Konwersatorium z równań różniczkowych zwyczajnych

Studenci uczęszczający na ten przedmiot powinni ukończyć wcześniej kurs Analizy Matematycznej.

przedmiot obligatoryjny

30 godz. - ćwiczenia;

20 godz. - praca własna - bieżące przygotowanie do zajęć, studiowanie literatury;

10 godz. - praca własna - przygotowanie do zaliczenia.

Razem: 60 godz.

2 pkt. ECTS

Po ukończeniu kursu 1000-KRRZ student osiąga następujące efekty (kody odnoszą się do efektów dla studiów II stopnia na kierunku matematyka):

W1: zna najważniejsze twierdzenia i hipotezy z głównych działów matematyki (twierdzenia dotyczące istnienia i jednoznaczności rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych - twierdzenie Picarda-Lindelöfa, globalne twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań, twierdzenie o wariacji stałych) (K_W03);

W2: zna pojęcia wstępne i przykłady w dziedzinie równań różniczkowych zwyczajnych i jego rozwiązań (K_W03);

W3: zna pojęcia związane z liniowymi równaniami różniczkowymi (wronskian, lemat Liouville'a, e^(At)) (K_W03);

W4: zna i rozumie pojecie i własności lokalnego potoku indukowanego przez równanie różniczkowe zwyczajne (K_W03).

W5: zna klasyfikację portretów fazowych dla liniowych równań różniczkowych (K_W03);

Po ukończeniu kursu 1000-KRRZ student osiąga następujące efekty (kody odnoszą się do efektów dla studiów II stopnia na kierunku matematyka):

U1: posiada umiejętność wyrażania treści matematycznych w mowie i na piśmie, w tekstach matematycznych o różnym charakterze (K_U02);

U2: swobodnie posługuje się metodami rozwiązywania klasycznych równań różniczkowych (potrafi rozwiązywać podstawowe typy równań różniczkowych zwyczajnych, w szczególności układy równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach) (K_U04);

U3: umie stosować oraz przedstawiać w mowie i na piśmie metody teorii równań różniczkowych (potrafi zinterpretować rozwiązanie równania różniczkowego na podstawie portretu fazowego, potrafi stosować twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych) (K_U06).

Po ukończeniu kursu 1000-KRRZ student osiąga następujące efekty (kody odnoszą się do efektów dla studiów II stopnia na kierunku matematyka):

K1: pracuje systematycznie, dotrzymuje terminów (K_K04);

K2: dostrzega w otaczającym świecie możliwości opisu rzeczywistości w języku matematyki (K_K02);

K3: zdobytą wiedzę i umiejętności umie przekazać zarówno w formie pisemnej jak i ustnej (K_K02).

- ćwiczeniowa
- klasyczna metoda problemowa

Przedmiot przeznaczony dla studentów studiów II stopnia na kierunku matematyka prezentuje podstawowe informacje na temat istnienia, jednoznacznosci i własności rozwiązań równań rózniczkowych zwyczajnych.

Dyskutowane będą elementy ilościowej teorii równań różniczkowych zwyczajnych.

Pojęcia wstępne i przykłady (równanie różniczkowe zwyczajne i jego rozwiązanie, rozwiązanie nierozszerzalne i globalne, zagadnienie początkowe, przykłady równań różniczkowych zwyczajnych).

Istnienie i jednoznaczność rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych (twierdzenie Picarda-Lindelöfa).

Globalne twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań.

Metody rozwiązywania równania skalarnego: równanie o zmiennych rozdzielonych, równanie jednorodne, równanie liniowe.

Potok indukowany przez autonomiczne równanie różniczkowe.

Liniowe równania różniczkowe (wronskian, lemat Liouville'a, twierdzenie o wariacji stałych, e^At).

Metoda rozwiązywania układów równań liniowych o stałych współczynnikach.

Portrety fazowe i całkowe równań różniczkowych, a w szczególności portrety fazowe równań liniowych na płaszczyźnie.

R. P. Agarwal, R. C. Gupta, Essentials of ordinary differential equations, McGraw-Hill Book Co., Singapore 1993.

V. I. Arnold, Równania różniczkowe zwyczajne, Warszawa, PWN, 1975.

V.I. Arnold, Teoria równań różniczkowych, Warszawa, PWN, 1983.

E. A. Coddington, N. Levinson, Theory of ordinary differential equations, Tata McGraw-Hill Publishing Company, New Delhi 1972.

P. Hartman, Ordinary differential equations, John Wiley & Sons Inc., New York 1964.

J. Ombach, Wykłady z równań różniczkowych wspomagane komputerowo - Maple, Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków 1999.

A. Palczewski, Równania różniczkowe zwyczajne, Warszawa, WNT, 2004.

A. Pelczar, Wstęp do teorii równań różniczkowych, BM 67, Warszawa, PWN, 1989.

L. Perko, Differential equations and dynamical systems, Springer-Verlag, New York 1991.

Sprawdzian: W1, W2, W3, W4, W5, U1, U2, U3, K3.

Zaliczenie przedmiotu studenci uzyskują na podstawie otrzymania pozytywnej oceny ze sprawdzianu obejmującego zadania rachunkowe.