Równania różniczkowe
Informacje ogólne
Kod przedmiotu: | 1000-MS1-RowRoz |
Kod Erasmus / ISCED: |
(brak danych)
/
(0541) Matematyka
|
Nazwa przedmiotu: | Równania różniczkowe |
Jednostka: | Wydział Matematyki i Informatyki |
Grupy: |
Matematyka stosowana, 2 rok, studia I stopnia |
Punkty ECTS i inne: |
6.00
|
Język prowadzenia: | polski |
Wymagania wstępne: | Algebra liniowa Analiza matematyczna I Analiza matematyczna II |
Rodzaj przedmiotu: | przedmiot obowiązkowy |
Całkowity nakład pracy studenta: | 1. 30 godz. – wykład 15 godz. – ćwiczenia 15 godz. – laboratorium 5 godz. – egzamin/zal-o 2. 60 godz. – bieżące przygotowanie do zajęć, studiowanie literatury 3. 30 godz. – przygotowanie do egzaminu/zal-o |
Efekty uczenia się - wiedza: | W1: zna i rozumie pojęcie równania różniczkowego zwyczajnego i jego rozwiązania – K_W02; W2: zna i rozumie pojęcie portretu fazowego i całkowego równania różniczkowego zwyczajnego – K_W02; W3: zna i rozumie pojęcie jednoznaczności istnienia rozwiązania równania różniczkowego zwyczajnego z warunkiem początkowym – K_W02; W4: zna lokalne twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych – K_W02; W5: zna twierdzenie o wariacji stałych – K_W02; W6: zna i rozumie klasyfikację portretów fazowych liniowych autonomicznych równań różniczkowych zwyczajnych na płaszczyźnie – K_W02; W7: zna i rozumie pojęcie stabilnego i asymptotycznie stabilnego rozwiązania równania różniczkowego zwyczajnego – K_W02; W8: zna i rozumie pojęcie funkcji Lapunowa – K_W02; W9: zna twierdzenie o stabilności dla autonomicznych równań różniczkowych zwyczajnych – K_W02; W10: zna twierdzenie o stabilności dla liniowych autonomicznych równań różniczkowych zwyczajnych – K_W02; W11: zna twierdzenie Hartmana-Grobmana – K_W02; W12: zna i rozumie klasyfikację portretów fazowych nieliniowych autonomicznych równań różniczkowych zwyczajnych na płaszczyźnie – K_W02; W13: zna twierdzenie o bifurkacji Hopfa – K_W02; W14: zna i rozumie pojęcie stabilnego i niestabilnego cyklu granicznego – K_W02; W15: zna twierdzenie Poincaré–Bendixsona – K_W02; W16: zna podstawowe typy równań różniczkowych zwyczajnych (równania różniczkowe o rozdzielonych zmiennych, liniowe równania różniczkowe pierwszego rzędu, równania Bernoulliego, układy liniowych równań różniczkowych zwyczajnych) – K_W02; W17: zna przykłady modeli matematycznych w ekonomii – K_W01; |
Efekty uczenia się - umiejętności: | U1: potrafi sprawdzić czy dana funkcja jest rozwiązaniem równania różniczkowego zwyczajnego – K_U12; U2: potrafi stosować lokalne twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania równania różniczkowego zwyczajnego – K_U06; U3: potrafi stwierdzić brak jednoznaczności rozwiązania równania różniczkowego zwyczajnego z warunkiem początkowym – K_U06; U4: potrafi rozwiązywać podstawowe typy równań różniczkowych zwyczajnych (równania różniczkowe o rozdzielonych zmiennych, liniowe równania różniczkowe pierwszego rzędu, równania Bernoulliego, układy liniowych równań różniczkowych zwyczajnych) – K_U12 ; U5: potrafi stosować twierdzenie o wariacji stałych – K_U06; U6: potrafi rysować i klasyfikować portrety fazowe liniowych autonomicznych równań różniczkowych zwyczajnych na płaszczyźnie – K_U14; U7: potrafi badać stabilność Lapunowa i asymptotyczną stabilność położeń równowagi liniowych autonomicznych równań różniczkowych zwyczajnych na płaszczyźnie – K_U14; U8: potrafi badać stabilność Lapunowa i asymptotyczną stabilność położeń równowagi nieliniowych autonomicznych równań różniczkowych zwyczajnych na płaszczyźnie stosując twierdzenie Hartmana-Grobmana – K_U14; U9: potrafi znajdować równowagę rynkową oraz określać jej stabilność Lapunowa w wybranych modelach ekonomicznych – K_U14; U13: potrafi badać istnienie oraz stabilność cykli granicznych stosując twierdzenie Poincaré–Bendixsona lub współrzędne biegunowe – K_U14; |
Efekty uczenia się - kompetencje społeczne: | K1: pracuje systematycznie – K_K02; K2: rozwija myślenie analityczne, wyobraźnię przestrzenną i rozumienie dynamicznego charakteru procesów – K_01; K3: komunikuje się w zakresie przedmiotu Równania różniczkowe wykorzystując fachową terminologie i pojęcia – K_K03; K4: widzi potrzebę ciągłego doskonalenia się i podnoszenia kompetencji zawodowych – K_K04; K5: rozumie społeczną rolę zastosowań matematyki – K_K05; |
Metody dydaktyczne: | - pokaz - wykład informacyjny (konwencjonalny) - wykład problemowy - ćwiczeniowa - laboratoryjna - klasyczna metoda problemowa |
Metody dydaktyczne eksponujące: | - pokaz |
Metody dydaktyczne podające: | - wykład informacyjny (konwencjonalny) |
Metody dydaktyczne poszukujące: | - ćwiczeniowa |
Skrócony opis: |
Wiele zagadnień (np. ekonomii czy biologii) modeluje się przy pomocy równań różniczkowych zwyczajnych. Badanie tych równań metodami jakościowej teorii równań różniczkowych zwyczajnych pozwala dokładniej zrozumieć modelowane zjawiska i zachodzące w nich procesy. Wykład składa się z trzech części. Pierwsza część poświęcona jest podstawowym zagadnieniom teorii równań różniczkowych zwyczajnych. W drugiej części, która jest główną częścią tego wykładu, omawia się elementarne metody jakościowej teorii równań różniczkowych zwyczajnych. Trzecia i ostatnia część ma charakter ilustracyjny oraz przedstawia zastosowanie pewnych elementów jakościowej teorii równań różniczkowych zwyczajnych do badania modeli matematycznych pewnych zagadnień ekonomii. |
Pełny opis: |
Wykład: 1. Elementy ilościowej teorii równań różniczkowych zwyczajnych 1.1. Pojęcia wstępne i przykłady (równanie różniczkowe zwyczajne i jego rozwiązanie, portrety fazowe i całkowe równań, przykłady równań różniczkowych zwyczajnych pochodzących z biologii lub ekonomii) 1.2. Istnienie i jednoznaczność rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych (lokalne twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych) 1.3. Układy równań różniczkowych zwyczajnych (nieautonomicznych i autonomicznych) - twierdzenie o wariacji stałych, eksponenta macierzy 2. Elementy jakościowej teorii równań różniczkowych zwyczajnych 2.1. Klasyfikacja portretów fazowych liniowych autonomicznych równań różniczkowych na płaszczyźnie 2.2. Elementy teorii stabilności Lapunowa (stabilne i asymptotycznie stabilne rozwiązanie równania różniczkowego zwyczajnego, funkcja Lapunowa, twierdzenie o stabilności dla autonomicznych równań różniczkowych zwyczajnych, twierdzenie o stabilności dla liniowych autonomicznych równań różniczkowych zwyczajnych) 2.3. Nieliniowe autonomiczne równania różniczkowe zwyczajne (linearyzacja w położeniu równowagi, twierdzenie Hartmana-Grobmana) 2.4. Twierdzenie o bifurkacji Hopfa 2.5. Cykle graniczne (zbiory α- i ω-graniczne, rozwiązanie okresowe, stabilny i niestabilny cykl graniczny, twierdzenie Poincaré–Bendixsona) 3. Modelowanie i analiza zagadnień ekonomicznych Ćwiczenia/Laboratorium: 1. Elementy ilościowej teorii równań różniczkowych zwyczajnych 1.1. Pojęcia wstępne (równanie różniczkowe zwyczajne i jego rozwiązanie, portrety fazowe i całkowe równań, zagadnienie początkowe) 1.2. Podstawowe typy równań różniczkowych zwyczajnych (równania różniczkowe o rozdzielonych zmiennych, liniowe równanie różniczkowe pierwszego rzędu, równania Bernoulliego) i ich rozwiązania. Przykłady podstawowych typów równań różniczkowych zwyczajnych w modelach różnego rodzaju 1.3 Układy liniowych równań różniczkowych (układy liniowych równań różniczkowych zwyczajnych ze stałymi współczynnikami, eksponenta macierzy) 2. Elementy jakościowej teorii równań różniczkowych zwyczajnych z zastosowaniami 2.1. Stabilność Lapunowa oraz asymptotyczna stabilność, analiza portretu fazowego, tw. o stabilności dla liniowych autonomicznych równań różniczkowych zwyczajnych. 2.2. Nieliniowe autonomiczne równania różniczkowe zwyczajne - linearyzacja w położeniu równowagi, tw. Hartmana - Grobmana |
Literatura: |
Literatura podstawowa: M Gewert, Z. Skoczylas, Równania różniczkowe zwyczajne. Teoria, przykłady, zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław, 2008. J. Ombach, Wykłady z równań różniczkowych wspomagane komputerowo - Maple, Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków, 1999. A. Palczewski, Równania różniczkowe zwyczajne: teoria i metody numeryczne z wykorzystaniem komputerowego systemu obliczeń symbolicznych, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa, 1999. |
Metody i kryteria oceniania: |
Egzamin pisemny: W1 – W17, U1 – U13, K1 – K3 Kolokwia z ćwiczeń i laboratorium: W1 – W17, U1 – U13, K1 – K3 Zaliczenie ćwiczeń i laboratorium studenci uzyskują na podstawie obecności na zajęciach oraz otrzymania pozytywnej oceny ze sprawdzianu. |
Praktyki zawodowe: |
- |
Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2021/22" (zakończony)
Okres: | 2022-02-21 - 2022-09-30 |
Przejdź do planu
PN WYK
WT ŚR LAB
LAB
CZ PT CW
|
Typ zajęć: |
Ćwiczenia, 15 godzin, 30 miejsc
Laboratorium, 15 godzin, 16 miejsc
Wykład, 30 godzin, 60 miejsc
|
|
Koordynatorzy: | Anna Gołębiewska | |
Prowadzący grup: | Anna Gołębiewska, Piotr Stefaniak | |
Lista studentów: | (nie masz dostępu) | |
Zaliczenie: |
Przedmiot -
Egzamin
Ćwiczenia - Zaliczenie na ocenę Laboratorium - Zaliczenie na ocenę Wykład - Egzamin |
Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2022/23" (zakończony)
Okres: | 2023-02-20 - 2023-09-30 |
Przejdź do planu
PN WT ŚR WYK
CZ PT LAB
LAB
CW
|
Typ zajęć: |
Ćwiczenia, 15 godzin, 30 miejsc
Laboratorium, 15 godzin, 16 miejsc
Wykład, 30 godzin, 60 miejsc
|
|
Koordynatorzy: | Anna Gołębiewska | |
Prowadzący grup: | Anna Gołębiewska, Piotr Stefaniak | |
Lista studentów: | (nie masz dostępu) | |
Zaliczenie: |
Przedmiot -
Egzamin
Ćwiczenia - Zaliczenie na ocenę Laboratorium - Zaliczenie na ocenę Wykład - Egzamin |
Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2023/24" (w trakcie)
Okres: | 2024-02-20 - 2024-09-30 |
Przejdź do planu
PN WT ŚR LAB
CZ WYK
CW
PT LAB
|
Typ zajęć: |
Ćwiczenia, 15 godzin, 30 miejsc
Laboratorium, 15 godzin, 16 miejsc
Wykład, 30 godzin, 60 miejsc
|
|
Koordynatorzy: | Anna Gołębiewska | |
Prowadzący grup: | Anna Gołębiewska, Piotr Stefaniak | |
Lista studentów: | (nie masz dostępu) | |
Zaliczenie: |
Przedmiot -
Egzamin
Ćwiczenia - Zaliczenie na ocenę Laboratorium - Zaliczenie na ocenę Wykład - Egzamin |
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu.