Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu - Centralny punkt logowaniaNie jesteś zalogowany | zaloguj się
katalog przedmiotów - pomoc

Analiza matematyczna II

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-MS1-AnMat2 Kod Erasmus / ISCED: (brak danych) / (0541) Matematyka
Nazwa przedmiotu: Analiza matematyczna II
Jednostka: Wydział Nauk Ekonomicznych i Zarządzania
Grupy: Matematyka stosowana, 1 rok, studia I stopnia
Punkty ECTS i inne: 9.00
Język prowadzenia: polski
Wymagania wstępne:

Dysponuje zakresem wiedzy i umiejętności z zakresu przedmiotów Analiza matematyczna I i Matematyka elementarna

Rodzaj przedmiotu:

przedmiot obowiązkowy

Całkowity nakład pracy studenta:

45 godzin – wykład;

60 godzin – ćwiczenia;

4 godziny – egzamin;

90 godzin – praca własna (bieżące przygotowanie do zajęć, studiowanie literatury);

45 godzin – przygotowanie do egzaminu.


244 godziny, 9 ECTS


Efekty uczenia się - wiedza:

W1: zna pojęcia: granicy funkcji, ciągłości funkcji, pochodnej, funkcji pierwotnej, całki oznaczonej oraz konstrukcję całki Riemanna w odniesieniu do funkcji jednej zmiennej (K_W02) (kody odnoszą się do efektów kształcenia dla studiów I stopnia na kierunku matematyka stosowana)

W2: formułuje podstawowe twierdzenia analizy matematycznej II, ilustruje je przykładami i przedstawia ich uzasadnienia (K_W02)


Efekty uczenia się - umiejętności:

U1: wyznacza granice, pochodne, całki oznaczone i nieoznaczone funkcji jednej zmiennej (K_U08)

U2: bada przebieg zmienności funkcji (K_U08)

U3: znajduje rozwinięcia funkcji w szereg potęgowy (K_U08)


Efekty uczenia się - kompetencje społeczne:

K1: ściśle i precyzyjnie formułuje zdania oraz właściwie rozumie znaczenie formalnego zapisu matematycznego (K_K02, K_K03)

K2: rozwiązując problem poszukuje różnych metod, widząc analogie do innych zagadnień (K_K01, K_K04)


Metody dydaktyczne:

Wykład prowadzony metodą tradycyjną. Wprowadzane pojęcia i fakty ilustrowane są przykładami.

Metody dydaktyczne podające:

- wykład informacyjny (konwencjonalny)

Metody dydaktyczne poszukujące:

- ćwiczeniowa

Skrócony opis:

Celem wykładu jest przedstawienie podstawowych pojęć i faktów w obszarze rachunku różniczkowego i całkowego funkcji jednej zmiennej, z uwzględnieniem granicy i ciągłości funkcji oraz szeregów potęgowych. Ćwiczenia mają charakter rachunkowy. Ich zadaniem jest pomoc w zrozumieniu wykładu oraz nabycie zdolności rachunkowych.

Pełny opis:

Treści programowe wykładu:

1) Granica i ciągłość funkcji

a) Definicja ciągowa i otoczeniowa granicy funkcji w punkcie;

b) Własności granic;

c) Granice niewłaściwe;

d) Pojęcie ciągłości, podstawowe własności funkcji ciągłych, ciągłość funkcji elementarnych;

e) Twierdzenia Darboux i Weierstrassa.

2) Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej

a) Pojęcie pochodnej i jej interpretacja;

b) Pochodne funkcji elementarnych;

c) Pochodna: sumy, iloczynu, ilorazu, złożenia funkcji oraz funkcji odwrotnej;

d) Twierdzenia o wartości średniej: Rolle’a, Cauchy’ego i Lagrange’a;

e) Reguła de L’Hospitala;

f) Pochodne wyższych rzędów;

g) Twierdzenie Taylora i jego zastosowania;

h) Ekstrema funkcji – warunek konieczny i dostateczny;

i) Badanie przebiegu zmienności funkcji: monotoniczność, wypukłość i asymptoty;

j) Przybliżone rozwiązywanie równań.

3) Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej

a) Funkcja pierwotna i jej wyznaczanie: metoda przez podstawianie i przez części;

b) Konstrukcja całki Riemanna, sumy Riemanna;

c) Własności całki, twierdzenia o wartości średniej;

d) Twierdzenie Leibniza – Newtona (podstawowe twierdzenie rachunku całkowego);

e) Informacja o numerycznym wyznaczaniu całki;

f) Całki niewłaściwe i kryteria ich zbieżności.

4) Ciągi i szeregi funkcyjne, szeregi potęgowe

a) Zbieżność punktowa i jednostajna ciągów i szeregów funkcyjnych, kryteria zbieżności jednostajnej;

b) Różniczkowanie i całkowanie ciągów i szeregów funkcyjnych;

c) Szeregi potęgowe, promień i obszar zbieżności szeregu potęgowego, twierdzenie Hadamarda;

d) Rozwijanie funkcji w szereg Taylora.

Treści programowe ćwiczeń:

1) Granica i ciągłość funkcji

a) Obliczanie granicy funkcji w punkcie;

b) Obliczanie granic niewłaściwych;

c) Badanie ciągłości funkcji;

d) Stosowanie twierdzeń Darboux i Weierstrassa.

2) Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej

a) Wyznaczanie z definicji pochodnej funkcji;

b) Wykorzystywanie własności do obliczania pochodnych;

c) Zastosowanie twierdzeń o wartości średniej;

d) Obliczanie granic funkcji przy pomocy reguły de L’Hospitala;

e) Obliczanie pochodnych wyższych rzędów;

f) Zapisywanie wzorów Taylora dla funkcji;

g) Wyznaczanie ekstremów funkcji;

h) Badanie przebiegu zmienności funkcji: określanie przedziałów monotoniczności i wypukłości, wyznaczanie asymptot oraz szkicowanie wykresów funkcji;

i) Znajdowanie przybliżonych rozwiązań równań przy pomocy metod numerycznych.

3) Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej

a) Wyznaczanie funkcji pierwotnej przy wykorzystaniu podstawowych własności, metody przez części i przez podstawienie;

b) Całkowanie funkcji wymiernych i niewymiernych;

c) Obliczanie całki oznaczonej przy użyciu twierdzenia Newtona-Leibniza;

d) Zastosowania geometryczne całki oznaczonej.

4) Ciągi i szeregi funkcyjne, szeregi potęgowe

a) Badanie zbieżności punktowej i jednostajnej ciągów i szeregów funkcyjnych;

b) Różniczkowanie i całkowanie ciągów i szeregów funkcyjnych;

c) Rozwijanie funkcji w szereg potęgowy, wyznaczanie promienia i obszaru zbieżności;

d) Rozwijanie funkcji w szereg Taylora.

Literatura:

Literatura podstawowa:

4) W. Kryszewski, Wykład analizy matematycznej. Cz.1: Funkcje jednej zmiennej, Wydawnictwo UMK, Toruń 2009;

5) K. Kuratowski, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa (wiele wydań);

6) G.M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. I,II, PWN, Warszawa (wiele wydań).

Literatura uzupełniająca (w tym zbiory zadań)

8) W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, t.I, PWN, Warszawa (wiele wydań);

9) J. Banaś, S. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, WNT, Warszawa (wiele wydań);

10) W. Kaczor, Zadania z analizy matematycznej, cz 1, PWN, Warszawa 2005;

11) M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, Definicje, twierdzenia, wzory oraz Przykłady i zadania, Matematyka dla Studentów Politechnik, Oficyna Wydawnicza GiS, wydania z ostatnich lat.

Metody i kryteria oceniania:

Przedmiot kończy się egzaminem pisemnym i ustnym. Ćwiczenia kończą się zaliczeniem na ocenę, która wystawiana jest na podstawie wyników kolokwiów oraz aktywności studenta. W uzgodnieniu z koordynatorem w skład oceny mogą wchodzić również wyniki krótkich sprawdzianów.

Efekty kształcenia sprawdzane podczas zaliczenia, to:

Egzamin pisemny: W1, W2, U1, U2, U3, K1, K2;

Egzamin ustny: W1, W2, K1;

Kolokwia pisemne na ćwiczeniach: U1, U2, U3, K1, K2;

Aktywność: K1, K2.

Praktyki zawodowe:

Nie dotyczy

Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2017/18" (zakończony)

Okres: 2018-02-26 - 2018-09-30
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 60 godzin, 30 miejsc więcej informacji
Wykład, 45 godzin, 100 miejsc więcej informacji
Koordynatorzy: Sławomir Plaskacz
Prowadzący grup: Anna Gołębiewska, Krzysztof Jasiński, Sławomir Plaskacz
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Ćwiczenia - Zaliczenie na ocenę
Wykład - Egzamin
Skrócony opis:

Celem wykładu jest przedstawienie podstawowych pojęć i faktów w obszarze rachunku różniczkowego i całkowego funkcji jednej zmiennej, z uwzględnieniem granicy i ciągłości funkcji oraz szeregów potęgowych. Ćwiczenia mają charakter rachunkowy. Ich zadaniem jest pomoc w zrozumieniu wykładu oraz nabycie zdolności rachunkowych.

Pełny opis:

Treści programowe wykładu:

1) Granica i ciągłość funkcji

a) Definicja ciągowa i otoczeniowa granicy funkcji w punkcie;

b) Własności granic;

c) Granice niewłaściwe;

d) Pojęcie ciągłości, podstawowe własności funkcji ciągłych, ciągłość funkcji elementarnych;

e) Twierdzenia Darboux i Weierstrassa.

2) Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej

a) Pojęcie pochodnej i jej interpretacja;

b) Pochodne funkcji elementarnych;

c) Pochodna: sumy, iloczynu, ilorazu, złożenia funkcji oraz funkcji odwrotnej;

d) Twierdzenia o wartości średniej: Rolle’a, Cauchy’ego i Lagrange’a;

e) Reguła de L’Hospitala;

f) Pochodne wyższych rzędów;

g) Twierdzenie Taylora i jego zastosowania;

h) Ekstrema funkcji – warunek konieczny i dostateczny;

i) Badanie przebiegu zmienności funkcji: monotoniczność, wypukłość i asymptoty;

j) Przybliżone rozwiązywanie równań.

3) Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej

a) Funkcja pierwotna i jej wyznaczanie: metoda przez podstawianie i przez części;

b) Konstrukcja całki Riemanna, sumy Riemanna;

c) Własności całki, twierdzenia o wartości średniej;

d) Twierdzenie Leibniza – Newtona (podstawowe twierdzenie rachunku całkowego);

e) Informacja o numerycznym wyznaczaniu całki;

f) Całki niewłaściwe i kryteria ich zbieżności.

4) Ciągi i szeregi funkcyjne, szeregi potęgowe

a) Zbieżność punktowa i jednostajna ciągów i szeregów funkcyjnych, kryteria zbieżności jednostajnej;

b) Różniczkowanie i całkowanie ciągów i szeregów funkcyjnych;

c) Szeregi potęgowe, promień i obszar zbieżności szeregu potęgowego, twierdzenie Hadamarda;

d) Rozwijanie funkcji w szereg Taylora.

Treści programowe ćwiczeń:

1) Granica i ciągłość funkcji

a) Obliczanie granicy funkcji w punkcie;

b) Obliczanie granic niewłaściwych;

c) Badanie ciągłości funkcji;

d) Stosowanie twierdzeń Darboux i Weierstrassa.

2) Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej

a) Wyznaczanie z definicji pochodnej funkcji;

b) Wykorzystywanie własności do obliczania pochodnych;

c) Zastosowanie twierdzeń o wartości średniej;

d) Obliczanie granic funkcji przy pomocy reguły de L’Hospitala;

e) Obliczanie pochodnych wyższych rzędów;

f) Zapisywanie wzorów Taylora dla funkcji;

g) Wyznaczanie ekstremów funkcji;

h) Badanie przebiegu zmienności funkcji: określanie przedziałów monotoniczności i wypukłości, wyznaczanie asymptot oraz szkicowanie wykresów funkcji;

i) Znajdowanie przybliżonych rozwiązań równań przy pomocy metod numerycznych.

3) Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej

a) Wyznaczanie funkcji pierwotnej przy wykorzystaniu podstawowych własności, metody przez części i przez podstawienie;

b) Całkowanie funkcji wymiernych i niewymiernych;

c) Obliczanie całki oznaczonej przy użyciu twierdzenia Newtona-Leibniza;

d) Zastosowania geometryczne całki oznaczonej.

4) Ciągi i szeregi funkcyjne, szeregi potęgowe

a) Badanie zbieżności punktowej i jednostajnej ciągów i szeregów funkcyjnych;

b) Różniczkowanie i całkowanie ciągów i szeregów funkcyjnych;

c) Rozwijanie funkcji w szereg potęgowy, wyznaczanie promienia i obszaru zbieżności;

d) Rozwijanie funkcji w szereg Taylora.

Literatura:

Literatura podstawowa:

4) W. Kryszewski, Wykład analizy matematycznej. Cz.1: Funkcje jednej zmiennej, Wydawnictwo UMK, Toruń 2009;

5) K. Kuratowski, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa (wiele wydań);

6) G.M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. I,II, PWN, Warszawa (wiele wydań).

Literatura uzupełniająca (w tym zbiory zadań)

8) W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, t.I, PWN, Warszawa (wiele wydań);

9) J. Banaś, S. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, WNT, Warszawa (wiele wydań);

10) W. Kaczor, Zadania z analizy matematycznej, cz 1, PWN, Warszawa 2005;

11) M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, Definicje, twierdzenia, wzory oraz Przykłady i zadania, Matematyka dla Studentów Politechnik, Oficyna Wydawnicza GiS, wydania z ostatnich lat.

Uwagi:

Brak

Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2018/19" (zakończony)

Okres: 2019-02-25 - 2019-09-30
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 60 godzin, 30 miejsc więcej informacji
Wykład, 45 godzin, 100 miejsc więcej informacji
Koordynatorzy: Sławomir Plaskacz
Prowadzący grup: Krzysztof Jasiński, Sławomir Plaskacz
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Ćwiczenia - Zaliczenie na ocenę
Wykład - Egzamin
Skrócony opis:

Celem wykładu jest przedstawienie podstawowych pojęć i faktów w obszarze rachunku różniczkowego i całkowego funkcji jednej zmiennej, z uwzględnieniem granicy i ciągłości funkcji oraz szeregów potęgowych. Ćwiczenia mają charakter rachunkowy. Ich zadaniem jest pomoc w zrozumieniu wykładu oraz nabycie zdolności rachunkowych.

Pełny opis:

Treści programowe wykładu:

1) Granica i ciągłość funkcji

a) Definicja ciągowa i otoczeniowa granicy funkcji w punkcie;

b) Własności granic;

c) Granice niewłaściwe;

d) Pojęcie ciągłości, podstawowe własności funkcji ciągłych, ciągłość funkcji elementarnych;

e) Twierdzenia Darboux i Weierstrassa.

2) Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej

a) Pojęcie pochodnej i jej interpretacja;

b) Pochodne funkcji elementarnych;

c) Pochodna: sumy, iloczynu, ilorazu, złożenia funkcji oraz funkcji odwrotnej;

d) Twierdzenia o wartości średniej: Rolle’a, Cauchy’ego i Lagrange’a;

e) Reguła de L’Hospitala;

f) Pochodne wyższych rzędów;

g) Twierdzenie Taylora i jego zastosowania;

h) Ekstrema funkcji – warunek konieczny i dostateczny;

i) Badanie przebiegu zmienności funkcji: monotoniczność, wypukłość i asymptoty;

j) Przybliżone rozwiązywanie równań.

3) Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej

a) Funkcja pierwotna i jej wyznaczanie: metoda przez podstawianie i przez części;

b) Konstrukcja całki Riemanna, sumy Riemanna;

c) Własności całki, twierdzenia o wartości średniej;

d) Twierdzenie Leibniza – Newtona (podstawowe twierdzenie rachunku całkowego);

e) Informacja o numerycznym wyznaczaniu całki;

f) Całki niewłaściwe i kryteria ich zbieżności.

4) Ciągi i szeregi funkcyjne, szeregi potęgowe

a) Zbieżność punktowa i jednostajna ciągów i szeregów funkcyjnych, kryteria zbieżności jednostajnej;

b) Różniczkowanie i całkowanie ciągów i szeregów funkcyjnych;

c) Szeregi potęgowe, promień i obszar zbieżności szeregu potęgowego, twierdzenie Hadamarda;

d) Rozwijanie funkcji w szereg Taylora.

Treści programowe ćwiczeń:

1) Granica i ciągłość funkcji

a) Obliczanie granicy funkcji w punkcie;

b) Obliczanie granic niewłaściwych;

c) Badanie ciągłości funkcji;

d) Stosowanie twierdzeń Darboux i Weierstrassa.

2) Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej

a) Wyznaczanie z definicji pochodnej funkcji;

b) Wykorzystywanie własności do obliczania pochodnych;

c) Zastosowanie twierdzeń o wartości średniej;

d) Obliczanie granic funkcji przy pomocy reguły de L’Hospitala;

e) Obliczanie pochodnych wyższych rzędów;

f) Zapisywanie wzorów Taylora dla funkcji;

g) Wyznaczanie ekstremów funkcji;

h) Badanie przebiegu zmienności funkcji: określanie przedziałów monotoniczności i wypukłości, wyznaczanie asymptot oraz szkicowanie wykresów funkcji;

i) Znajdowanie przybliżonych rozwiązań równań przy pomocy metod numerycznych.

3) Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej

a) Wyznaczanie funkcji pierwotnej przy wykorzystaniu podstawowych własności, metody przez części i przez podstawienie;

b) Całkowanie funkcji wymiernych i niewymiernych;

c) Obliczanie całki oznaczonej przy użyciu twierdzenia Newtona-Leibniza;

d) Zastosowania geometryczne całki oznaczonej.

4) Ciągi i szeregi funkcyjne, szeregi potęgowe

a) Badanie zbieżności punktowej i jednostajnej ciągów i szeregów funkcyjnych;

b) Różniczkowanie i całkowanie ciągów i szeregów funkcyjnych;

c) Rozwijanie funkcji w szereg potęgowy, wyznaczanie promienia i obszaru zbieżności;

d) Rozwijanie funkcji w szereg Taylora.

Literatura:

Literatura podstawowa:

4) W. Kryszewski, Wykład analizy matematycznej. Cz.1: Funkcje jednej zmiennej, Wydawnictwo UMK, Toruń 2009;

5) K. Kuratowski, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa (wiele wydań);

6) G.M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. I,II, PWN, Warszawa (wiele wydań).

Literatura uzupełniająca (w tym zbiory zadań)

8) W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, t.I, PWN, Warszawa (wiele wydań);

9) J. Banaś, S. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, WNT, Warszawa (wiele wydań);

10) W. Kaczor, Zadania z analizy matematycznej, cz 1, PWN, Warszawa 2005;

11) M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, Definicje, twierdzenia, wzory oraz Przykłady i zadania, Matematyka dla Studentów Politechnik, Oficyna Wydawnicza GiS, wydania z ostatnich lat.

Uwagi:

Brak

Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2019/20" (zakończony)

Okres: 2020-02-29 - 2020-09-20
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 60 godzin, 30 miejsc więcej informacji
Wykład, 45 godzin, 60 miejsc więcej informacji
Koordynatorzy: Sławomir Plaskacz
Prowadzący grup: Aurelia Dymek, Anna Gołębiewska, Sławomir Plaskacz
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Ćwiczenia - Zaliczenie na ocenę
Wykład - Egzamin
Skrócony opis:

Celem wykładu jest przedstawienie podstawowych pojęć i faktów w obszarze rachunku różniczkowego i całkowego funkcji jednej zmiennej, z uwzględnieniem granicy i ciągłości funkcji oraz szeregów potęgowych. Ćwiczenia mają charakter rachunkowy. Ich zadaniem jest pomoc w zrozumieniu wykładu oraz nabycie zdolności rachunkowych.

Pełny opis:

Treści programowe wykładu:

1) Granica i ciągłość funkcji

a) Definicja ciągowa i otoczeniowa granicy funkcji w punkcie;

b) Własności granic;

c) Granice niewłaściwe;

d) Pojęcie ciągłości, podstawowe własności funkcji ciągłych, ciągłość funkcji elementarnych;

e) Twierdzenia Darboux i Weierstrassa.

2) Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej

a) Pojęcie pochodnej i jej interpretacja;

b) Pochodne funkcji elementarnych;

c) Pochodna: sumy, iloczynu, ilorazu, złożenia funkcji oraz funkcji odwrotnej;

d) Twierdzenia o wartości średniej: Rolle’a, Cauchy’ego i Lagrange’a;

e) Reguła de L’Hospitala;

f) Pochodne wyższych rzędów;

g) Twierdzenie Taylora i jego zastosowania;

h) Ekstrema funkcji – warunek konieczny i dostateczny;

i) Badanie przebiegu zmienności funkcji: monotoniczność, wypukłość i asymptoty;

j) Przybliżone rozwiązywanie równań.

3) Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej

a) Funkcja pierwotna i jej wyznaczanie: metoda przez podstawianie i przez części;

b) Konstrukcja całki Riemanna, sumy Riemanna;

c) Własności całki, twierdzenia o wartości średniej;

d) Twierdzenie Leibniza – Newtona (podstawowe twierdzenie rachunku całkowego);

e) Informacja o numerycznym wyznaczaniu całki;

f) Całki niewłaściwe i kryteria ich zbieżności.

4) Ciągi i szeregi funkcyjne, szeregi potęgowe

a) Zbieżność punktowa i jednostajna ciągów i szeregów funkcyjnych, kryteria zbieżności jednostajnej;

b) Różniczkowanie i całkowanie ciągów i szeregów funkcyjnych;

c) Szeregi potęgowe, promień i obszar zbieżności szeregu potęgowego, twierdzenie Hadamarda;

d) Rozwijanie funkcji w szereg Taylora.

Treści programowe ćwiczeń:

1) Granica i ciągłość funkcji

a) Obliczanie granicy funkcji w punkcie;

b) Obliczanie granic niewłaściwych;

c) Badanie ciągłości funkcji;

d) Stosowanie twierdzeń Darboux i Weierstrassa.

2) Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej

a) Wyznaczanie z definicji pochodnej funkcji;

b) Wykorzystywanie własności do obliczania pochodnych;

c) Zastosowanie twierdzeń o wartości średniej;

d) Obliczanie granic funkcji przy pomocy reguły de L’Hospitala;

e) Obliczanie pochodnych wyższych rzędów;

f) Zapisywanie wzorów Taylora dla funkcji;

g) Wyznaczanie ekstremów funkcji;

h) Badanie przebiegu zmienności funkcji: określanie przedziałów monotoniczności i wypukłości, wyznaczanie asymptot oraz szkicowanie wykresów funkcji;

i) Znajdowanie przybliżonych rozwiązań równań przy pomocy metod numerycznych.

3) Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej

a) Wyznaczanie funkcji pierwotnej przy wykorzystaniu podstawowych własności, metody przez części i przez podstawienie;

b) Całkowanie funkcji wymiernych i niewymiernych;

c) Obliczanie całki oznaczonej przy użyciu twierdzenia Newtona-Leibniza;

d) Zastosowania geometryczne całki oznaczonej.

4) Ciągi i szeregi funkcyjne, szeregi potęgowe

a) Badanie zbieżności punktowej i jednostajnej ciągów i szeregów funkcyjnych;

b) Różniczkowanie i całkowanie ciągów i szeregów funkcyjnych;

c) Rozwijanie funkcji w szereg potęgowy, wyznaczanie promienia i obszaru zbieżności;

d) Rozwijanie funkcji w szereg Taylora.

Literatura:

Literatura podstawowa:

4) W. Kryszewski, Wykład analizy matematycznej. Cz.1: Funkcje jednej zmiennej, Wydawnictwo UMK, Toruń 2009;

5) K. Kuratowski, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa (wiele wydań);

6) G.M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. I,II, PWN, Warszawa (wiele wydań).

Literatura uzupełniająca (w tym zbiory zadań)

8) W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, t.I, PWN, Warszawa (wiele wydań);

9) J. Banaś, S. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, WNT, Warszawa (wiele wydań);

10) W. Kaczor, Zadania z analizy matematycznej, cz 1, PWN, Warszawa 2005;

11) M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, Definicje, twierdzenia, wzory oraz Przykłady i zadania, Matematyka dla Studentów Politechnik, Oficyna Wydawnicza GiS, wydania z ostatnich lat.

Uwagi:

Brak

Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2020/21" (w trakcie)

Okres: 2021-02-22 - 2021-09-20
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 60 godzin, 30 miejsc więcej informacji
Wykład, 45 godzin, 60 miejsc więcej informacji
Koordynatorzy: Sławomir Plaskacz
Prowadzący grup: Aleksander Ćwiszewski, Anna Gołębiewska, Sławomir Plaskacz
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Ćwiczenia - Zaliczenie na ocenę
Wykład - Egzamin
Skrócony opis:

Celem wykładu jest przedstawienie podstawowych pojęć i faktów w obszarze rachunku różniczkowego i całkowego funkcji jednej zmiennej, z uwzględnieniem granicy i ciągłości funkcji oraz szeregów potęgowych. Ćwiczenia mają charakter rachunkowy. Ich zadaniem jest pomoc w zrozumieniu wykładu oraz nabycie zdolności rachunkowych.

Pełny opis:

Treści programowe wykładu:

1) Granica i ciągłość funkcji

a) Definicja ciągowa i otoczeniowa granicy funkcji w punkcie;

b) Własności granic;

c) Granice niewłaściwe;

d) Pojęcie ciągłości, podstawowe własności funkcji ciągłych, ciągłość funkcji elementarnych;

e) Twierdzenia Darboux i Weierstrassa.

2) Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej

a) Pojęcie pochodnej i jej interpretacja;

b) Pochodne funkcji elementarnych;

c) Pochodna: sumy, iloczynu, ilorazu, złożenia funkcji oraz funkcji odwrotnej;

d) Twierdzenia o wartości średniej: Rolle’a, Cauchy’ego i Lagrange’a;

e) Reguła de L’Hospitala;

f) Pochodne wyższych rzędów;

g) Twierdzenie Taylora i jego zastosowania;

h) Ekstrema funkcji – warunek konieczny i dostateczny;

i) Badanie przebiegu zmienności funkcji: monotoniczność, wypukłość i asymptoty;

j) Przybliżone rozwiązywanie równań.

3) Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej

a) Funkcja pierwotna i jej wyznaczanie: metoda przez podstawianie i przez części;

b) Konstrukcja całki Riemanna, sumy Riemanna;

c) Własności całki, twierdzenia o wartości średniej;

d) Twierdzenie Leibniza – Newtona (podstawowe twierdzenie rachunku całkowego);

e) Informacja o numerycznym wyznaczaniu całki;

f) Całki niewłaściwe i kryteria ich zbieżności.

4) Ciągi i szeregi funkcyjne, szeregi potęgowe

a) Zbieżność punktowa i jednostajna ciągów i szeregów funkcyjnych, kryteria zbieżności jednostajnej;

b) Różniczkowanie i całkowanie ciągów i szeregów funkcyjnych;

c) Szeregi potęgowe, promień i obszar zbieżności szeregu potęgowego, twierdzenie Hadamarda;

d) Rozwijanie funkcji w szereg Taylora.

Treści programowe ćwiczeń:

1) Granica i ciągłość funkcji

a) Obliczanie granicy funkcji w punkcie;

b) Obliczanie granic niewłaściwych;

c) Badanie ciągłości funkcji;

d) Stosowanie twierdzeń Darboux i Weierstrassa.

2) Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej

a) Wyznaczanie z definicji pochodnej funkcji;

b) Wykorzystywanie własności do obliczania pochodnych;

c) Zastosowanie twierdzeń o wartości średniej;

d) Obliczanie granic funkcji przy pomocy reguły de L’Hospitala;

e) Obliczanie pochodnych wyższych rzędów;

f) Zapisywanie wzorów Taylora dla funkcji;

g) Wyznaczanie ekstremów funkcji;

h) Badanie przebiegu zmienności funkcji: określanie przedziałów monotoniczności i wypukłości, wyznaczanie asymptot oraz szkicowanie wykresów funkcji;

i) Znajdowanie przybliżonych rozwiązań równań przy pomocy metod numerycznych.

3) Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej

a) Wyznaczanie funkcji pierwotnej przy wykorzystaniu podstawowych własności, metody przez części i przez podstawienie;

b) Całkowanie funkcji wymiernych i niewymiernych;

c) Obliczanie całki oznaczonej przy użyciu twierdzenia Newtona-Leibniza;

d) Zastosowania geometryczne całki oznaczonej.

4) Ciągi i szeregi funkcyjne, szeregi potęgowe

a) Badanie zbieżności punktowej i jednostajnej ciągów i szeregów funkcyjnych;

b) Różniczkowanie i całkowanie ciągów i szeregów funkcyjnych;

c) Rozwijanie funkcji w szereg potęgowy, wyznaczanie promienia i obszaru zbieżności;

d) Rozwijanie funkcji w szereg Taylora.

Literatura:

Literatura podstawowa:

4) W. Kryszewski, Wykład analizy matematycznej. Cz.1: Funkcje jednej zmiennej, Wydawnictwo UMK, Toruń 2009;

5) K. Kuratowski, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa (wiele wydań);

6) G.M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. I,II, PWN, Warszawa (wiele wydań).

Literatura uzupełniająca (w tym zbiory zadań)

8) W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, t.I, PWN, Warszawa (wiele wydań);

9) J. Banaś, S. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, WNT, Warszawa (wiele wydań);

10) W. Kaczor, Zadania z analizy matematycznej, cz 1, PWN, Warszawa 2005;

11) M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, Definicje, twierdzenia, wzory oraz Przykłady i zadania, Matematyka dla Studentów Politechnik, Oficyna Wydawnicza GiS, wydania z ostatnich lat.

Uwagi:

Brak

Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2021/22" (jeszcze nie rozpoczęty)

Okres: 2022-02-21 - 2022-09-30
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 60 godzin, 30 miejsc więcej informacji
Wykład, 45 godzin, 60 miejsc więcej informacji
Koordynatorzy: Sławomir Plaskacz
Prowadzący grup: Przemysław Berk, Anna Gołębiewska, Sławomir Plaskacz
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Ćwiczenia - Zaliczenie na ocenę
Wykład - Egzamin
Skrócony opis:

Celem wykładu jest przedstawienie podstawowych pojęć i faktów w obszarze rachunku różniczkowego i całkowego funkcji jednej zmiennej, z uwzględnieniem granicy i ciągłości funkcji oraz szeregów potęgowych. Ćwiczenia mają charakter rachunkowy. Ich zadaniem jest pomoc w zrozumieniu wykładu oraz nabycie zdolności rachunkowych.

Pełny opis:

Treści programowe wykładu:

1) Granica i ciągłość funkcji

a) Definicja ciągowa i otoczeniowa granicy funkcji w punkcie;

b) Własności granic;

c) Granice niewłaściwe;

d) Pojęcie ciągłości, podstawowe własności funkcji ciągłych, ciągłość funkcji elementarnych;

e) Twierdzenia Darboux i Weierstrassa.

2) Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej

a) Pojęcie pochodnej i jej interpretacja;

b) Pochodne funkcji elementarnych;

c) Pochodna: sumy, iloczynu, ilorazu, złożenia funkcji oraz funkcji odwrotnej;

d) Twierdzenia o wartości średniej: Rolle’a, Cauchy’ego i Lagrange’a;

e) Reguła de L’Hospitala;

f) Pochodne wyższych rzędów;

g) Twierdzenie Taylora i jego zastosowania;

h) Ekstrema funkcji – warunek konieczny i dostateczny;

i) Badanie przebiegu zmienności funkcji: monotoniczność, wypukłość i asymptoty;

j) Przybliżone rozwiązywanie równań.

3) Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej

a) Funkcja pierwotna i jej wyznaczanie: metoda przez podstawianie i przez części;

b) Konstrukcja całki Riemanna, sumy Riemanna;

c) Własności całki, twierdzenia o wartości średniej;

d) Twierdzenie Leibniza – Newtona (podstawowe twierdzenie rachunku całkowego);

e) Informacja o numerycznym wyznaczaniu całki;

f) Całki niewłaściwe i kryteria ich zbieżności.

4) Ciągi i szeregi funkcyjne, szeregi potęgowe

a) Zbieżność punktowa i jednostajna ciągów i szeregów funkcyjnych, kryteria zbieżności jednostajnej;

b) Różniczkowanie i całkowanie ciągów i szeregów funkcyjnych;

c) Szeregi potęgowe, promień i obszar zbieżności szeregu potęgowego, twierdzenie Hadamarda;

d) Rozwijanie funkcji w szereg Taylora.

Treści programowe ćwiczeń:

1) Granica i ciągłość funkcji

a) Obliczanie granicy funkcji w punkcie;

b) Obliczanie granic niewłaściwych;

c) Badanie ciągłości funkcji;

d) Stosowanie twierdzeń Darboux i Weierstrassa.

2) Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej

a) Wyznaczanie z definicji pochodnej funkcji;

b) Wykorzystywanie własności do obliczania pochodnych;

c) Zastosowanie twierdzeń o wartości średniej;

d) Obliczanie granic funkcji przy pomocy reguły de L’Hospitala;

e) Obliczanie pochodnych wyższych rzędów;

f) Zapisywanie wzorów Taylora dla funkcji;

g) Wyznaczanie ekstremów funkcji;

h) Badanie przebiegu zmienności funkcji: określanie przedziałów monotoniczności i wypukłości, wyznaczanie asymptot oraz szkicowanie wykresów funkcji;

i) Znajdowanie przybliżonych rozwiązań równań przy pomocy metod numerycznych.

3) Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej

a) Wyznaczanie funkcji pierwotnej przy wykorzystaniu podstawowych własności, metody przez części i przez podstawienie;

b) Całkowanie funkcji wymiernych i niewymiernych;

c) Obliczanie całki oznaczonej przy użyciu twierdzenia Newtona-Leibniza;

d) Zastosowania geometryczne całki oznaczonej.

4) Ciągi i szeregi funkcyjne, szeregi potęgowe

a) Badanie zbieżności punktowej i jednostajnej ciągów i szeregów funkcyjnych;

b) Różniczkowanie i całkowanie ciągów i szeregów funkcyjnych;

c) Rozwijanie funkcji w szereg potęgowy, wyznaczanie promienia i obszaru zbieżności;

d) Rozwijanie funkcji w szereg Taylora.

Literatura:

Literatura podstawowa:

4) W. Kryszewski, Wykład analizy matematycznej. Cz.1: Funkcje jednej zmiennej, Wydawnictwo UMK, Toruń 2009;

5) K. Kuratowski, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa (wiele wydań);

6) G.M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. I,II, PWN, Warszawa (wiele wydań).

Literatura uzupełniająca (w tym zbiory zadań)

8) W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, t.I, PWN, Warszawa (wiele wydań);

9) J. Banaś, S. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, WNT, Warszawa (wiele wydań);

10) W. Kaczor, Zadania z analizy matematycznej, cz 1, PWN, Warszawa 2005;

11) M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, Definicje, twierdzenia, wzory oraz Przykłady i zadania, Matematyka dla Studentów Politechnik, Oficyna Wydawnicza GiS, wydania z ostatnich lat.

Uwagi:

Brak

Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu.