Partial differential equations

Wykład stanowi wstęp do klasycznej teorii równań różniczkowych cząstkowych. Rozpoczyna się od równania transportu w jednym wymiarze i metody charakterystyk dla quasi-liniowych równań pierwszego rzędu. Wprowadza się klasyczne metody rozwiązywania równań oparte na szeregach Fouriera w przypadku równań eliptycznych, reakcji dyfuzji i falowych. Dowodzi się twierdzeń o jednoznaczności dla eliptycznych i parabolicznych zagadnień brzegowych. Wyprowadza również wzory na rozwiązania zagadnienia Poissona czy równania ciepła na całej przestrzeni euklidesowej. Wyprowadza się wzory Kirchhoffa i Poissona dla równania falowego. Ostatnia część wykładu poświęcona jest podstawom przestrzeni Sobolewa i metodzie wariacyjnej dla zagadnień eliptycznych.

• Metoda charakterystyk dla quasi-liniowych równań różniczkowych cząstkowych pierwszego rzędu.
• Zagadnienia eliptyczne: równania Laplace'a i Poissona; twierdzenie o wartości średniej i zastosowania; zagadnienia brzegowe i funkcja Greena.
• Równanie przewodnictwa cieplnego: rozwiązanie podstawowe; zagadnienie początkowe; własność wartości średniej i zasada maksimum.
• Równanie falowe: wzór d'Alemberta; metoda średnich sferycznych; wzór Duhamela dla zagadnień niejednorodnych.
• Przykłady metod energetycznych.
• Metoda rozwijania w szereg: szeregi Fouriera i metoda rozdzielonych zmiennych; zastosowanie do równania ciepła i falowego; wzór d'Alemberta; równanie membrany i falowe w wyższych wymiarach; równanie membrany w zmiennych biegunowych oraz funkcje i szeregi Bessela.
• Ogólne zagadnienia eliptyczne drugiego rzędu: zasada Dirichleta i podstawowy lemat rachunku wariacyjnego; przestrzenie Sobolewa; nierówność Poincarégo; tw. Sobolewa i Rellicha-Kondraszowa; istnienie rozwiązań dla zagadnień eliptycznych - metoda wariacyjna i Laxa-Milgrama; zagadnienie wartości własnych. 

Literatura podstawowa:

1. L. C. Evans, Równania różniczkowe cząstkowe, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2002.

2. P. Strzelecki, Krótkie wprowadzenie do równań różniczkowych cząstkowych, Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego 2006.

Literatura uzupełniająca:

1. N. H. Asmar, Partial Differential Equations with Fourier Series and Boundary Value Problems, Pearson Prentice Hall, 2005.

2. D. Gilbarg, N. Trudinger, Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, Springer 1983.

3. R. K. Nagle, E. B. Saff, Fundamentals of differential equations and boundary value problems problems, Addison-Wesley Publishing Company 1996.

Egzamin: W1, W2, W3, W4, W5, W6, U1, U2, U3, U4, U5, U6, K1, K2, K3, K4.

Ćwiczenia: W1, W2, W3, W4, W5, U1, U2, U3, U4, U5, U6, K1, K2, K3, K4.

Przewiduje się pisemny egzamin po semestrze.

Możliwa jest część ustna z inicjatywy egzaminatora, w przypadku wątpliwości co do wyników części pisemnej lub możliwości podniesienia oceny.

Ćwiczenia kończą się zaliczeniem na ocenę, która jest wystawiana na podstawie końcowego kolokwium. W skład oceny mogą wchodzić również wyniki dodatkowych sprawdzianów i aktywność studenta.

Laboratorium oceniane jest na podstawie przedstawionych implementacji algorytmów dla symulacji numerycznych.

Nie przewiduje się.