Matematyka elementarna

Brak wymagań wstępnych

1. 60 godzin kontaktowych - uczestnictwo w zajęciach

2. 60 godz.- praca własna –

• przygotowanie do zajęć na bieżąco (30 godz.),

• przygotowanie zaleconych prac domowych (5 godz.),

• przygotowanie do pisemnych sprawdzianów (25 godz.)

Razem 120 godzin (6 ECTS)

Po zaliczeniu zajęć z Matematyki elementarnej student posiada wiedzę na temat wybranych pojęć "matematyki szkolnej" w zakresie szerszym, niż to przewiduje podstawa programowa nauczania matematyki w szkole średniej oraz elementów matematyki wyższej.

Student:

W1: zna pojęcia silni i współczynnika Newtona w ich aspekcie algebraicznym oraz dwumian Newtona,

W2: zna pojęcie wartości bezwzględnej - w aspekcie algebraicznym i metrycznym,

W3: zna definicję pierwiastka arytmetycznego stopnia k liczby oraz pierwiastka nieparzystego stopnia liczby ujemnej; zna własności pierwiastków,

W4: zna definicje potęgi o wykładniku naturalnym, całkowitym, wymiernym oraz ich własności; ma prawidłowe intuicje dotyczące potęgi o wykładniku niewymiernym,

W5: zna pojęcie logarytmu oraz podstawowe własności logarytmów,

W6: zna definicję funkcji oraz terminy: dziedzina, przeciwdziedzina, argument, wartość funkcji, zbiór wszystkich wartości, wykres funkcji liczbowo-liczbowej; rozumie operacyjną rolę zapisu y = f(x),

W7: zna sformalizowane definicje zbioru wartości funkcji dla określonego zakresu argumentów, przeciwobrazu zbioru (w szczególności zbioru rozwiązań równania f(x)=b i nierówności f(x) < b,... ),

W8: zna definicje rodzajów monotoniczności funkcji, ograniczoności i nieograniczoności funkcji, parzystości i nieparzystości, okresowości, różnowartościowości, odwracalności,

W9: zna wykresy i własności funkcji liniowych, kwadratowych, homograficznych, potęgowych, wykładniczych, logarytmicznych, trygonometrycznych i cyklometrycznych oraz ich złożeń z funkcją liniową i wartością bezwzględną,

W10: zna pojęcie złożenia funkcji, w szczególności zna złożenia związane z podstawowymi transformacjami geometrycznymi wykresów funkcji,

W11: zna przykłady par funkcji wzajemnie odwrotnych oraz ich wykresy,

W12: zna wybrane metody rozwiązywania podstawowych równań i nierówności związanych z wymienionymi wcześniej funkcjami elementarnymi oraz ich złożeniami z wartością bezwzględną,

W13: zna pojęcie wielomianu oraz jego podstawowe własności, w szczególności dwie definicje równości dwóch wielomianów, twierdzenie o reszcie, twierdzenie Bezoute’a, schemat Hornera, zna twierdzenie o rozkładzie wielomianu rzeczywistego na czynniki nierozkładalne.

Realizacja powyższych efektów konieczna jest dla realizacji efektu kształcenia K_W02 określonego dla studiów na kierunku matematyka stosowana.

Student:

U1: posiada pewne doświadczenie w samodzielnym prowadzeniu prostego rozumowania matematycznego w kontekście wybranych pojęć "matematyki szkolnej" oraz wyrażeniu go w zrozumiały sposób w mowie i na piśmie (K_U06),

U2: posługuje się pojęciem funkcji jednej zmiennej o wartościach rzeczywistych w różnych kontekstach (K_U08),

U3: szkicuje wykresy podstawowych funkcji elementarnych oraz ich transformacji (K_U08),

U4: rozwiązuje równania i nierówności związane z funkcjami elementarnymi oraz ich złożeniami z wartością bezwzględną.

Student:

K1: zna ograniczenia własnej wiedzy i rozumie potrzebę ciągłego jej uzupełniania i pogłębiania,

K2: lepiej rozumie specyfikę języka matematycznego, potrafi precyzyjniej formułować wypowiedzi, w tym pytania służące analizie danego zagadnienia; świadomie prowadzi proste rozumowania matematyczne zgodnie z zasadami logiki,

K3: dba o szczegóły.

Realizacja powyższych efektów konieczna jest dla realizacji efektu kształcenia K_K03 określonego dla studiów na kierunku matematyka stosowana.

Zajęcia prowadzone w formie lekcji – łączących metody podające (wykład, pogadanka), poszukujące (ćwiczenia), praktyczne połączone z dyskusją.

Przedmiot służy:

• systematyzacji i pogłębieniu wiedzy na temat wybranych pojęć matematycznych omawianych w szkole oraz

• rozszerzeniu wiadomości o wybrane elementy z zakresu podstaw matematyki akademickiej.

Zajęcia stanowią pomost między szkolnym i akademickim sposobem studiowania matematyki i ułatwiają zrozumienie innych przedmiotów matematycznych na pierwszym roku studiów.

Cele główne:

• uporządkowanie wiadomości i poszerzenie wiedzy zdobytej w szkole na temat wybranych pojęć matematyki szkolnej,

• pogłębienie rozumienia pojęć matematyki szkolnej,

• zapoznanie z wybranymi pojęciami z zakresu podstaw matematyki akademickiej wyposażającymi studenta w: możliwości sformalizowanego zapisu rozumowania matematycznego, nowe metody dowodzenia twierdzeń i umiejętność abstrahowania pojęć.

Cele szczegółowe:

• podniesienie sprawności rachunkowej studenta w zakresie rachunku arytmetycznego i algebraicznego, operowania wyrażeniami z pierwiastkami, potęgami oraz logarytmami,

• poprawienie umiejętności rozwiązywania równań i nierówności; ich rozszerzenie o rozwiązywanie pewnych typów równań i nierówności, z którymi student nie zetknął się w nauczaniu szkolnym,

• przyzwyczajanie studentów do prawidłowego stosowania sformalizowanych definicji oraz twierdzeń, głównie w rozważaniach dotyczących pojęć znanych z nauczania szkolnego,

• przyzwyczajenie studentów do samodzielnego przeprowadzania i prowadzenia sformalizowanego zapisu krótkich dowodów wybranych prostych własności wyrażeń algebraicznych i funkcji,

• wzbogacenie wyniesionego z nauczania szkolnego zestawu przykładów podstawowych funkcji elementarnych i ich wykresów,

• przyzwyczajenie do używania pojęcia funkcji złożonej w różnych kontekstach, w szczególności do analizowania własności funkcji złożonych, których wykresy można uzyskać przez wielokrotne podstawowe transformacje wykresów funkcji elementarnych.

Wymienione wyżej cele realizuje się w oparciu o materiały autorskie prowadzących zajęcia (konspekty) oraz – wspólne dla wszystkich grup ćwiczeniowych – gotowe zestawy zadań.

Tematyka zajęć:

• Wartość bezwzględna liczby w aspekcie algebraicznym i metrycznym; równania i nierówności z wartością bezwzględną.

• Pierwiastek dowolnego stopnia.

• Potęga liczby rzeczywistej (kolejne etapy definiowania, własności).

• Logarytm i jego własności.

• Funkcja o dziedzinie i zbiorze wartości zawartych w zbiorze liczb rzeczywistych, jej wykres i własności (m.in. sposoby definiowania, dziedzina, przeciwdziedzina, argument, wartość dla ustalonego argumentu, równość dwóch funkcji, wykres i pewne konwencje związane z jego stosowaniem w praktyce, zbiór wszystkich wartości, obraz podzbioru dziedziny, funkcje ,,na zbiór'', przeciwobrazy, w szczególności zbiór rozwiązań równania f(x) = a, miejsca zerowe i zbiór rozwiązań nierówności f(x) < a, monotoniczność, ograniczoność, wartość największa, wartość najmniejsza, ekstrema lokalne, parzystość, nieparzystość, okresowość, różnowartościowość, złożenie funkcji, pary funkcji wzajemnie odwrotnych).

• Wybrane funkcje elementarne i ich własności - funkcje potęgowe, funkcje wykładnicze i logarytmiczne, funkcje trygonometryczne (definicje przez koło trygonometryczne), funkcje cyklometryczne.

• Analogie między własnościami liczb całkowitych i wielomianów zmiennej rzeczywistej.

Literatura podstawowa:

1. M. Gewert, Z. Skoczylas, Wstęp do analizy i algebry, Teoria, przykłady, zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2014.

2. A. Błaszczyk, S. Turek, Matematyka. Od podstaw do elementów matematyki wyższej, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2015.

3. Obowiązujące podręczniki i zbiory zadań dla liceów i techników, zakres rozszerzony (w szczególności Oficyny Edukacyjnej Krzysztof Pazdro oraz wydawnictwa Nowa Era).

Literatura uzupełniająca:

Podręczniki i zbiory zadań z matematyki dla liceów i techników - sprzed reformy.

1. Zajęcia kończą się zaliczeniem na ocenę.

2. Szczegółowe zasady i kryteria zaliczenia przedmiotu podawane są przez poszczególnych prowadzących na pierwszych zajęciach (w tym liczba sprawdzianów oraz ich punktacja w danym cyklu).

3. Warunkiem koniecznym zaliczenia przedmiotu jest regularny udział w zajęciach.

4. Ocenę wystawia się na podstawie:

sprawdzianów z mniejszych partii materiału i kolokwium z całości materiału (weryfikacja efektów W1-W13, U1-U4),

przygotowania zadań domowych (weryfikacja efektów W1-W13, U1-U4, K1),

aktywności studenta w czasie zajęć (weryfikacja efektów W1-W13, U1-U4, K2, K3).

5. Na początku semestru studenci mają możliwość napisania testu diagnozującego. Osoby, które uzyskały dobre wyniki testu, mogą zostać zwolnione z obowiązku uczestniczenia w zajęciach z Matematyki elementarnej (1000-MS1-MatElem) pod warunkiem uzupełnienia i zaliczenia dodatkowej części materiału. Uzyskują odpowiednią ocenę z przedmiotu. Z obowiązku uczestniczenia w zajęciach mogą być zwolnione również te osoby, które odniosły znaczące sukcesy w trakcie nauki matematyki w szkole. Szczegóły podaje prowadzący w czasie pierwszych zajęć.

Nie dotyczy