Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu - Centralny punkt logowania
Strona główna

Równania różniczkowe

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-MS1-RowRoz
Kod Erasmus / ISCED: (brak danych) / (0541) Matematyka Kod ISCED - Międzynarodowa Standardowa Klasyfikacja Kształcenia (International Standard Classification of Education) została opracowana przez UNESCO.
Nazwa przedmiotu: Równania różniczkowe
Jednostka: Wydział Matematyki i Informatyki
Grupy: Matematyka stosowana, 2 rok, studia I stopnia
Punkty ECTS i inne: 6.00 Podstawowe informacje o zasadach przyporządkowania punktów ECTS:
  • roczny wymiar godzinowy nakładu pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się dla danego etapu studiów wynosi 1500-1800 h, co odpowiada 60 ECTS;
  • tygodniowy wymiar godzinowy nakładu pracy studenta wynosi 45 h;
  • 1 punkt ECTS odpowiada 25-30 godzinom pracy studenta potrzebnej do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się;
  • tygodniowy nakład pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się pozwala uzyskać 1,5 ECTS;
  • nakład pracy potrzebny do zaliczenia przedmiotu, któremu przypisano 3 ECTS, stanowi 10% semestralnego obciążenia studenta.
Język prowadzenia: polski
Wymagania wstępne:

Algebra liniowa

Analiza matematyczna I

Analiza matematyczna II


Rodzaj przedmiotu:

przedmiot obowiązkowy

Całkowity nakład pracy studenta:

1. 30 godz. – wykład

15 godz. – ćwiczenia

15 godz. – laboratorium

5 godz. – egzamin/zal-o


2. 60 godz. – bieżące przygotowanie do zajęć, studiowanie literatury


3. 30 godz. – przygotowanie do egzaminu/zal-o


Efekty uczenia się - wiedza:

W1: zna i rozumie pojęcie równania różniczkowego zwyczajnego i jego rozwiązania – K_W02;

W2: zna i rozumie pojęcie portretu fazowego i całkowego równania różniczkowego zwyczajnego – K_W02;

W3: zna i rozumie pojęcie jednoznaczności istnienia rozwiązania równania różniczkowego zwyczajnego z warunkiem początkowym – K_W02;

W4: zna lokalne twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych – K_W02;

W5: zna twierdzenie o wariacji stałych – K_W02;

W6: zna i rozumie klasyfikację portretów fazowych liniowych autonomicznych równań różniczkowych zwyczajnych na płaszczyźnie – K_W02;

W7: zna i rozumie pojęcie stabilnego i asymptotycznie stabilnego rozwiązania równania różniczkowego zwyczajnego – K_W02;

W8: zna i rozumie pojęcie funkcji Lapunowa – K_W02;

W9: zna twierdzenie o stabilności dla autonomicznych równań różniczkowych zwyczajnych – K_W02;

W10: zna twierdzenie o stabilności dla liniowych autonomicznych równań różniczkowych zwyczajnych – K_W02;

W11: zna twierdzenie Hartmana-Grobmana – K_W02;

W12: zna i rozumie klasyfikację portretów fazowych nieliniowych autonomicznych równań różniczkowych zwyczajnych na płaszczyźnie – K_W02;

W13: zna twierdzenie o bifurkacji Hopfa – K_W02;

W14: zna i rozumie pojęcie stabilnego i niestabilnego cyklu granicznego – K_W02;

W15: zna twierdzenie Poincaré–Bendixsona – K_W02;

W16: zna podstawowe typy równań różniczkowych zwyczajnych (równania różniczkowe o rozdzielonych zmiennych, liniowe równania różniczkowe pierwszego rzędu, równania Bernoulliego, układy liniowych równań różniczkowych zwyczajnych) – K_W02;

W17: zna przykłady modeli matematycznych w ekonomii – K_W01;


Efekty uczenia się - umiejętności:

U1: potrafi sprawdzić czy dana funkcja jest rozwiązaniem równania różniczkowego zwyczajnego – K_U12;

U2: potrafi stosować lokalne twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania równania różniczkowego zwyczajnego – K_U06;

U3: potrafi stwierdzić brak jednoznaczności rozwiązania równania różniczkowego zwyczajnego z warunkiem początkowym – K_U06;

U4: potrafi rozwiązywać podstawowe typy równań różniczkowych zwyczajnych (równania różniczkowe o rozdzielonych zmiennych, liniowe równania różniczkowe pierwszego rzędu, równania Bernoulliego, układy liniowych równań różniczkowych zwyczajnych) – K_U12 ;

U5: potrafi stosować twierdzenie o wariacji stałych – K_U06;

U6: potrafi rysować i klasyfikować portrety fazowe liniowych autonomicznych równań różniczkowych zwyczajnych na płaszczyźnie – K_U14;

U7: potrafi badać stabilność Lapunowa i asymptotyczną stabilność położeń równowagi liniowych autonomicznych równań różniczkowych zwyczajnych na płaszczyźnie – K_U14;

U8: potrafi badać stabilność Lapunowa i asymptotyczną stabilność położeń równowagi nieliniowych autonomicznych równań różniczkowych zwyczajnych na płaszczyźnie stosując twierdzenie Hartmana-Grobmana – K_U14;

U9: potrafi znajdować równowagę rynkową oraz określać jej stabilność Lapunowa w wybranych modelach ekonomicznych – K_U14;

U13: potrafi badać istnienie oraz stabilność cykli granicznych stosując twierdzenie Poincaré–Bendixsona lub współrzędne biegunowe – K_U14;



Efekty uczenia się - kompetencje społeczne:

K1: pracuje systematycznie – K_K02;

K2: rozwija myślenie analityczne, wyobraźnię przestrzenną i rozumienie dynamicznego charakteru procesów – K_01;

K3: komunikuje się w zakresie przedmiotu Równania różniczkowe wykorzystując fachową terminologie i pojęcia – K_K03;

K4: widzi potrzebę ciągłego doskonalenia się i podnoszenia kompetencji zawodowych – K_K04;

K5: rozumie społeczną rolę zastosowań matematyki – K_K05;


Metody dydaktyczne:

- pokaz

- wykład informacyjny (konwencjonalny)

- wykład problemowy

- ćwiczeniowa

- laboratoryjna

- klasyczna metoda problemowa


Metody dydaktyczne eksponujące:

- pokaz

Metody dydaktyczne podające:

- wykład informacyjny (konwencjonalny)
- wykład problemowy

Metody dydaktyczne poszukujące:

- ćwiczeniowa
- klasyczna metoda problemowa
- laboratoryjna

Skrócony opis:

Wiele zagadnień (np. ekonomii czy biologii) modeluje się przy pomocy równań różniczkowych zwyczajnych. Badanie tych równań metodami jakościowej teorii równań różniczkowych zwyczajnych pozwala dokładniej zrozumieć modelowane zjawiska i zachodzące w nich procesy.

Wykład składa się z trzech części. Pierwsza część poświęcona jest podstawowym zagadnieniom teorii równań różniczkowych zwyczajnych. W drugiej części, która jest główną częścią tego wykładu, omawia się elementarne metody jakościowej teorii równań różniczkowych zwyczajnych. Trzecia i ostatnia część ma charakter ilustracyjny oraz przedstawia zastosowanie pewnych elementów jakościowej teorii równań różniczkowych zwyczajnych do badania modeli matematycznych pewnych zagadnień ekonomii.

Pełny opis:

Wykład:

1. Elementy ilościowej teorii równań różniczkowych zwyczajnych

1.1. Pojęcia wstępne i przykłady (równanie różniczkowe zwyczajne i jego rozwiązanie, portrety fazowe i całkowe równań, przykłady równań różniczkowych zwyczajnych pochodzących z biologii lub ekonomii)

1.2. Istnienie i jednoznaczność rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych (lokalne twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych)

1.3. Układy równań różniczkowych zwyczajnych (nieautonomicznych i autonomicznych) - twierdzenie o wariacji stałych, eksponenta macierzy

2. Elementy jakościowej teorii równań różniczkowych zwyczajnych

2.1. Klasyfikacja portretów fazowych liniowych autonomicznych równań różniczkowych na płaszczyźnie

2.2. Elementy teorii stabilności Lapunowa (stabilne i asymptotycznie stabilne rozwiązanie równania różniczkowego zwyczajnego, funkcja Lapunowa, twierdzenie o stabilności dla autonomicznych równań różniczkowych zwyczajnych, twierdzenie o stabilności dla liniowych autonomicznych równań różniczkowych zwyczajnych)

2.3. Nieliniowe autonomiczne równania różniczkowe zwyczajne (linearyzacja w położeniu równowagi, twierdzenie Hartmana-Grobmana)

2.4. Twierdzenie o bifurkacji Hopfa

2.5. Cykle graniczne (zbiory α- i ω-graniczne, rozwiązanie okresowe, stabilny i niestabilny cykl graniczny, twierdzenie Poincaré–Bendixsona)

3. Modelowanie i analiza zagadnień ekonomicznych

Ćwiczenia/Laboratorium:

1. Elementy ilościowej teorii równań różniczkowych zwyczajnych

1.1. Pojęcia wstępne (równanie różniczkowe zwyczajne i jego rozwiązanie, portrety fazowe i całkowe równań, zagadnienie początkowe)

1.2. Podstawowe typy równań różniczkowych zwyczajnych (równania różniczkowe o rozdzielonych zmiennych, liniowe równanie różniczkowe pierwszego rzędu, równania Bernoulliego) i ich rozwiązania. Przykłady podstawowych typów równań różniczkowych zwyczajnych w modelach różnego rodzaju

1.3 Układy liniowych równań różniczkowych (układy liniowych równań różniczkowych zwyczajnych ze stałymi współczynnikami, eksponenta macierzy)

2. Elementy jakościowej teorii równań różniczkowych zwyczajnych z zastosowaniami

2.1. Stabilność Lapunowa oraz asymptotyczna stabilność, analiza portretu fazowego, tw. o stabilności dla liniowych autonomicznych równań różniczkowych zwyczajnych.

2.2. Nieliniowe autonomiczne równania różniczkowe zwyczajne - linearyzacja w położeniu równowagi, tw. Hartmana - Grobmana

Literatura:

Literatura podstawowa:

M Gewert, Z. Skoczylas, Równania różniczkowe zwyczajne. Teoria, przykłady, zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław, 2008.

J. Ombach, Wykłady z równań różniczkowych wspomagane komputerowo - Maple, Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków, 1999.

A. Palczewski, Równania różniczkowe zwyczajne: teoria i metody numeryczne z wykorzystaniem komputerowego systemu obliczeń symbolicznych, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa, 1999.

Metody i kryteria oceniania:

Egzamin pisemny: W1 – W17, U1 – U13, K1 – K3

Kolokwia z ćwiczeń i laboratorium: W1 – W17, U1 – U13, K1 – K3

Zaliczenie ćwiczeń i laboratorium studenci uzyskują na podstawie obecności na zajęciach oraz otrzymania pozytywnej oceny ze sprawdzianu.

Praktyki zawodowe:

-

Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2021/22" (zakończony)

Okres: 2022-02-21 - 2022-09-30
Wybrany podział planu:
Przejdź do planu
Typ zajęć:
Ćwiczenia, 15 godzin, 30 miejsc więcej informacji
Laboratorium, 15 godzin, 16 miejsc więcej informacji
Wykład, 30 godzin, 60 miejsc więcej informacji
Koordynatorzy: Anna Gołębiewska
Prowadzący grup: Anna Gołębiewska, Piotr Stefaniak
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Ćwiczenia - Zaliczenie na ocenę
Laboratorium - Zaliczenie na ocenę
Wykład - Egzamin

Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2022/23" (zakończony)

Okres: 2023-02-20 - 2023-09-30
Wybrany podział planu:
Przejdź do planu
Typ zajęć:
Ćwiczenia, 15 godzin, 30 miejsc więcej informacji
Laboratorium, 15 godzin, 16 miejsc więcej informacji
Wykład, 30 godzin, 60 miejsc więcej informacji
Koordynatorzy: Anna Gołębiewska
Prowadzący grup: Anna Gołębiewska, Piotr Stefaniak
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Ćwiczenia - Zaliczenie na ocenę
Laboratorium - Zaliczenie na ocenę
Wykład - Egzamin

Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2023/24" (w trakcie)

Okres: 2024-02-20 - 2024-09-30
Wybrany podział planu:
Przejdź do planu
Typ zajęć:
Ćwiczenia, 15 godzin, 30 miejsc więcej informacji
Laboratorium, 15 godzin, 16 miejsc więcej informacji
Wykład, 30 godzin, 60 miejsc więcej informacji
Koordynatorzy: Anna Gołębiewska
Prowadzący grup: Anna Gołębiewska, Piotr Stefaniak
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Ćwiczenia - Zaliczenie na ocenę
Laboratorium - Zaliczenie na ocenę
Wykład - Egzamin

Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2024/25" (jeszcze nie rozpoczęty)

Okres: 2025-02-24 - 2025-09-30
Wybrany podział planu:
Przejdź do planu
Typ zajęć:
Ćwiczenia, 15 godzin, 30 miejsc więcej informacji
Laboratorium, 15 godzin, 16 miejsc więcej informacji
Wykład, 30 godzin, 60 miejsc więcej informacji
Koordynatorzy: (brak danych)
Prowadzący grup: (brak danych)
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Ćwiczenia - Zaliczenie na ocenę
Laboratorium - Zaliczenie na ocenę
Wykład - Egzamin
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu.
ul. Jurija Gagarina 11, 87-100 Toruń tel: +48 56 611-40-10 https://usosweb.umk.pl/ kontakt deklaracja dostępności mapa serwisu USOSweb 7.0.4.0-2 (2024-05-20)