umie rozwiązywać podstawowe zadania dotyczące klasycznej teorii Galois;

ma ogólne pojęcie o innych teoriach Galois.

Student przekazuje innym swoją wiedzę i przemyślenia w zrozumiały sposób;

właściwie rozumie sformułowania pytań i problemów,

poprawnie posługuje się terminologią fachową”;

myśli twórczo w celu udoskonalenia istniejących bądź stworzenia nowych rozwiązań.

metody standardowe; wykłady; slajdy; ćwiczenia;

wspólne rozwiązywanie problemów matematycznych; stawianie hipotez;

sprawdziany; testy,...

Przedmiot do wyboru przeznaczony dla studentów kierunku matematyka.

Rozważmy równanie Xⁿ+a_n-1X^n-1+...+a₁X+a₀=0, gdzie f(X)=Xⁿ+a_n-1X^n-1+...+a₁X+a₀  jest wielomianem o współczynnikach zespolonych stopnia n>=2. Z podstawowego twierdzenia algebry wiadomo, że równanie to ma n rozwiązań, czyli istnieją liczby zespolone x₁, ..., x_n takie, że f(x_i)=0 dla i=1, ..., n. Jeśli n=2, to ze szkoły znamy wzory na rozwiązania tego równania. Celem wykładu jest pokazanie, że analogiczne wzory można znaleźć dla n=3 i n=4 oraz roztrzygnięcie dla jakich f(X) takie wzory istnieją, o ile n>=5. W szczególności, pokażemy, że dla równania x⁵-6x-3=0 wzory nie istnieją.

• Wiadomości wstępne: rozszerzenia ciał, ciała algebraicznie domknięte, algebraiczne domknięcie ciała, grupy pierwiastków z jedynki, przykłady.
• Rozszerzenia algebraiczne ciał, rozszerzenia skończone, ciało rozkładu wielomianu, rozszerzenia normalne.
• Grupa Galois rozszerzenia, rozszerzenia Galois, podstawowe twierdzenie teorii Galois, rozszerzenia pierwiastnikowe i ich grupy Galois, zastosowania do rozwiązywania równań algebraicznych. 
• Klasyczne konstrukcje geometryczne.

Literatura podstawowa:

• J. Browkin, Wybrane zagadnienia algebry, PWN, Warszawa 1968.
• J. Browkin, Teoria ciał, PWN, Warszawa 1977.

Literatura uzupełniająca:

• H. M. Edwards, Galois Theory, Springer-Verlag, New York 1984. 
• A. Białynicki-Birula, Zarys algebry, PWN, Warszawa 1987.

Dwa sprawdziany na ćwiczeniach;

egzamin (pisemny i ustny);