Modele ciągłe matematyki finansowej

Kurs rachunku prawdopodobieństwa (co najmniej średniozaawansowany, np. w zakresie 1000-M1RPRz lub 1000-M2RPR). Przydatne podstawowe wiadomości z teorii procesów stochastycznych, np. w zakresie 1000-M2PST.

przedmiot fakultatywny

30 godz. - wykład

30 godz. - ćwiczenia

50 godz. - praca własna - bieżące przygotowanie do zajęć, studiowanie literatury

40 godz. - praca własna - przygotowanie do zaliczenia ćwiczeń i egzaminu

RAZEM: 150 godz.

6 pkt. ECTS

Po ukończeniu kursu student:

- posiada podstawową wiedzę z zakresu analizy stochastycznej (m.in. zna pojęcie procesu Wienera, martyngału, całki stochastycznej Ito, zna wzór Ito, twierdzenie Girsanowa, wzór Kaca-Feynmana oraz podstawowe twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań równań stochastycznych Ito) (K_W01, s2, K_W03, s2, K_W04, s2)

- potrafi opisać klasyczny model Blacka-Scholesa rynku finansowego i zna podstawowe pojęcia dotyczące wyceny opcji typu europejskiego, zna podstawowe twierdzenia o wycenie takich opcji w modelu Blacka-Scholesa (K_W03, s2, K_W04, s2)

- zna metody szacowania parametru zmienności w modelu Blacka-Scholesa (szacowanie na podstawie danych historycznych cen akcji oraz na podstawie rynkowych cen opcji) oraz metody numeryczne szacowania ceny sprawiedliwej (aproksymacja dwumianowa, metody Monte Carlo) (K_W03, s2, K_W04, s2)

Po ukończeniu kursu student:

- umie posługiwać się podstawowymi własnościami martyngałów i całki Ito w praktyce (np. umie sprawdzać, czy niektóre ważne procesy są martyngałami, umie wyliczać ich wariację kwadratową, umie wyliczać łączną wariacje kwadratową dwóch procesów Ito, itp.) (K_U06, s2, K_U07, s2

- umie posługiwać się wzorem Ito (m. in. w oparciu o wzór Ito potrafi wyprowadzić wzory na rozwiązania stochastycznych równań liniowych typu multiplikatywnego) (K_U06, s2, K_U07, s2)

- potrafi podać interpretację ekonomiczną podstawowych typów kontraktów opcyjnych (opcje kupna i sprzedaży) i umie praktyczne je wycenić w klasycznym modelu Blacka-Scholesa (od wyszacowania parametrów modelu na podstawie ogólnie dostępnych danych aż do numerycznego przybliżenia ceny sprawiedliwej) (K_U05, s2, K_U08, s2)

Student ma świadomość znaczenia i świadomość ograniczeń metod probabilistycznych w modelowaniu rynków finansowych (K_K03, s2)

- wykład informacyjny (konwencjonalny)

- ćwiczeniowa

Celem wykładu jest wprowadzenie w problematykę wyceny instrumentów finansowych na rynkach finansowych działających w czasie ciągłym. Wykład jest naturalnym przedłużeniem wykładu ,,Modele dyskretne matematyki finansowej", ale znajomość tego ostatniego nie jest od słuchaczy wymagana.

Program wykładu.

Elementy teorii procesów stochastycznych (pojęcie procesu stochastycznego, filtracji, martyngału, proces Wienera).

Elementy analizy stochastycznej (wariacja kwadratowa martyngału, całka stochastyczna Ito, wzór Ito, liniowe stochastyczne równania różniczkowe, twierdzenie Girsanowa, wzór Kaca-Feynmana).

Uwaga. Większość ,,poważnych" twierdzeń zostanie podana bez dowodu. Nacisk położony zostanie na umiejętność ich stosowania.

Klasyczny model Blacka-Scholesa rynku finansowego, wprowadzenie podstawowej terminologii matematyki finansowej (pojęcie kontraktu finansowego, strategii samofinansującej się, ceny sprawiedliwej).

Wycena opcji europejskich w modelu Blacka-Scholesa (przy użyciu twierdzenia o reprezentacji martyngałów i przy użyciu wzoru Kaca-Feynmana). Wzory Blacka-Scholesa na cenę sprawiedliwą opcji kupna i opcji sprzedaży.

Informacja o ogólnej teorii wyceny instrumentów finansowych (semimartyngałowy model rynku, pojęcie arbitrażu, zupełność rynku).

Aproksymacja klasycznego modelu Blacka-Scholesa przez modele dyskretne.

Estymacja współczynnika zmienności w klasycznym modelu Blacka-Scholesa (estymacja na podstawie cen rynkowych opcji i na podstawie historycznych cen akcji).

Numeryczne metody wyznaczania sprawiedliwych cen opcji (przy użyciu aproksymacji dwumianowej i za pomocą metod Monte Carlo).

Literatura podstawowa

- J. Jakubowski, A. Palczewski, M. Rutkowski, Ł. Stettner, Matematyka finansowa, WNT, Warszawa 2003.

- I. Karatzas i S.E. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus, Springer, New York 1988.

Literatura uzupełniająca

- A. Rozkosz, Modele dyskretne matematyki finansowej. Materiały dydaktyczne dla studentów matematyki. Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń 2010.

- A. Weron, R. Weron, Inżynieria finansowa. WNT, Warszawa 1997.

Zaliczenie ćwiczeń odbywa się na podstawie zaliczenia sprawdzianu pisemnego. Egzamin ustny po zaliczeniu zajęć.