Matematyka elementarna

Brak wymagań wstępnych

1. 90 godzin kontaktowych - uczestnictwo w zajęciach

2. 85 godz.- praca własna –

• przygotowanie do zajęć na bieżąco (30 godz.),

• przygotowanie zaleconych prac domowych (5 godz.),

• przygotowanie do pisemnych sprawdzianów (50 godz.)

Razem 175 godzin (7 ECTS)

Po zaliczeniu zajęć z Matematyki elementarnej student posiada wiedzę na temat wybranych pojęć "matematyki szkolnej" w zakresie szerszym, niż to przewiduje podstawa programowa nauczania matematyki w szkole średniej oraz elementów matematyki wyższej.

Student:

W1: zna podstawy rachunku: zdań, funkcji zdaniowych, kwantyfikatorów, zbiorów,

W2: zna zasady rozumowania matematycznego i najważniejsze metody dowodzenia twierdzeń,

W3: wie co to jest relacja, a w szczególności relacja równoważności i zna pojęcie klasy abstrakcji,

W4: zna pojęcie zbioru liczb rzeczywistych oraz jego podzbiorów: zbiorów liczb naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych; zna podstawowe własności tych zbiorów liczbowych,

W5: zna twierdzenie o indukcji matematycznej,

W6: zna pojęcia silni i współczynnika Newtona w ich aspekcie algebraicznym oraz dwumian Newtona,

W7: zna pojęcie wartości bezwzględnej - w aspekcie algebraicznym i metrycznym,

W8: zna definicję pierwiastka arytmetycznego stopnia k liczby oraz pierwiastka nieparzystego stopnia liczby ujemnej; zna własności pierwiastków,

W9: zna definicje potęgi o wykładniku naturalnym, całkowitym, wymiernym oraz ich własności; ma prawidłowe intuicje dotyczące potęgi o wykładniku niewymiernym,

W10: zna pojęcie logarytmu oraz podstawowe własności logarytmów,

W11: zna definicję funkcji oraz terminy: dziedzina, przeciwdziedzina, argument, wartość funkcji, zbiór wszystkich wartości, wykres funkcji liczbowo-liczbowej; rozumie operacyjną rolę zapisu y = f(x),

W12: zna sformalizowane definicje zbioru wartości funkcji dla określonego zakresu argumentów, przeciwobrazu zbioru (w szczególności zbioru rozwiązań równania f(x)=b i nierówności f(x) < b,... ),

W13: zna definicje rodzajów monotoniczności funkcji, ograniczoności i nieograniczoności funkcji, parzystości i nieparzystości, okresowości, różnowartościowości, odwracalności,

W14: zna wykresy i własności funkcji liniowych, kwadratowych, homograficznych, potęgowych, wykładniczych, logarytmicznych, trygonometrycznych i cyklometrycznych oraz ich złożeń z funkcją liniową i wartością bezwzględną,

W15: zna pojęcie złożenia funkcji, w szczególności zna złożenia związane z podstawowymi transformacjami geometrycznymi wykresów funkcji,

W16: zna przykłady par funkcji wzajemnie odwrotnych oraz ich wykresy,

W17: zna wybrane metody rozwiązywania podstawowych równań i nierówności związanych z wymienionymi wcześniej funkcjami elementarnymi oraz ich złożeniami z wartością bezwzględną,

W18: zna pojęcie wielomianu oraz jego podstawowe własności, w szczególności dwie definicje równości dwóch wielomianów, twierdzenie o reszcie, twierdzenie Bezoute’a, schemat Hornera, zna twierdzenie o rozkładzie wielomianu rzeczywistego na czynniki nierozkładalne.

Realizacja powyższych efektów konieczna jest dla realizacji efektu kształcenia K_W02 określonego dla studiów na kierunku matematyka stosowana.

Student:

U1: posiada pewne doświadczenie w samodzielnym prowadzeniu prostego rozumowania matematycznego w kontekście wybranych pojęć "matematyki szkolnej" oraz wyrażeniu go w zrozumiały sposób w mowie i na piśmie (K_U06),

U2: w rozwiązaniach zadań "matematyki szkolnej" dostrzega elementy rachunku zdań i funkcji zdaniowych oraz rachunku kwantyfikatorów i świadomie stosuje je w bardzo prostym wnioskowaniu matematycznym (K_U06),

U3: wykonuje działania na zbiorach (K_U06),

U4: posługuje się pojęciem relacji, analizuje własności relacji, opisuje klasy abstrakcji relacji równoważności (K_U06),

U5: posługuje się zasadą indukcji matematycznej w prostych rozumowaniach matematycznych (K_U06),

U6: operuje pojęciem liczby rzeczywistej w różnych kontekstach (K_U06),

U7: posługuje się pojęciem funkcji jednej zmiennej o wartościach rzeczywistych w różnych kontekstach (K_U08),

U8: szkicuje wykresy podstawowych funkcji elementarnych oraz ich transformacji (K_U08),

U9: rozwiązuje równania i nierówności związane z funkcjami elementarnymi oraz ich złożeniami z wartością bezwzględną.

Student:

K1: zna ograniczenia własnej wiedzy i rozumie potrzebę ciągłego jej uzupełniania i pogłębiania,

K2: lepiej rozumie specyfikę języka matematycznego, potrafi precyzyjniej formułować wypowiedzi, w tym pytania służące analizie danego zagadnienia; świadomie prowadzi proste rozumowania matematyczne zgodnie z zasadami logiki,

K3: dba o szczegóły.

Realizacja powyższych efektów konieczna jest dla realizacji efektu kształcenia K_K03 określonego dla studiów na kierunku matematyka stosowana.

Zajęcia prowadzone w formie lekcji – łączących metody podające (wykład, pogadanka), poszukujące (ćwiczenia), praktyczne połączone z dyskusją.

Przedmiot służy:

• systematyzacji i pogłębieniu wiedzy na temat wybranych pojęć matematycznych omawianych w szkole oraz

• rozszerzeniu wiadomości o wybrane elementy z zakresu podstaw matematyki akademickiej.

Zajęcia stanowią pomost między szkolnym i akademickim sposobem studiowania matematyki i ułatwiają zrozumienie innych przedmiotów matematycznych na pierwszym roku studiów.

Cele główne:

• uporządkowanie wiadomości i poszerzenie wiedzy zdobytej w szkole na temat wybranych pojęć matematyki szkolnej,

• pogłębienie rozumienia pojęć matematyki szkolnej,

• zapoznanie z wybranymi pojęciami z zakresu podstaw matematyki akademickiej wyposażającymi studenta w: możliwości sformalizowanego zapisu rozumowania matematycznego, nowe metody dowodzenia twierdzeń i umiejętność abstrahowania pojęć.

Cele szczegółowe:

• podniesienie sprawności rachunkowej studenta w zakresie rachunku arytmetycznego i algebraicznego, operowania wyrażeniami z pierwiastkami, potęgami oraz logarytmami,

• poprawienie umiejętności rozwiązywania równań i nierówności; ich rozszerzenie o rozwiązywanie pewnych typów równań i nierówności, z którymi student nie zetknął się w nauczaniu szkolnym,

• przyzwyczajanie studentów do prawidłowego stosowania sformalizowanych definicji oraz twierdzeń, w szczególności do świadomego używania praw rachunku zdań i kwantyfikatorów głównie w rozważaniach dotyczących pojęć znanych z nauczania szkolnego,

• wyposażenie studentów w umiejętność wykonywania działań na zbiorach, analizowania własności relacji, opisu klas abstrakcji relacji równoważności,

• przyzwyczajenie studentów do samodzielnego przeprowadzania i prowadzenia sformalizowanego zapisu krótkich dowodów wybranych prostych własności liczb, wyrażeń algebraicznych i funkcji,

• zapoznanie studentów z indukcją matematyczną jako metodą dowodzenia twierdzeń,

• wzbogacenie wyniesionego z nauczania szkolnego zestawu przykładów podstawowych funkcji elementarnych i ich wykresów,

• przyzwyczajenie do używania pojęcia funkcji złożonej w różnych kontekstach, w szczególności do analizowania własności funkcji złożonych, których wykresy można uzyskać przez wielokrotne podstawowe transformacje wykresów funkcji elementarnych.

Wymienione wyżej cele realizuje się w oparciu o materiały autorskie prowadzących zajęcia (konspekty) oraz – wspólne dla wszystkich grup ćwiczeniowych – gotowe zestawy zadań.

Tematyka zajęć:

• Rachunek zdań, funkcji zdaniowych, kwantyfikatorów.

• Rachunek zbiorów.

• Relacja równoważności, klasy abstrakcji relacji równoważności.

• Zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory.

• Zasada indukcji matematycznej.

• Wartość bezwzględna liczby w aspekcie algebraicznym i metrycznym; równania i nierówności z wartością bezwzględną.

• Pierwiastek dowolnego stopnia.

• Potęga liczby rzeczywistej (kolejne etapy definiowania, własności).

• Logarytm i jego własności.

• Funkcja o dziedzinie i zbiorze wartości zawartych w zbiorze liczb rzeczywistych, jej wykres i własności (m.in. sposoby definiowania, dziedzina, przeciwdziedzina, argument, wartość dla ustalonego argumentu, równość dwóch funkcji, wykres i pewne konwencje związane z jego stosowaniem w praktyce, zbiór wszystkich wartości, obraz podzbioru dziedziny, funkcje ,,na zbiór'', przeciwobrazy, w szczególności zbiór rozwiązań równania f(x) = a, miejsca zerowe i zbiór rozwiązań nierówności f(x) < a, monotoniczność, ograniczoność, wartość największa, wartość najmniejsza, ekstrema lokalne, parzystość, nieparzystość, okresowość, różnowartościowość, złożenie funkcji, pary funkcji wzajemnie odwrotnych).

• Wybrane funkcje elementarne i ich własności - funkcje potęgowe, funkcje wykładnicze i logarytmiczne, funkcje trygonometryczne (definicje przez koło trygonometryczne), funkcje cyklometryczne.

• Analogie między własnościami liczb całkowitych i wielomianów zmiennej rzeczywistej.

Literatura podstawowa:

1. M. Gewert, Z. Skoczylas, Wstęp do analizy i algebry, Teoria, przykłady, zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2014.

2. A. Błaszczyk, S. Turek, Matematyka. Od podstaw do elementów matematyki wyższej, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2015.

3. J. Kraszewski, Wstęp do matematyki, Wydawnictwo WNT, Warszawa 2012.

4. Obowiązujące podręczniki i zbiory zadań dla liceów i techników, zakres rozszerzony (w szczególności Oficyny Edukacyjnej Krzysztof Pazdro).

Literatura uzupełniająca:

1. W. Marek, J. Onyszkiewicz, Elementy logiki i teorii mnogości w zadaniach, PWN, Warszawa (wiele wydań).

2. Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski, Wstęp do matematyki. Zbiór zadań, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2016.

5. A. Błaszczyk, S. Turek, Teoria mnogości, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2009.

3. Podręczniki i zbiory zadań z matematyki dla liceów i techników - sprzed reformy.

1. Zajęcia kończą się zaliczeniem na ocenę.

2. Szczegółowe zasady i kryteria zaliczenia przedmiotu podawane są przez poszczególnych prowadzących na pierwszych zajęciach (w tym liczba sprawdzianów oraz ich punktacja w danym cyklu).

3. Warunkiem koniecznym zaliczenia przedmiotu jest regularny udział w zajęciach.

4. Ocenę wystawia się na podstawie:

sprawdzianów z mniejszych partii materiału i kolokwium z całości materiału (weryfikacja efektów W1-W18, U1-U9),

przygotowania zadań domowych (weryfikacja efektów W1-W18, U1-U9, K1),

aktywności studenta w czasie zajęć (weryfikacja efektów W1-W18, U1-U9, K2, K3).

5. Na początku semestru studenci mają możliwość napisania testu diagnozującego. Osoby, które uzyskały dobre wyniki testu, mogą zostać zwolnione z obowiązku uczestniczenia w zajęciach z Matematyki elementarnej (1000-MS1-MatElem) pod warunkiem uzupełnienia i zaliczenia dodatkowej części materiału. Uzyskują odpowiednią ocenę z przedmiotu. Z obowiązku uczestniczenia w zajęciach mogą być zwolnione również te osoby, które odniosły znaczące sukcesy w trakcie nauki matematyki w szkole. Szczegóły podaje prowadzący w czasie pierwszych zajęć.

Nie dotyczy