Matematyka szkolna z wyższego stanowiska

Znajomość podstawowych zagadnień z zakresu studiów matematycznych I stopnia.

przedmiot obligatoryjny

30 godz. – wykład,

30 godz. - ćwiczenia,

50 godz. - praca własna - bieżące przygotowanie do zajęć, studiowanie literatury,

40 godz. praca własna - przygotowanie do egzaminu,

5 godz. - zaliczenie ćwiczeń i egzamin.

RAZEM: 155 godz.

6 pkt. ECTS

W1: Posiada pogłębioną wiedzę z zakresu matematyki elementarnej (K_W01).

W2: Zna powiązania zagadnień matematyki elementarnej z działami matematyki teoretycznej (K_W04).

W3: Rozumie rolę i znaczenie logiki w konstrukcji rozumowań matematycznych (K_W02).

U1: W dziedzinie matematyki elementarnej potrafi przeprowadzać dowody wybranych twierdzeń, w których stosuje w razie potrzeby również narzędzia z innych działów matematyki (K_U07).

U2: Posiada umiejętność konstruowania rozumowań matematycznych dotyczących wybranych zagadnień matematyki elementarnej (K_U01).

U3: Umie sprawdzić poprawność wnioskowań w budowaniu dowodów formalnych (K_U03).

K1: Przekazuje innym swoją wiedzę i przemyślenia w zrozumiały sposób, właściwie rozumie sformułowania pytań i problemów, poprawnie posługuje się terminologią fachową (K_K02).

- wykład informacyjny (konwencjonalny)
- wykład problemowy

- ćwiczeniowa
- klasyczna metoda problemowa

Wykład jest przeznaczony dla studentów studiów II stopnia,

przygotowujących się do nauczania matematyki w szkole średniej. Celem wykładu jest przedstawienie zagadnień bliskich matematyce szkolnej z perspektywy różnych teorii matematycznych.

1. Wielomiany.

Analogie między podzielnością liczb całkowitych a podzielnością

wielomianów: definicja podzielności, twierdzenie o dzieleniu z resztą,

rozkład na czynniki nierozkładalne. Twierdzenie Bezouta, wzory Viete'a. Rozwiązywanie równań wielomianowych stopnia trzeciego i czwartego.

2. Liczby rzeczywiste.

Dowód niewymierności liczby pi.

3. Nierówności.

Średnie liczbowe i nierówności między nimi. Ogólna nierówność Bernoulliego. Nierówność między średnimi potęgowymi dowolnego rzędu.

4. Funkcje elementarne, równania funkcyjne.

Określenie funkcji elementarnych za pomocą równań funkcyjnych: równania Cauchy'ego, cosinus analityczny.

5. Zbiory wypukłe i funkcje wypukłe.

Zbiory wypukłe, twierdzenie Helly'ego. Funkcje wypukłe, nierówność Jensena.

6. Liczby zespolone w geometrii.

Zastosowanie liczb zespolonych w geometrii płaszczyzny. Twierdzenia Newtona, Gaussa, Pascala i Monge'a.

7. Logika matematyczna.

Języki definiowane rekurencyjnie. Klasyczny rachunek zdań i jego ujęcie aksjomatyczne.

Literatura podstawowa.

1. Z. Bobiński i in., Miniatury matematyczne, t. 2-6, Aksjomat, Toruń.

2. A. Ehrenfeucht, Ciekawy czworościan, PZWS, Warszawa 1966.

3. L. Kourliandtchik, Wędrówki po krainie nierówności, Aksjomat, Toruń 2000.

4. W. Krysicki i in., Z geometrią za pan brat, Iskry, Warszawa 1992.

5. A. Mostowski, M. Stark, Elementy algebry wyższej, PWN, Warszawa (wiele wydań).

6. A. Nowicki, Liczby i funkcje rzeczywiste, OWSIiZ, Olsztyn, Toruń 2010.

7. G. Pastuszak, Logika matematyczna - notatki do wykładu.

Literatura uzupełniająca.

1. E. J. Barbeau, Polynomials, Springer, New York 1995.

2. J. Górnicki, Okruchy matematyki, PWN, Warszawa 1995.

3. B. Miś, Tajemnicza liczba e i inne sekrety matematyki, WNT, Warszawa 1989.

4. Olimpiada Matematyczna, t. 5-8, WSiP, Warszawa.

5. W. Sierpiński, Działania nieskończone, Czytelnik, Warszawa 1948.

6. Z. A. Skopec, Geometriczeskije miniatury, Proswieszczenije, Moskwa 1990.

Egzamin pisemny z wykładu, zaliczenie ćwiczeń