Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu - Centralny punkt logowaniaNie jesteś zalogowany | zaloguj się
katalog przedmiotów - pomoc

Modelowanie matematyczne

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-MS1-ModMat Kod Erasmus / ISCED: (brak danych) / (0541) Matematyka
Nazwa przedmiotu: Modelowanie matematyczne
Jednostka: Wydział Matematyki i Informatyki
Grupy: Matematyka stosowana, 3 rok, studia I stopnia
Punkty ECTS i inne: 7.00
Język prowadzenia: polski
Wymagania wstępne:

Analiza matematyczna I,

Algebra liniowa I,

Analiza matematyczna II,

Równania różniczkowe zwyczajne

Rodzaj przedmiotu:

przedmiot obowiązkowy

Całkowity nakład pracy studenta:

30 godz. - wykład.

30 godz. - ćwiczenia w laboratorium komputerowym.

15 godz. – udział w konserwatorium.

60 godz. - praca własna - bieżące przygotowanie do zajęć, studiowanie literatury i przykładów, przygotowywanie się do konserwatorium, rozwiązywanie zadań i implementacja symulacji numerycznych omawianych na ćwiczeniach.

60 godz. - praca własna nad wybranym projektem, udział w konsultacjach dot. projektu, przygotowanie prezentacji i do egzaminu.

3 godz. - egzamin.

Razem: 183 godziny.


Efekty uczenia się - wiedza:

W1: Wie na czym polega idea procesu modelowania w nauce i technice – K_W01.

W2: Zna podstawowe modele zjawisk naturalnych omawianych podczas wykładu, tj. modele populacyjne jedno i wielogatunkowe, ze strukturą wiekową, deterministyczne modele epidemiologiczne – K_W04.

W3: Zna metody badania stabilności punktów równowagi poprzez linearyzację, znajdowania punktów bifurkacji punktów stacjonarnych dla modeli ciągłych i dyskretnych – K_W03.

W4: Zna metody oszacowania tempa wzrostu rozwiązań, na przykładzie populacji ze strukturą wiekową – K_W04.

W5: Zna wyprowadzenie równania transportu w ośrodku ciągłym i jego zastosowania do modelowania zjawisk dyfuzji i transportu - K_W04.

W6: Zna metody analizy zjawisk wędrującej fali i przykłady takiej analizy na konkretnych modelach populacyjnych – K_W04.

W7: Zna techniki symulacji komputerowych i analizy modeli omawianych podczas wykładu – K_W07.

Efekty uczenia się - umiejętności:

U1: Potrafi badać stabilność w modelach opartych na równaniach i układach różnicowych i różniczkowych zwyczajnych – K_U05, K_U12, K_U14, K_U19.

U2: Potrafi znaleźć punkty bifurkacji i określić ich rodzaj w omawianych modelach – K_U05, K_U12, K_U14, K_U19.

U3: Potrafi zrozumieć bardziej złożone modele zbudowane z prostszych modeli, które omówione zostały na wykładzie – K_U14, K_U19,

U4: Potrafi określać prędkość rozchodzenia się fal w modelach opartych na równaniach różniczkowych cząstkowych – K_U05, K_U12, K_U14,

U5: Potrafi uzyskiwać przybliżone rozwiązania równań różnicowych, różniczkowych zwyczajnych i cząstkowych oraz prowadzić analizę modelu przy pomocy komputera K_U05, K_U12.

U6: Potrafi opracować zagadnienie z dziedziny modelowania matematycznego, w tym przedstawić zagadnienie i problem, przeformułować na język matematyki, omówić rozwiązanie i zinterpretować rozwiązanie w odniesieniu do modelowanego zagadnienia – K_U05, K_U12, K_U19, K_U21.

U7: Potrafi dobrać i wykorzystać oprogramowanie komputerowe w analizie modelu i obliczeniach symulacyjnych – K_U03.

Efekty uczenia się - kompetencje społeczne:

K1: Właściwie rozumie sformułowania pytań i problemów, poprawnie posługuje się terminologią fachową, nastawiony jest na rozwiązywanie problemów i wyciąganie wniosków – K_K01, K_02.

K2: Potrafi pracować pod presją czasu i wyniku – K_K02.

K3: Przekazuje swoją wiedzę i przemyślenia w sposób zrozumiały – K _K03.

K4: Potrafi omówić i zaprezentować publicznie zagadnienie i jego rozwiązanie – K_K04, K_K05.

K5: Potrafi pracować w zespole przy rozwiązywaniu zagadnienia z zakresu zastosowań matematyki – K_K06, K_K05.


Metody dydaktyczne:

Wykład z użyciem tablicy. Każdy model jest szczegółowo opisany, sformułowane są twierdzenia, z których korzysta się przy analizie modelu. Rozumowania prowadzące do wniosków są szczegółowo prezentowane i omawiane.


Ćwiczenia odbywają się w laboratorium komputerowym lub w formie zdalnej. Przeprowadza się symulacje komputerowe i analizuje modele omawiane na wykładzie.


Konserwatorium polega na referowaniu wybranych modeli matematycznych przez studentów, uczestnicy mogą zadawać pytania, prowadzone są dyskusje.

Metody dydaktyczne podające:

- wykład informacyjny (konwencjonalny)
- wykład konwersatoryjny
- wykład problemowy

Metody dydaktyczne poszukujące:

- ćwiczeniowa
- laboratoryjna
- projektu
- referatu

Metody dydaktyczne w kształceniu online:

- metody służące prezentacji treści

Skrócony opis:

Wykład stanowi wprowadzenie do modelowania matematycznego poprzez prezentację metod i technik matematycznych na konkretnych przykładach. Omawiane są fundamentalne modele z takich obszarów wiedzy jak biologia, fizyka, chemia czy technika.

Celem wykładu jest umożliwienie zrozumienia konstrukcji modeli wielu podstawowych zjawisk oraz nabycie przez uczestników umiejętności ich stosowania. W trakcie zajęć laboratoryjnych przygotowywane są wizualizacje i symulacje numeryczne poszczególnych modeli (z zastosowaniem pakietu MAPLE i technik numerycznych).

Pełny opis:

Wykład:

Modele populacyjne: dyskretne i ciągłe modele dla populacji jednogatunkowej; macierze Lesliego i podejście McKendricka w opisie

struktury wiekowej; układy gospodarz-pasożyt, drapieżnik-ofiara i konkurowania gatunków; modele z opóźnieniem i rekurencyjne.

Modele w epidemiologii i immunologii: epidemie typu SIS i SIR; interpretacja współczynników; endemia w modelu SIR; uwzględnienie

struktury wiekowej; szczepienia; system immunologiczny i HIV.

Modelowanie ośrodków ciągłych: koncentracja i strumień; dywergencja; równanie transportu; warunki brzegowe; prawo Fouriera i równanie ciepła; prawo Ficka i równanie reakcji-dyfuzji; czas dyfuzji; rozwiązania Barrenblatta.

Zjawisko wędrującej fali: wędrujące fale w równaniu reakcji-dyfuzji; rozprzestrzenianie się piżmaka; przestrzenny rozwój epidemii typu

SIR na przykładzie wścieklizny wśród lisów.

Kinematyka reakcji chemicznych: prawo mas; sieci chemiczne; redukcja Michaelisa-Menten; reakcje enzymatyczne; efekt binarny;

różnicowanie się komórek w tkance.

Zjawiska okresowe: wahadła; drgania wymuszone; rezonans; oscylator Van der Pola.

Ćwiczenia:

Analiza dynamiki dyskretnych układów dynamicznych w jednym wymiarze na przykładzie równania logistycznego; tworzenie diagramu bifurkacji dla zagadnień dyskretnych.

Symulacje w modelach epidemiologicznych, wyznaczanie rozmiarów epidemii, liczby wszystkich zakażonych, analiza punktów równowagi w układach endemicznych.

Wibracje/drgania z jednym stopniem swobody: częstotliwości drgań własnych, drgania wymuszone, rezonans.

Drgania tłumione: współczynnik tłumienia, przesunięcie fazowe, zmiany częstotliwości, metoda peak-picking, transformaty Laplace'a i transmitancje z zastosowaniem do analizy drgań.

Analiza drgań: wpływ warunków początkowych na przebieg drgań, układy z nieliniowym tłumieniem.

Układy o dwóch stopniach swobody: zastosowanie do diagnostyki skuteczności tłumienia drgań w układzie zawieszenia w pojeździe.

Symulacje numeryczne zagadnień reakcji-dyfuzji i zjawisk falowych.

Konwersatorium:

Zastosowania do złożonych zagadnień: modelowanie ruchu ulicznego;

model katalizatora samochodowego (zasada działania, wyprowadzenie równań, zagadnienie optymalnego rozgrzewania po uruchomieniu silnika).

wzrost nowotworów (istnienie strefy nekrotycznej i proliferacyjnej, szacowanie rozmiarów, odpowiedź systemu immunologicznego).

Przykładowe projekty:

- Model krystalizacji Kołmogorowa-Avramiego i jego modyfikacje;

- „Czy zawór wytrzyma?” - zagadnienie B. C. Hydro;

- Dynamika ruchu drogowego. Zagadnienie zielonego światła;

- Zagadnienie zrównoważonego połowu;

- Równowaga reaktora chemicznego;

- Zachowanie warstw cieczy pomiędzy przesuwanymi płytami;

- Analiza elastyczności płyty z otworami;

- Zagadnienie Stefana - podejście numeryczne;

- Siły elektromagnetyczne w nadprzewodzących zwojach.

Literatura:

Literatura obowiązkowa:

N. F. Britton, Essential Mathematical Biology, Springer 2003.

R. Illner et al., Mathematical Modelling. A Case Studies Approach, AMS, 2005.

A. Friedman, W. Littman, Industrial Mathematics - A Course in Solving Real- World Problems, SIAM, Philadelphia 1994.

U. Foryś, Matematyka w biologii, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne 2005.

J. D. Murray, Wprowadzenie do biomatematyki, Wydawnictwo Naukowe PWN 2006.

Literatura uzupełniająca:

Ch. Rousseau, Y. Saint-Aubin, Mathematics and Technology, Springer 2008.

J. Caldwell, Y. M. Ram, Mathematical Modelling. Concepts and Case Studies, Kluwer Academic Publishers, 1999.

J. Caldwell, D. K.S. Ng, Mathematical Modelling. Case Studies and Projects, Kluwer Academic Publishers, 2004.

R. M. Temam, A. M. Miranville, Mathematical Modeling in Continuum Mechanics, Cambridge University Press, 2005.

E. D. Sontag, Lecture Notes in Mathematical Biology, Rutgers University 2005 (pozycja udostępniona przez autora w internecie).

Metody i kryteria oceniania:

Egzamin, prezentacja projektów – udział w konserwatorium:

W1, W2, W3, W4, W5, W6, U1, U2, U3, U4, U6, K1, K2, K3, K4.

Ćwiczenia: W7, U5, K3, U7.

Praktyki zawodowe:

Nie przewiduje się.

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2019/20" (zakończony)

Okres: 2019-10-01 - 2020-02-28
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Konwersatorium, 15 godzin, 30 miejsc więcej informacji
Laboratorium, 30 godzin, 16 miejsc więcej informacji
Wykład, 30 godzin, 60 miejsc więcej informacji
Koordynatorzy: Aleksander Ćwiszewski
Prowadzący grup: Aleksander Ćwiszewski
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Konwersatorium - Zaliczenie na ocenę
Laboratorium - Zaliczenie na ocenę
Wykład - Egzamin

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2020/21" (zakończony)

Okres: 2020-10-01 - 2021-02-21
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Konwersatorium, 15 godzin, 30 miejsc więcej informacji
Laboratorium, 30 godzin, 16 miejsc więcej informacji
Wykład, 30 godzin, 60 miejsc więcej informacji
Koordynatorzy: Aleksander Ćwiszewski
Prowadzący grup: Aleksander Ćwiszewski
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Konwersatorium - Zaliczenie na ocenę
Laboratorium - Zaliczenie na ocenę
Wykład - Egzamin

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2021/22" (jeszcze nie rozpoczęty)

Okres: 2021-10-01 - 2022-02-20
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Konwersatorium, 15 godzin, 30 miejsc więcej informacji
Laboratorium, 30 godzin, 16 miejsc więcej informacji
Wykład, 30 godzin, 60 miejsc więcej informacji
Koordynatorzy: Aleksander Ćwiszewski
Prowadzący grup: Aleksander Ćwiszewski
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Konwersatorium - Zaliczenie na ocenę
Laboratorium - Zaliczenie na ocenę
Wykład - Egzamin
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu.