Topologia z elementami geometrii

Student powinien mieć wcześniej zaliczony cały kurs analizy matematycznej.

30 godz. – wykład

2 godz. - egzamin

30 godz. - ćwiczenia:

53 godz. - praca własna - bieżące przygotowanie do zajęć, studiowanie literatury,

35 godz. praca własna - przygotowanie do egzaminu.

RAZEM: 150 godz.

6 pkt. ECTS

Student(ka):

W1: zna i rozumie w pogłębionym stopniu własności topologiczne podzbiorów przestrzeni euklidesowych i metrycznych w odniesieniu do podstawowych pojęć topologii - K_W01, K_W02,

W2: zna wybrane powiązania topologii z geometrią podzbiorów przestrzeni euklidesowych - K_W01, K_W02.

Student(ka):

U1: potrafi analizować topologiczne własności konkretnych zbiorów i wyznaczać ich wnętrza i domknięcia - K_U01, K_U04,

U2: potrafi badać równoważność obiektów topologicznych ze względu na wybrane relacje równoważności (homeomorficzność, homotopijną równoważność, homotopijność, itp.)- K_U04, K_U08,

U3: rozpoznaje i bada własności rozmaitości topologicznych zanurzonych w przestrzeniach euklidesowych - K_U04,

U4: potrafi wykorzystywać własności topologiczne zbiorów i funkcji do rozwiązywania zadań o charakterze jakościowym - K_U01, K_U07,

U5: potrafi stosować wiedzę z zakresu topologii do analizy obiektów geometrycznych - K_U07.

Student(ka):

K1: jest gotowy do posługiwania się terminologią "topologiczną" w dyskusjach matematycznych i dzielenia się swoją wiedzą w zrozumiały sposób - K_K03,

K2: jest gotowy do analizowania problemów z zastosowaniem zasad logiki - K_K02, K_K03, K_K04i.

Wykład informacyjny (metoda podająca). Wprowadzane pojęcia i fakty ilustrowane przykładami.

Ćwiczenia z bezpośrednim udziałem nauczyciela akademickiego wzbogacone o zadania do indywidualnego rozwiązania.

- wykład informacyjny (konwencjonalny)

- ćwiczeniowa

Przedmiot obejmuje pogłębioną wiedzę z zakresu teorii przestrzeni metrycznych, podstawową wiedzę na temat przestrzeni topologicznych ze szczególnym uwzględnieniem własności spełnianych przez przestrzenie metryczne. Istotną część materiału stanowi wiedza na temat przestrzeni euklidesowych, w tym zagadnienia niezmienników homeomorfizmów. W szczególności pokazuje się, że przestrzenie euklidesowe o różnych wymiarach algebraicznych nie są homeomorficzne. Własności topologiczne użyte są również do badania pewnych zagadnień geometrycznych. W szczególności wprowadzony jest wzór Eulera oraz omówione są twierdzenia o rozcinaniu przestrzeni euklidesowej.

Rozkład materiału:

1. Przypomnienie podstawowych wiadomości o przestrzeniach metrycznych.

- metryka, metryka indukowana w podzbiorze,

- iloczyny przestrzeni metrycznych, przestrzenie euklidesowe,

- zbiory otwarte i domknięte,

- ciągi zbieżne i fundamentalne,

- odwzorowania ciągłe, homeomorfizmy.

2. Przestrzenie topologiczne; przestrzenie metryczne jako przykłady przestrzeni topologicznych.

- topologia w zbiorze, baza topologii,

- topologia podprzestrzeni i topologia produktowa.

3. Wnętrza i domknięcia zbiorów w przestrzeniach topologicznych

- rodzina zbiorów domkniętych

- definicje wnętrza, domknięcia i brzegu zbioru oraz ich własności.

4. Odwzorowania ciągłe przestrzeni topologicznych

- definicja i warunki równoważne ciągłości,

- własności odwzorowań ciągłych,

- topologie wprowadzone za pomocą funkcji, przykład przestrzeni rzutowej,

- homeomorfizmy, odwzorowania otwarte i domknięte, topologiczna równoważność (homeomorficzność) zbiorów

5. Podstawowe informacje o aksjomatach oddzielania - przestrzenie metryczne jako przestrzenie normalne.

6. Przestrzenie metryczne zupełne.

7. Przestrzenie topologiczne zwarte

- definicja topologiczna i podstawowe własności

- charakteryzacja przestrzeni metrycznych zwartych

- liczba Lebesgue'a pokrycia.

8. Przestrzenie topologiczne spójne

- definicja i podstawowe własności

- podzbiory spójne przestrzeni euklidesowych

- łukowa spójność.

9. Rozmaitości topologiczne zanurzone w przestrzeniach euklidesowych

- definicja rozmaitości bez brzegu i z brzegiem, przykłady

- problem klasyfikacji rozmaitości

10. Homotopie

- odwzorowania homotopijne,

- homotopijna równoważność, typ homotopii, przestrzenie ściągalne,

- mocne retrakty deformacyjne.

11. O topologicznym charakterze wymiaru przestrzeni euklidesowej

- sympleksy i triangulacje, twierdzenie o realizacji,

- lemat Spernera i jego konsekwencje (twierdzenia równoważne nieistnieniu retrakcji sympleksu na jego brzeg),

- twierdzenie o niehomeomorficzności przestrzeni euklidesowych o różnym wymiarze.

12. Wzór Eulera i bryły platońskie

- aksjomat Pasha i twierdzenie Jordana-Dehna o rozcinaniu płaszczyzny łamaną,

- rozcinanie płaszczyzny krzywą zamkniętą bez samoprzecięć,

- wzór Eulera dla grafów,

- twierdzenie o bryłach platońskich.

Literatura podstawowa:

1. R. Engelking, K. Sieklucki, Geometria i topologia cz. II Topologia, PWN, Warszawa 1980.

2. K. Kuratowski, Wstęp do teorii mnogości i topologii, PWN, Warszawa (wiele wydań)

3. J. Mioduszewski, Wykłady z topologii. Topologia przestrzeni euklidesowych, Wydawnictwo UŚ, Katowice 1994.

Literatura uzupełniająca:

1. A.W. Archangielski, P.T. Ponomariow, Podstawy topologii ogólnej w zadaniach, PWN, Warszawa 1986.

2. I. Dominik, Z. Lewandowska, Zbiór zadań z topologii ogólnej, Wydawnictwo Akademii Pomorskiej w Słupsku, 2008.

3. J. M. Jędrzejewski, W. Wilczyński, Przestrzenie metryczne w zadaniach, Wydawnictwo UŁ, Łódź, 1990.

4. W. Rzymowski, Przestrzenie metryczne w analizie, Wydawnictwo UMCS, Lublin 2002

5. K. Sieklucki, Geometria i topologia cz. I Geometria, PWN, Warszawa 1978.

Ćwiczenia kończą się zaliczeniem na ocenę wystawioną na postawie krótkich sprawdzianów i kolokwium końcowego. Sprawdzane jest osiągnięcie efektów uczenia się w zakresie umiejętności wskazanych w sylabusie U1 - U5 oraz kompetencje K1, K2.

Egzamin końcowy sprawdza efekty uczenia się w zakresie wiedzy (W1, W2), umiejętność ilustrowania poznanych pojęć topologicznych przykładami i przeprowadzania rozumowań matematycznych z użyciem tych pojęć i zaprezentowanych twierdzeń oraz efekty K1, K2. Na ocenę dostateczną wymagane jest poprawne przedstawienie wskazanych pojęć i twierdzeń, zilustrowanie ich przykładami oraz wykazanie się umiejętnością przeprowadzenia prostego rozumowania dowodowego. Wyższa ocena zależy od poziomu umiejętności przeprowadzania dowodów poznanych faktów i sprawności w posługiwaniu się pojęciami topologicznymi.