Analiza matematyczna III

Dysponuje zakresem wiedzy i umiejętności z zakresu przedmiotów Analiza matematyczna II i Geometria analityczna.

30 godzin – wykład;

30 godzin – ćwiczenia;

4 godziny – egzamin;

60 godzin – praca własna (bieżące przygotowanie do zajęć, studiowanie literatury);

40 godzin – przygotowanie do egzaminu.

W1: zna pojęcia pochodnej funkcji i odwzorowania wielu zmiennych oraz ich własności i zastosowanie w zagadnieniach optymalizacyjnych (K_W02)

W2: zna metody rachunku całkowego funkcji wielu zmiennych i ich wykorzystanie w zagadnieniach geometrycznych (K_W02)

W3: formułuje podstawowe twierdzenia analizy matematycznej III, ilustruje je przykładami i przedstawia ich uzasadnienia (K_W02)

U1: wyznacza pochodne i całki funkcji wielu zmiennych (K_U08)

U2: stosuje rachunek różniczkowy w zagadnieniach optymalizacyjnych (K_U08)

U3: wykorzystuje rachunek całkowy w zagadnieniach geometrycznych (K_U08)

K1: ściśle i precyzyjnie formułuje zdania oraz właściwie rozumie znaczenie formalnego zapisu matematycznego (K_K02, K_K03)

K2: rozwiązując problem poszukuje różnych metod, widząc analogie do innych zagadnień (K_K01, K_K04)

Wykład prowadzony metodą tradycyjną. Wprowadzane pojęcia i fakty ilustrowane są przykładami.

- wykład informacyjny (konwencjonalny)

Celem wykładu jest przedstawienie podstawowych pojęć i faktów w obszarze rachunku różniczkowego i całkowego (całka Riemanna) funkcji wielu zmiennych, z uwzględnieniem zastosowania w zagadnieniach optymalizacyjnych. Ćwiczenia mają charakter rachunkowy. Ich zadaniem jest pomoc w zrozumieniu wykładu oraz nabycie zdolności rachunkowych.

Treści programowe wykładu:

1) Granice i ciągłość funkcji wielu zmiennych

2) Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych i wektorowych wielu zmiennych

a) Pochodna kierunkowa, cząstkowa i ich własności;

b) Pojęcie pochodnej, macierz Jacobiego, gradient funkcji rzeczywistej i ich interpretacja geometryczna;

c) Pochodna: sumy, iloczynu i złożenia odwzorowań, reguła łańcucha;

d) Pochodne wyższych rzędów, macierz Hessa, twierdzenie Schwarza;

e) Ekstrema lokalne, warunek konieczny i dostateczny;

f) Twierdzenie o funkcji uwikłanej i o lokalnym odwracaniu odwzorowań;

g) Ekstrema związane, metoda mnożników Lagrange’a.

3) Całka funkcji wielu zmiennych

a) Informacja o konstrukcji całki Riemanna funkcji wielu zmiennych;

b) Zamiana całki wielokrotnej na całki iterowane, twierdzenie Fubiniego;

c) Zamiana zmiennych w całce, współrzędne biegunowe, sferyczne i walcowe;

d) Zastosowania całki podwójnej i potrójnej;

e) Całki krzywoliniowe i powierzchniowe.

Treści programowe ćwiczeń:

1) Obliczanie granic i badanie ciągłości funkcji wielu zmiennych.

2) Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych i wektorowych wielu zmiennych

a) Obliczanie pochodnych kierunkowych i cząstkowych;

b) Obliczanie macierzy Jacobiego i gradientu funkcji rzeczywistej;

c) Wykorzystanie własności pochodnej w obliczeniach;

d) Znajdowanie ekstremów lokalnych;

e) Znajdowanie ekstremów związanych.

3) Całka funkcji wielu zmiennych

a) Obliczanie całki Riemanna funkcji wielu zmiennych;

b) Zastosowanie twierdzenia Fubiniego do obliczania całek;

c) Zastosowanie zamiany zmiennych w całce do obliczeń;

d) Wykorzystanie całki podwójnej i potrójnej w zastosowaniach.

Literatura podstawowa:

1) F. Leja, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa (wiele wydań);

2) G.M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t.II, PWN, Warszawa (wiele wydań);

3) M. Spivak, Analiza na rozmaitościach, PWN, Warszawa (wiele wydań).

Literatura uzupełniająca (w tym zbiory zadań):

1) W. Kryszewski, Rachunek Różniczkowy i Całkowy 3 (skrypt dostępny przez Internet);

2) M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 2. Definicje, twierdzenia, wzory oraz Przykłady i zadania, Matematyka dla Studentów Politechnik, Oficyna Wydawnicza GiS, wydania z ostatnich lat;

3) W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, t.II, PWN, Warszawa (wiele wydań);

4) J. Banaś, S. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, WNT, Warszawa (wiele wydań).

Przedmiot kończy się egzaminem pisemnym i ustnym. Ćwiczenia kończą się zaliczeniem na ocenę, która wystawiana jest na podstawie wyników kolokwiów oraz aktywności studenta. W uzgodnieniu z koordynatorem w skład oceny mogą wchodzić również wyniki krótkich sprawdzianów.

Efekty kształcenia sprawdzane podczas zaliczenia, to:

Egzamin pisemny: W1, W2, U1, U2, U3, K1, K2;

Egzamin ustny: W1, W2, K1;

Kolokwia pisemne na ćwiczeniach: U1, U2, U3, K1, K2;

Aktywność: K1, K2.