Topologia

Zaliczenie przedmiotu Wstęp do matematyki (dotyczy studentów studiów I stopnia)

30 godzin wykład

4 godziny egzamin

30 godzin ćwiczenia

60 godzin praca własna (bieżące przygotowanie do zajęć, studiowanie literatury)

30 godzin praca własna (przygotowanie do egzaminu)

Razem: 154 godziny

6 pkt. ECTS

Po ukończeniu kursu student

W1: definiuje podstawowe pojęcia takie jak metryka, topologia, ciąg zbieżny, zbiór otwarty, zbiór domknięty, odwzorowanie ciągłe, zwartość, spójność, zupełność przestrzeni (K_W01)

W2: wymienia sposoby wprowadzania topologii i opisuje zależności miedzy nimi (K_W01, K_W02)

W3: wylicza podstawowe własności topologiczne przestrzeni i ilustruje je przykładami (K_W01, K_W02)

W4: definiuje i opisuje topologie w przestrzeniach funkcyjnych (K_W01, K_W02)

W5: definiuje podstawowe pojęcia związane z teorią homotopii oraz

rozmaitościami topologicznymi (K_W01, K_W02)

W6: wymienia i formułuje podstawowe twierdzenia topologii ogólnej, ilustruje je przykładami i przestawia ich uzasadnienia (K_W01, K_W02, K_W03)

Po ukończeniu kursu student

U1: wyznacza wnętrza i domknięcia konkretnych zbiorów (K_U04, K_U06)

U2: rozpoznaje i analizuje własności zbiorów i odwzorowań w różnych topologiach (K_U04, K_U06)

U3: wyjaśnia zależności między poznanymi pojęciami topologicznymi (K_U01, K_U04, K_U06)

U4: stosuje definicje i podstawowe twierdzenia do badania własności przestrzeni metrycznych i topologicznych oraz odwzorowań między nimi (K_U01, K_U04, K_U06)

U5: porównuje metryczną i topologiczną charakteryzację pojęć takich jak otwartość, domkniętość, ciągłość, zwartość, (K_U06, K_U01)

U6: analizuje własności podprzestrzeni i produktu kartezjańskiego przestrzeni w zależności od własności przestrzeni wyjściowych (K_U06, K_U01)

U7: rozpoznaje odwzorowania homotopijne i przestrzenie homotopijnie równoważne (K_U06, K_U03)

U8: interpretuje podstawowe pojęcia związane z rozmaitościami (K_U06, K_U04)

U9: potrafi w sposób zrozumiały, w mowie i na piśmie,

przedstawiać poprawne rozumowania matematyczne,

formułować twierdzenia i definicje z topologii ogólnej (K_U01, K_U02, K_U03)

U10: poprawnie stosuje rachunek zdań i kwantyfikatorów oraz elementy teorii mnogości do wyrażenia pojęć i faktów topologii ogólnej (K_U03, K_U01, K_U07).

Po ukończeniu kursów student

K1: przekazuje innym swoją wiedzę i przemyślenia w zrozumiały sposób; właściwie rozumie sformułowania pytań i problemów, poprawnie posługuje się terminologią fachową (K_K02, K_K03)

K2: analizując problem poprawnie posługuje się zasadami logiki (K_K02).

Wykład prowadzony metodą tradycyjną. Wprowadzane pojęcia i fakty ilustrowane przykładami.

Ćwiczenia z bezpośrednim udziałem nauczyciela akademickiego wzbogacone o zestawy zadań do indywidualnego rozwiązania.

- wykład informacyjny (konwencjonalny)
- wykład problemowy

- ćwiczeniowa
- klasyczna metoda problemowa

Przedmiot kursowy dla studentów I roku studiów drugiego stopnia na kierunku matematyka, którzy nie zaliczyli topologii w ramach przedmiotów do wyboru na studiach pierwszego stopnia. Przedmiot do wyboru dla studentów III roku studiów pierwszego stopnia.

Celem wykładu jest poszerzenie i usystematyzowanie treści związanych z topologią metryczną oraz przedstawienie podstawowych pojęć i twierdzeń topologii ogólnej.

Przedmiot ten może być zalecony przez komisję kwalifikacyjną jako przedmiot wyrównawczy uczestnikom studiów 2. stopnia, którzy nie osiągnęli efektów kształcenia tego przedmiotu w trakcie studiów 1. stopnia.

1.Podstawowe pojęcia topologii metrycznej.

* metryka, przestrzeń metryczna

* ciągi zbieżne, zupełność

* odwzorowania ciągłe w przestrzeniach metrycznych

2. Przestrzenie topologiczne

* topologia i różne sposoby jej wprowadzania

* otwartość i domkniętość zbiorów

* wnętrze i domkniecie zbioru

* odwzorowania ciągłe, otwarte, domknięte, homeomorfizmy

* informacja o aksjomatach oddzielania

3. Operacje na przestrzeniach topologicznych

* podprzestrzenie

* produkt kartezjański

* suma i przekrój

* przestrzeń ilorazowa

4. Własności przestrzeni topologicznych

* zwartość

* zależność między zwartością a zupełnością w przestrzeniach metrycznych

* spójność

5. Topologie w przestrzeniach odwzorowań.

* topologia zwarto-otwarta

* topologia zbieżności jednostajnej

6. Homotopie

* pojęcie homotopii i homotopijnej równoważności

* Informacja o grupie podstawowej

7. Rozmaitości

* rozmaitości topologiczne

* klasyfikacja rozmaitości jedno- i dwuwymiarowych

Literatura podstawowa:

1. R. Engelking, Topologia ogólna, PWN, Warszawa (wiele wydań)

2. R. Engelking, K. Sieklucki, Geometria i topologia cz. II Topologia, PWN, Warszawa 1980.

3. R. Engelking, K. Sieklucki, Wstęp do topologii, PWN, Warszawa 1986.

4. K. Kuratowski, Wstęp do teorii mnogości i topologii, PWN, Warszawa (wiele wydań)

5. H. Patkowska, Wstęp do topologii, PWN, Warszawa 1979

Literatura uzupełniająca:

1. A.W. Archangielski, P.T. Ponomariow, Podstawy topologii ogólnej w zadaniach, PWN, Warszawa 1986

2. I. Dominik, Z. Lewandowska, Zbiór zadań z topologii ogólnej, Wydawnictwo Akademii Pomorskiej w Słupsku, 2008

3. J. M. Jędrzejewski, W. Wilczyński, Przestrzenie metryczne w zadaniach, Wydawnictwo UŁ, Łódź, 1990

4. J. Mioduszewski, Wykłady z topologii. Topologia przestrzeni euklidesowych, Wydawnictwo UŚ, Katowice 1994.

5. J. Mioduszewski, Wykłady z topologii, cz. 2. Przestrzenie topologiczne ogólne, Wydawnictwo UŚ, Katowice 1971

6. W. Rzymowski, Przestrzenie metryczne w analizie, Wydawnictwo UMCS, Lublin 2002

7. K. Sieklucki, Geometria i topologia cz. I Geometria, PWN, Warszawa 1978.

Ćwiczenia kończą się zaliczeniem na ocenę wystawioną na postawie krótkich sprawdzianów przeprowadzanych na zajęciach i kolokwium końcowego. Sprawdziany i kolokwium weryfikują efekty U1-U8.

Egzamin składa się z części pisemnej i ustnej. Na ostateczną ocenę ma wpływ ocena uzyskana na ćwiczeniach. Egzamin weryfikuje efekty W1-W6, U9-U10, K1, K2.

Kryteria oceny:

- bardzo dobra – student bardzo dobrze przedstawia i omawia pojęcia z danego zakresu, ilustruje je przykładami lub kontrprzykładami i przeprowadza złożone rozumowania matematyczne

- dobra – student prawidłowo przestawia i omawia pojęcia z danego zakresu, przy ewentualnych wskazówkach egzaminatora, prawidłowo poprawia ewentualne błędy w swojej wypowiedzi, pojęcia i twierdzenia ilustruje przykładami lub kontrprzykładami, przeprowadza mało złożone rozumowania matematyczne

- dostateczna – student prawidłowo przedstawia pojęcia z danego zakresu, przy ewentualnych wskazówkach egzaminatora, i ilustruje je poznanymi przykładami lub kontrprzykładami, umie przeprowadzić elementarne, nie złożone rozumowania matematyczne przedstawione na wykładzie

- niedostateczna – student nie potrafi w dostatecznym stopniu przedstawić pojęć z danego zakresu, nie potrafi poprawić błędów w swojej wypowiedzi pomimo wskazania ich przez egzaminatora, nie potrafi w dostateczny sposób zilustrować pojęć i twierdzeń przykładami lub kontrprzykładami lub nie potrafi przeprowadzić elementarnych rozumowań matematycznych;